ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 16Следующая ⇒

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда покоящаяся жидкость заключена в сосуде и находится под воздействием только силы тяжести (рис. 3.7).

Рис. 3.7

В выражении

; ; .

Тогда

или

Интегрируя, получим

. (3.21)

Для освобождения от произвольной постоянной C примем дополнительные условия.

При , , тогда

. (3.22)

Выражая C из (3.22) и подставляя в (3.21), получим

где - глубина погружения точки А.

Отсюда получаем формулу для определения гидростатического давления в точке на глубине h под свободной поверхностью (формула гидростатического давления)

. (3.23)

Разделив уравнение (3.21) на g, получим

Последнее уравнение для любых двух частиц одного и того же объема жидкости будет

Полученное уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Из уравнения (3.23) следует, что давление возрастает по линейному закону с увеличением глубины погружения в несжимаемую жидкость.

Сопоставляя и , находим

Интегрируя, получим

или

Потенциальная функция в данном случае есть потенциальная энергия силы тяжести mgh, отнесенная к единице массы m

§ 3.8. МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ.
АБСОЛЮТНОЕ И ИЗБЫТОЧНОЕ ДАВЛЕНИЕ. ВАКУУМ

Приборы, применяемые для измерения давления, можно разделить на две основные группы: жидкостные и металлические.

Принцип действия жидкостных приборов основан на уравновешивании измеряемого давления высотой столба жидкости (рис. 3.8).

Простейшим представителем приборов жидкостного типа является пьезометр, который представляет собой стеклянную трубку небольшого диаметра (около 5мм), один конец которой открыт и сообщается с атмосферой. Второй конец присоединяется к сосуду, в котором измеряется давление. Пусть давление p больше атмосферного (барометрического) B (p > B). Тогда жидкость в трубке пьезометра поднимается на определенную высоту так, что вес столба жидкости будет уравновешивать разницу в давлениях p и B. Давление в точке A у основания пьезометрической трубки определяется по формуле гидростатического давления (3.23)

Отсюда

Таким образом, высота жидкости в пьезометре характеризует не истинное давление в точке А, а избыток этого давления над атмосферным или барометрическим.

Давление в сосуде p_A принято называть абсолютным давлением. Разницу называют избыточным давлением. Следовательно, абсолютным давлением называется давление в сосуде, отсчитанное от неусловного нуля. Абсолютное давление обозначается «ата», что означает «атмосфера абсолютная».

Избыточным давлением называется разница между абсолютным давлением и атмосферным в том случае, когда абсолютное давление больше атмосферного. Оно обозначается «ати», что означает «атмосфера избыточная».

Очевидно, что

или

Так как барометрическое давление близко к 1 кг/см², то обычно считают .

Для точных измерений абсолютного давления нужно знать показание барометра. При измерении пьезометром , где под p следует понимать избыточное давление. Отсюда .

Измерение давления высотой столба жидкости весьма удобно и часто применяется в технике. Полезно напомнить, что давлению в 1 кгс/см² (техническая атмосфера) соответствует вес столба воды

или же

вес столба ртути высотой см = 735 миллиметров ртутного столба (мм рт. ст.).

Если абсолютное давление в сосуде меньше атмосферного, то для измерения его применяются вакуумметры. Если для измерения вакуума применяются жидкостные приборы, то они обычно выполняются в виде так называемого U-образного манометра (рис. 3.9).

В точках C и B давление одинаково и равно барометрическому B. Тогда по формуле гидростатического давления будем иметь

Учитывая, что , получим

Отсюда

Разность называется вакуумом. То есть вакуумом называется разность между атмосферным давлением и абсолютным в том случае, когда абсолютное давление меньше атмосферного. Например, абсолютное давление в сосуде 0, 3 атм, тогда вакуумом будет разница 1, 0—0, 3 = 0, 7 атм.

Рис. 3.9 Рис. 3.10

Рассмотрим еще случай измерения давления газа с помощью U‑ образного ртутного манометра. На основании формулы гидростатического давления (3.23) можно записать (рис.3.10)

; .

Давления в точках B и C равны, так как они находятся на поверхности равного давления в жидкости (ртуть).

Тогда

Отсюда

Из металлических приборов наиболее распространенным на практике является пружинный манометр (рис.3.11), принцип действия которого следующий.

Под действием давления жидкости полая пружина 1 частично распрямляется и посредством зубчатого механизма 2 приводит в движение стрелку 3, перемещающуюся относительно шкалы 4. Принцип действия пружинного манометра основан на уравновешивании силы давления жидкости упругой силой пружины. Пружинный манометр также показывает избыточное давление.

§ 3.9. ГИДРОСТАТИЧЕСКИЙ НАПОР И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ
ЗАКОН ДЛЯ ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В РАВНОВЕСИИ

При выводе основного уравнения гидростатики выше (см. п. 3.7) было получено дифференциальное уравнение вида

Прежде чем интегрировать это уравнение, представим его в следующем виде

или

Проинтегрировав, получим

Величина представляет ту высоту, на которую поднялась бы жидкость в пьезометре, если бы верхний конец его находился под нулевым давлением p = 0 (рис. 3.12).

Таким образом, это есть высота, соответствующая абсолютному давлению в жидкости. Она называется приведенной (высота h₂).

Рис. 3.12

- геометрическая высота выбранной точки над условной плоскостью сравнения 0 - 0. Отсюда

. (3.24)

Уравнение (3.24) показывает, что сумма двух высот и для любой точки жидкости остается постоянной. Эта сумма называется абсолютным (полным) гидростатическим напором.

Если конец пьезометра соединить с атмосферой при давлении B, то уравнение (3.24) примет вид

. (3.25)

Сумма и называется гидростатическим напором, а величина - пьезометрическим напором.

Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте , называется плоскостью гидростатического или пьезометрического напора, а - плоскостью абсолютного (полного) напора. Очевидно, что .

Выражениям (3.24) и (3.25) можно придать простой энергетический смысл. Рассмотрим частицу жидкости массой m. Ее потенциальная энергия относительно плоскости 0 - 0 будет mgz. Кроме того, под действием давления p частица может подняться на высоту , т.е. обладает потенциальной энергией давления, равной

Таким образом, полный запас потенциальной энергии частицы будет

Разделив последнее соотношение на mg, получим

где .

Отсюда следует, что высота z - есть удельная потенциальная энергия положения частицы, а - удельная потенциальная энергия давления.

Величина

является полной удельной потенциальной энергией частицы.

Последнее соотношение называется энергетическим законом для жидкости, находящейся в равновесии.

Для всех точек данного объема покоящейся жидкости удельная потенциальная энергия одинакова. Эти утверждения справедливы как для полного , так и для пьезометрического напоров.

§ 3.10 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА
ДЛЯ СЛУЧАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПОКОЯ ЖИДКОСТИ

Пусть жидкость находится в емкости, которая движется прямолинейно и равноускоренно по горизонтальной плоскости с ускорением а (рис. 3.13).

Масса жидкости при движении находится под действием массовой силы тяжести и силы инерции от горизонтального перемещения. Соответствующие проекции массовых сил будут равны .

Уравнение (3.15), учитывая массовые силы, примет вид

Переменные в уравнении разделены. Интегрируя его, получим

, (3.26)

где C - постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий, которые в данном случае имеют вид при x=0 и z=0.

Отсюда

. (3.27)

Подставляя (3.27) в (3.26), найдем

. (3.28)

Рис. 3.13

Уравнение (3.28) для свободной поверхности, где p = p₀, примет вид

Отсюда

. (3.29)

Так как a/g является константой, то уравнение (3.29) будет уравнением прямой линии. Это означает, что плоскость, проведенная через оси x и z, будет пересекать наружную поверхность жидкости по линии AB.

Отношение a/g представляет тангенс угла наклона прямой AB к горизонтальной плоскости .

Отсюда .

Запишем уравнение (3.28) для некоторой точки M в виде

или

. (3.30)

Согласно (3.29) первый член в правой части уравнения (3.30) будет , так как точка M¢ находится на поверхности.

Отсюда, учитывая, что , а получим

или

. (3.31)

Уравнение (3.31) представляет формулу гидростатического давления
(3.23). Таким образом, давление в любой точке жидкости, движущейся вместе с емкостью прямолинейно и равноускоренно, определяется по формуле гидростатического давления, где h - глубина погружения точки под поверхностью жидкости. Например, давление в точке D будет .

Рассмотрим теперь жидкость, находящуюся в цилиндрической емкости, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w (рис. 3.14 ).

Центробежная сила на единицу массы

где V -окружная скорость.

Проекции массовых сил на соответствующие оси координат будут

;

Подставляя их значения в соотношение

получим

Интегрируя, найдем

где C - постоянная интегрирования. Так как при x = 0, y = 0, z = 0 p = p_0,то
C = p₀. Учитывая, что , находим

(3.32)

По формуле (3.32) можно найти давление в любой точке М жидкости по глубине емкости. Для нахождения поверхностей равного давления положим dp=0, тогда будем иметь

Интегрируя, получим

Отсюда

Следовательно, поверхности равного давления представляют собой параболоиды вращения.

При r = 0, z = 0 получаем C = 0 для уравнения свободной поверхности. Тогда уравнение свободной поверхности

Найдем давление в некоторой точке М, расположенной на глубине h от поверхности. Обозначив аппликату свободной поверхности через z₀(точка М), получим

Подставляя это выражение в (3.32), находим

или

где . Таким образом, вновь получили формулу гидростатического давления.

§ 3.11. СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНУЮ
ПОВЕРХНОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Рассмотрим криволинейную поверхность произвольной формы, отделяющую капельную жидкость от газа, например, часть поверхности стенки сосуда (рис. 3.15).

На каждую из элементарных площадок dw_n криволинейной поверхности действует элементарная сила, направленная по нормали к площадке и равная dF. В общем случае все эти элементарные силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Такая система, как известно из теоретической механики, приводится к одной силе , называемой главным вектором, и к одной паре сил, момент которой называется главным моментом.

Рис. 3.15

Здесь - радиус-вектор площадки относительно центра моментов;

´ - знак векторного произведения.

В частных случаях эта система приводится к одной силе, называемой равнодействующей.

В дальнейшем определим лишь величину главного вектора сил давления. Как известно, для определения главного вектора по величине и по направлению достаточно вычислить три его проекции на оси координат. Тогда величина его будет

а направление определяется соотношениями

; ; .

Рассмотрим сначала определение проекций вектора силы давления на горизонтальные оси. Определим . Давление на элементарную площадку dw_n на основании формулы гидростатического давления . Напомним, что величина этого давления не зависит от направления площадки по 2-му свойству гидростатического давления. Элементарная сила определяется по формуле

Ее проекция на ось x

Учитывая, что , получим

Интегрируя, находим

Очевидно, . Второй интеграл равен статическому моменту площади w_x относительно оси 0y или

где - глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности. Отсюда получим

Аналогично для другой горизонтальной проекции будем иметь

где относится к w_y.

Таким образом, горизонтальная проекция вектора силы давления равна произведению площади вертикальной проекции данной поверхности на величину гидростатического давления на глубине погружения центра тяжести этой проекции.

Для определения вертикальной проекции F_z аналогично составим интеграл

или

где - горизонтальная проекция .

Последнее соотношение перепишем в виде

Первый интеграл равен .

Второй интеграл

есть объем воды, заключенный между криволинейной поверхностью и ее проекцией на свободную поверхность - плоскость y0x. Этот объем называют объемом тела давления.

Тогда интеграл

равен весу тела давления. Отсюда

Таким образом, вертикальная проекция равна сумме произведения начального давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности w_z и веса тела давления.

Нахождение горизонтальных проекций не составляет труда. Определение вертикальной проекции связано с нахождением объема или веса тела давления, на чем мы остановимся несколько подробнее.

§ 3.12. Частные случаи расчета сил, действующих
на криволинейные поверхности закономерных форм

Рассмотрим здесь только цилиндрические поверхности с образующей параллельной оси y (рис.3.16).

Задача в данном случае по существу сводится к нахождению тела давления и к определению направления веса тела давления. Вес тела давления может быть как положительный – направленный по оси 0z, так и отрицательный – направленный в сторону отрицательных z, т. е. вертикально вверх.

Рис. 3.16

Когда силы давления действуют на поверхность вниз, то и вес тела давления получается направленным вниз, т. е. положительным. Когда силы давления действуют на поверхность вверх (случай 3), то и вес тела давления направлен вверх, т.е. отрицателен. После нахождения G расчет ведется также, как было указано выше.

§ 3.13. Сила давления жидкости на плоскую стенку
произвольной формы

Пусть имеется фигура произвольной формы площадью w в плоскости 0l, наклоненной к горизонту под углом a (рис. 3.17).

Для удобства вывода формулы для силы давления жидкости на рассматриваемую фигуру повернем плоскость стенки на 90⁰ вокруг оси 0l и совместим ее с плоскостью чертежа. Выделим на рассматриваемой плоской фигуре на глубине h от свободной поверхности жидкости элементарную площадку dw. Тогда элементарная сила, действующая на площадку dw, будет

Интегрируя последнее соотношение, получим суммарную силу давления жидкости на плоскую фигуру

Учитывая, что , получим

или

Рис. 3.17

Последний интеграл равен статическому моменту площадки w относительно оси 0y, т.е.

где l_с - расстояние от оси 0y до центра тяжести фигуры. Тогда

Так как , то

т. е. суммарная сила давления на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на гидростатическое давление в ее центре тяжести.

Точка приложения суммарной силы давления (точка d, рис 3.17) называется центром давления. Центр давления находится ниже центра тяжести плоской фигуры на величину эксцентриситета е. Последовательность определения координат центра давления и величины эксцентриситета изложена в § 3.15.

В частном случае вертикальной прямоугольной стенки получим (рис. 3.18)

В частном случае горизонтальной прямоугольной стенки будем иметь

Гидростатический парадокс

Формула для силы давления на горизонтальную стенку

показывает, что суммарное давление на плоскую фигуру определяется лишь глубиной погружения центра тяжести и площадью самой фигуры, но не зависит от формы того сосуда, в который налита жидкость. Поэтому, если взять ряд сосудов, различных по форме, но имеющих одинаковую площадь дна w_Ги равные уровни жидкости H, то во всех этих сосудах суммарное давление на дно будет одинаковым (рис. 3.19). Гидростатическое давление обусловлено в данном случае силой тяжести, но вес жидкости в сосудах разный.

Возникает вопрос: как же различный вес может создать одинаковое давление на дно? В этом кажущемся противоречии и состоит так называемый гидростатический парадокс. Раскрытие парадокса заключается в том, что сила веса жидкости действует в действительности не только на дно, но еще и на другие стенки сосуда.

Рис. 3.19

В случае расширяющегося кверху сосуда, очевидно, что вес жидкости больше силы действующей на дно. Однако в данном случае часть силы веса действует на наклонные стенки. Эта часть есть вес тела давления.

В случае сужающегося к верху сосуда достаточно вспомнить, что вес тела давления G в этом случае отрицателен и действует на сосуд вверх.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒