Центр давления и определение его координат

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 16Следующая ⇒

Точка приложения суммарной силы давления называется центром давления. Определим координаты центра давления и (рис. 3.20). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей F относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.

Составим уравнение моментов сил F и dF относительно оси 0y.

Силы F и dF определим по формулам

;

Тогда

Cокращая выражение на g и sina, получим

где - момент инерции площади фигуры относительно оси 0y.

Отсюда

Заменив по известной из теоретической механики формуле, где J_c - момент инерции площади фигуры относительно оси, параллельной 0y и проходящей через центр тяжести, получим

Из этой формулы следует, что центр давления всегда расположен ниже центра тяжести фигуры на расстоянии . Это расстояние называется эксцентриситетом и обозначается буквой e.

Координата y_d находится из аналогичных соображений

где - центробежный момент инерции той же площади относительно осей y и l. Если фигура симметрична относительно оси, параллельной оси 0l (рис. 3.20), то, очевидно, , где y_c - координата центра тяжести фигуры.

§ 3.16. Простые гидравлические машины.
Гидравлический пресс

Гидравлический пресс применяется для получения больших усилий, которые необходимы, например, для прессования или штамповки металлических изделий.

Принципиальная схема гидравлического пресса показана на рис. 3.21. Он состоит из 2-х цилиндров - большого и малого, соединенных между собой трубкой. В малом цилиндре имеется поршень диаметром d, который приводится в действие рычагом с плечами a и b. При движении малого поршня вниз он оказывает на жидкость давление p, которое по закону Паскаля передается поршню диаметром D, находящемуся в большом цилиндре.

При движении вверх поршень большого цилиндра прессует деталь с силой F₂Определим силу F₂, если известна сила F₁ и размеры пресса d, D, а также плечи рычага a и b. Определим сначала силу F, действующую на малый поршень диаметром d. Рассмотрим равновесие рычага пресса. Составим уравнение моментов относительно центра вращения рычага 0

где - реакция поршня на рычаг.

Рис. 3.21

Отсюда .

Давление жидкости под малым поршнем будет

где - площадь сечения малого поршня.

По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Следовательно, давление жидкости под большим поршнем также будет равно p_ж. Отсюда сила, действующая на большой поршень со стороны жидкости, будет

где - площадь сечения большого поршня.

Подставляя в последнюю формулу p_ж и учитывая, что , получим

Для учета трения в манжетах пресса, уплотняющих зазоры, вводят коэффициент полезного действия пресса h< 1. В итоге расчетная формула примет вид

Гидравлический аккумулятор

Гидравлический аккумулятор служит для накопления - аккумулирования энергии. Он применяется в тех случаях, когда необходимо произвести кратковременную большую работу, например, при открывании и закрывании ворот шлюзов, при работе гидравлического пресса, гидроподъемника и т. п.

Принципиальная схема гидравлического аккумулятора приведена на рис.3.22. Он состоит из цилиндра A, в котором помещен поршень B, соединенный с нагруженной рамой C, к которой подвешены грузы D.

Рис. 3.22

При помощи насоса в цилиндр нагнетается жидкость до полного его заполнения, при этом грузы поднимаются и тем самым происходит накопление энергии. Чтобы поднять поршень на высоту H, необходимо закачать в цилиндр объем жидкости

где S - площадь сечения поршня.

Отсюда

Если величина грузов равна G, то давление поршня на жидкость определится отношением силы веса G на площадь сечения поршня, т.е

Выражая отсюда G, получим

Работа L, затрачиваемая на подъем груза, будет равна произведению силы G на длину пути H

По этой формуле можно рассчитать не только работу L, но и по известной работе найти необходимые для ее выполнения параметры аккумулятора.

Закон Архимеда

Закон Архимеда формулируется в виде следующего утверждения - на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Эта сила называется поддерживающей. Она является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в нем тело.

Для доказательства закона выделим в теле элементарную вертикальную призму с основаниями dw_n1 и dw_n2(рис. 3.23). Вертикальная проекция элементарной силы, действующей на верхнее основание призмы, будет

Рис. 3.23

где p₁ - давление на основании призмы dw_n1; n₁ - нормаль к поверхности dw_n1.

Так как

где dw_z - площадь призмы в сечении, перпендикулярном оси z, то

Отсюда, учитывая, что по формуле гидростатического давления , получим

Аналогично вертикальная проекция элементарной силы, действующей на нижнее основание призмы, находится по формуле

Суммарная вертикальная элементарная сила, действующая на призму, будет

или

Интегрируя это выражение при , получим

где - объем тела, погруженного в жидкость, где h_T это высота погруженной части тела на данной вертикали.

Отсюда для выталкивающей силы F_z получим формулу

Выделяя в теле элементарные горизонтальные призмы и производя аналогичные выкладки, получим , .

Тогда

где G - вес жидкости, вытесненной телом. Таким образом, выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу жидкости, вытесненной телом, что и требовалось доказать.

Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном счете действуют две силы (рис. 3.24).

1. Сила тяжести - вес тела .

2. Поддерживающая (выталкивающая) сила , где g₁- удельный вес тела; g₂ - удельный вес жидкости.

При этом могут иметь место следующие основные случаи:

1. Удельный вес тела и жидкости одинаковы . В этом случае , равнодействующая , и тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, т.е. будучи погружено на любую глубину, оно не будет ни всплывать, ни тонуть.

2. При g₁> g₂, . Равнодействующая направлена вниз, и тело будет тонуть.

3. При g₁< g₂ . Равнодействующая направлена вверх, и тело будет всплывать. Всплытие тела будет продолжаться до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится настолько, что сделается равной силе веса, т.е. пока не будет . После этого тело будет плавать на поверхности.

§ 3.19. Условия плавучести и остойчивости тел,
частично погруженных в жидкость

Наличие условия необходимо для равновесия тела, погруженного в жидкость, но еще недостаточно. Для равновесия тела, кроме равенства , необходимо также, чтобы линии этих сил были направлены по одной прямой, т.е. совпадали (рис. 3.25 а).

Рис. 3.25

Если тело однородно, то точки приложения указанных сил всегда совпадают и направлены по одной прямой. Если тело неоднородно, то точки приложения этих сил не совпадут и силы G и F_z образуют пару сил (см. рис. 3.25 б, в). Под действием этой пары сил тело будет вращаться в жидкости до тех пор, пока точки приложения сил G и F_z не окажутся на одной вертикали, т.е. момент пары сил будет равен нулю (рис.3.26).

Наибольший практический интерес представляет исследование условий равновесия тел, частично погруженных в жидкость, т.е. при плавании тел.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется остойчивостью.

Рассмотрим условия, при которых плавающее на поверхности жидкости тело остойчиво.

На рис. 3.27 (а, б) C - центр тяжести (точка приложения равнодействующей сил веса G);
D - точка приложения равнодействующей выталкивающих сил F_z; M - метацентр (точка пересечения равнодействующей выталкивающих сил с осью плавания 00).

Дадим некоторые определения.

Вес жидкости, вытесненной погруженным в нее телом, называется водоизмещением.

Рис. 3.27

Точка приложения равнодействующей выталкивающих сил называется центром водоизмещения (точка D).

Расстояние MC между метацентром и центром водоизмещения называется метацентрическим радиусом.

Таким образом, плавающее тело имеет три характерные точки:

1. Центр тяжести C, не меняющий своего положения при крене.

2. Центр водоизмещения D, перемещающийся при крене тела, так как очертания объема, вытесняемого в жидкости, при этом меняются.

3. Метацентр M, также изменяющий свое положение при крене.

При плавании тела могут представиться следующие 3 основных случая в зависимости от относительного расположения центра тяжести C и метацентра M.

1. Случай остойчивого равновесия. В этом случае метацентр лежит выше центра тяжести (рис.3.27, а) и при крене пара сил G и F_z стремится возвратить тело в первоначальное состояние (тело вращается против часовой стрелки).

2. Случай безразличного равновесия. В этом случае метацентр и центр тяжести совпадают и тело, выведенное из состояния равновесия, остается неподвижным.

3. Случай неостойчивого равновесия. Здесь метацентр лежит ниже центра тяжести (рис. 3.27, б) и образовавшаяся при крене пара сил вызывает вращение тела по часовой стрелке, что может привести к опрокидыванию плавающего средства.

Задачи

Задача 1. Паровой прямодействующий насос подает жидкость Ж на высоту Н (рис. 3.28). Найти рабочее давление пара при следующих исходных данных: ; ; . Жидкость – вода ( ). Найти также силу, действующую на малый и большой поршни.

Рис. 3.28

Решение. Найдем давление на малом поршне

Сила , действующая на малый поршень, будет

Эта же сила действует на большой поршень, т.е.

Отсюда

Задача 2. Определить силу прессования , развиваемую гидравлическим прессом, у которого диаметр большого поршня , а малого – , при следующих исходных данных (рис. 3.29):

; ; ; ; .

Рис. 3.29

Решение. Найдем силу , действующую на малый поршень. Для этого составим условие равновесия рычага пресса

Отсюда

Давление жидкости под малым поршнем будет

где .

Давление жидкости под большим поршнем

где .

По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Отсюда или

Отсюда

Глава 4

Гидродинамика

Раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости, называется гидродинамикой. При изучении движения жидкостей рассматриваются две основные задачи.

1. Заданы гидродинамические характеристики потока (скорость и давление); требуется определить силы, действующие на жидкость.

2. Заданы силы, действующие на жидкость; требуется определить гидродинамические характеристики потока.

Применительно к идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет те же свойства и тот же смысл, что и гидростатическое давление. При анализе движения вязкой жидкости оказывается, что

где - действительные нормальные напряжения в рассматриваемой точке, относящиеся к трем произвольно намеченным в этой точке взаимно ортогональным площадкам. Гидродинамическим давлением в точке считают величину

При этом считается, что величина p не зависит от ориентировки взаимно ортогональных площадок.

В дальнейшем будет рассматриваться задача определения скорости и давления при известных силах, действующих на жидкость. Следует отметить, что скорость и давление для разных точек жидкости будут иметь различные величины и, кроме того, для данной точки пространства они могут изменяться во времени.

Для определения составляющих скорости по координатным осям , , и давления p в гидравлике рассматриваются следующие уравнения.

1. Уравнение несжимаемости и неразрывности движущейся жидкости (уравнение баланса расхода жидкости).

2. Дифференциальные уравнения движения (уравнения Эйлера).

3. Уравнение баланса удельной энергии потока (уравнение Бернулли).

Ниже будут приведены все эти уравнения, составляющие теоретическую базу гидродинамики, с предварительными пояснениями некоторых исходных положений из области кинематики жидкости.

§ 4.1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ДВА МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый метод, развитый Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц.

Второй метод, развитый Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость.

В гидродинамике применяются оба эти метода. Однако более распространен метод Эйлера, благодаря его простоте. По методу Лагранжа в начальный момент времени t₀ отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени t₀ определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т.е. тремя уравнениями

(4.1)

где х, у, z - координаты частицы; t - время.

Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т.е. начальные координаты частиц.

Например, точка М (рис. 4.1) в момент времени t = 0 имеет координаты а, b, с. Соотношения (4.1) с учетом а, b, с примут вид

(4.2)

В соотношениях (4.2) начальные координаты а, b, с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты x, y, z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а, b, с, t, которые называются переменными Лагранжа.

При известных соотношениях (4.2) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени)

;

; (4.3)

Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (соотношения 4.5).

Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (4.1) путем нахождения координат x, y, z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени.

По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит: а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства; б) в исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой.

Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины.

Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями

(4.4)

т.е. скорость

является функцией координат и времени.

Переменные x, y, z, t называются переменными Эйлера.

Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т.е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (4.4).

Метод Эйлера и метод Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt, в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (4.3).

Из (4.2) следует, что координаты x, y, z являются функциями времени. Тогда будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

;

; (4.5)

где – проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси.

Так как для движущейся частицы

, , ,

то

;

Частные производные

, ,

называются проекциями локального (местного) ускорения.

Суммы вида

называется проекциями конвективного ускорения.

Полные производные

, ,

называются еще субстанциональными или индивидуальными производными.

Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую.

§ 4.2. Траектории частиц и линии тока

Траекторией движущейся частицы жидкости называется путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Изучение траекторий частиц лежит в основе метода Лагранжа. При исследовании движения жидкости по методу Эйлера общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока (рис. 4.2, 4.3). Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии.

Рис.4.2.

Рис.4.3.

При установившемся движении (см. §4.3), когда уровень жидкости в емкости не изменяется (см. рис. 4.2), траектории частиц и линии тока совпадают. В случае неустановившегося движения (см. рис. 4.3) траектории частиц и линии тока не совпадают.

Следует подчеркнуть разницу между траекторией частицы и линией тока. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение
(в данный момент времени).

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ

Понятие установившегося движения вводится только при исследовании движения жидкости в переменных Эйлера.

Установившимся называется движение жидкости, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства не меняются во времени (см. рис. 4.2). Например, для составляющих скорости будем иметь

;

Отсюда

; ; .

Тогда

;

Так как величина и направление скорости движения в любой точке пространства при установившемся движении не меняются, то и линии тока не будут меняться во времени. Отсюда следует (как уже было отмечено в § 4.2), что при установившемся движении траектории частиц и линии тока совпадают.

Движение, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства меняются во времени, называется неустановившимся ( , рис. 4.3).

§ 4.4. СТРУЙЧАТАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ.
ТРУБКА ТОКА. РАСХОД ЖИДКОСТИ

Рассмотрим линию тока 1-2 (рис. 4.4). Проведем в точке 1 плоскость, перпендикулярную к вектору скорости u₁. Возьмем в этой плоскости элементарный замкнутый контур l, охватывающий площадку dw. Через все точки этого контура проведем линии тока. Совокупность линий тока, проведенных через какой-либо контур в жидкости, образуют поверхность, называемую трубкой тока.

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки dw, составляет элементарную струйку. В гидравлике применяется так называемая струйчатая модель движения жидкости. Поток жидкости рассматривается как состоящий из отдельных элементарных струек.

Рассмотрим поток жидкости, изображенный на рис.4.5. Объемным расходом жидкости через какую-либо поверхность называется объем жидкости, протекающий в единицу времени через данную поверхность.

Очевидно, элементарный расход будет

где n- направление нормали к поверхности.

Полный расход

или

Если провести через любую точку потока ортогональную линиям тока поверхность А, то . Поверхность, являющаяся геометрическим местом частиц жидкости, скорости которых перпендикулярны к соответствующим элементам этой поверхности, называется живым сечением потока и обозначается w.Тогда для элементарной струйки будем иметь

и для потока

Это выражение называют объемным расходом жидкости через живое сечение потока.

Примеры.

1. Живое сечение потока при напорном движении показано на рис.4.6.

2. Живое сечение потока при безнапорном движении дано на рис.4.7, 4.8.

Отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру ложа называется гидравлическим радиусом R


Рис. 4.6	Рис. 4.7	Рис. 4.8

Для круглой трубы

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ

Если расход жидкости Q поделить на живое сечение потока, то получим среднюю скорость движения жидкости

Так как

то

Средняя скорость в сечении потока - это такая, одинаковая для всех точек сечения скорость, при которой происходит тот же расход, какой фактически имеет место при действительных скоростях, различных для разных точек сечения. Например, в круглой трубе распределение скоростей при ламинарном течении жидкости представлено на рис. 4.9. Здесь - действительный профиль скорости при ламинарном течении.

Средняя скорость равна половине максимальной скорости (см. § 6.5)

§ 4.6. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА
В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Уравнение неразрывности (сплошности) выражает закон сохранения массы и неразрывность течения. Для вывода уравнения выделим в массе жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dz, dz (рис. 4.10).

Пусть точка m с координатами x, y, z находится в центре этого параллелепипеда. Плотность жидкости в точке m будет .

Подсчитаем массу жидкости, втекающей в параллелепипед и вытекающей из него через противоположные грани за время dt. Масса жидкости, втекающей через левую грань за время dt в направлении оси x, равна

где r₁ и (u_x)₁ - плотность и проекция скорости на ось x в точке 1.

Функция является непрерывной функцией координаты x. Разлагая эту функцию в окрестности точки m в ряд Тэйлора с точностью до бесконечно малых первого порядка, для точек 1 и 2 на гранях параллелепипеда получим следующие ее значения

;

Масса жидкости, вытекающей через правую грань за время в направлении оси x, будет

Разность между массой втекающей и вытекающей жидкости в направлении оси x за время Dt будет равна

Аналогично для осей y и z получим

;

Если жидкость сплошь заполняет рассматриваемый объем, то согласно закону сохранения массы сумма найденных разностей масс должна быть равна приращению массы жидкости в том же объеме, вызванному изменением плотности r за время dt, т.е.

Известно, что .

Подставляя значения dM_t, dM_x, dM_y, dM_z в уравнение закона сохранения масс, получим

. (4.6)

Так как

;

то, подставляя последние соотношения в (4.6), будем иметь

(4.7)

Соотношение (4.7) является уравнением неразрывности сжимаемой жидкости. Этому уравнению можно придать вид

где выражение в скобках называется дивергенцией вектора скорости.

Для установившегося движения частная производная от плотности по времени равна нулю , и уравнение (4.7) принимает вид

В случае движения несжимаемой жидкости и плотность от времени не зависит, т.е.

Поэтому

(4.8)

или

Уравнение неразрывности для элементарной струйки имеет вид

т.е. массовые расходы во всех сечениях элементарной струйки одинаковы.

Для потока

Если жидкость несжимаема, то

; ; .

Отсюда следует, что Q_{1 =}Q_2..

Так как

то

Отсюда

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений потока (рис. 4.11). Объемный расход Q несжимаемой жидкости остается постоянным вдоль канала.

§ 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
(НЕВЯЗКОЙ) ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)

Невязкой или идеальной жидкостью называется жидкость, частицы которой обладают абсолютной подвижностью. Такая жидкость неспособна сопротивляться сдвигающим усилиям и поэтому касательные напряжения в ней будут отсутствовать. Из поверхностных сил в ней будут действовать только нормальные усилия.

Предел

в движущейся жидкости называется гидродинамическим давлением. Гидродинамическое давление обладает следующими свойствами.

1. Оно действует всегда по внутренней нормали (сжимающее усилие).

2. Величина гидродинамического давления не зависит от ориентировки площадки (что доказывается аналогично второму свойству гидростатического давления).

На основании этих свойств можно считать, что . Таким образом, свойства гидродинамического давления в невязкой жидкости идентичны свойствам гидростатического давления. Однако величина гидродинамического давления определяется по уравнениям, отличным от уравнений гидростатики.

Для вывода уравнений движения жидкости выделим элементарный параллелепипед в массе жидкости с ребрами dx, dy, dz (рис. 4.12). Пусть точка m с координатами x, y, z находится в центре этого параллелепипеда. Давление в точке m будет . Компоненты массовых сил, отнесенных к единице массы, пусть будут X, Y, Z.

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось x

, (4.9)

где F₁ и F₂ – силы гидростатического давления; F_m – равнодействующая массовых сил тяжести; F_и – равнодействующая сил <

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒