Ламинарное движение жидкости

Определим основные закономерности ламинарного потока при равномерном движении в круглых трубах. При этом будем рассматривать участок стабилизированного течения, т.е. участок, на котором профиль скорости ламинарного потока полностью сформировался (см. §6.7).

Ранее (см. § 6.1) было показано, что ламинарное течение имеет слоистый характер без перемешивания частиц. При этом имеют место только направления потока, параллельные оси трубы при полном отсутствии поперечных движений жидкости. Скорость в слое, непосредственно соприкасающемся со стенками, вследствие прилипания жидкости к стенке (из-за вязкости жидкости) равна нулю. Максимального значения скорость достигает в слое, движущемся по оси трубы.

Для принятой схемы движения необходимо установить закон распределения скоростей в поперечном сечении потока, получить расчетные зависимости для определения расхода жидкости и потерь напора на трение по длине потока.

Рассмотрим ламинарный равномерный поток жидкости в трубе круглого сечения (рис. 6.6).

 

 

Рис. 6.6

 

Основное уравнение равномерного потока имеет вид

. (6.3)

По закону Ньютона для внутреннего трения

. (6.4)

В трубе круглого сечения гидравлический радиус отсека потока с геометрическим радиусом r равен . Поскольку при ламинарном режиме течения жидкости в трубе векторы скорости симметричны относительно продольной оси, то за нормаль следует принять радиус отсека потока.

Тогда

.

Знак минус взят потому, что при увеличении радиуса скорость убывает.

Уравнения (6.3) и (6.4) примут вид

; .

Приравнивая правые части этих уравнений, находим

или

.

Интегрируя, получим (учитывая, что в равномерном потоке , т.е. не зависит от r)

.

Постоянная интегрирования C находится из граничных условий. При (скорость движения жидкости на стенке равна 0). Тогда

.

Отсюда

. (6.5)

Из полученного уравнения видно, что скорость в поперечном сечении потока изменяется по закону параболы (рис. 6.7).

Максимальная скорость имеет место на оси трубы при . Тогда из последнего уравнения следует

.

Или, преобразуя уравнение (6.5)

и, учитывая формулу для u _max, получим

,

т.е. распределение безразмерных скоростей является лишь функцией безразмерной величины . Эта функция одинакова во всех случаях ламинарного движения любой жидкости внутри круглых труб. Следовательно, все рассматриваемые течения подобны независимо от числа Re. Такие явления называют автомодельными.

Полученную выше формулу для касательных напряжений

,

учитывая, что , можно записать в виде

,

где .

 

Рис.6.7

Отсюда формула для t принимает вид

.

Из этой формулы следует, что касательное напряжение является линейной функцией текущего радиуса трубы r. Максимального значения t принимает на стенке трубы, минимального ( ) - в ее центре. Эпюра касательного напряжения представлена на рис.6.7.

 

Расход жидкости

Найдем расход жидкости, протекающей через данное сечение ламинарного потока. Выделим в потоке элементарное кольцо, ограниченное радиусом r и (рис.6.8).

Элементарный расход составит

,

а полный расход будет

. (6.6)

Подставляя (6.5) в (6.6), получим

.

Определяя интеграл, будем иметь

. (6.7)

Найдем среднюю по сечению скорость

. (6.8)

Отношение средней скорости к максимальной будет

.

откуда

.

Выведем формулы для гидравлического уклона J.

Из уравнения для расхода (6.7), учитывая, что , получим

.

Отсюда

. (6.9)

Так как

и

,

то

. (6.10)

Формулы (6.9) и (6.10) называются формулами Гагена - Пуазейля.

Из формулы (6.9) видно, что при одном и том же расходе гидравлический уклон обратно пропорционален диаметру в 4-й степени. А из формулы (6.10) следует, что гидравлический уклон прямо пропорционален средней скорости .

 

§ 6.6. Коэффициент линейных потерь при ламинарном
движении жидкости

Зная закон распределения скорости в поперечном сечении, можно вывести теоретические формулы для определения расхода жидкости, потери напора на трение, а также коэффициент линейных потерь l при ламинарном режиме течения.

Средняя по сечению скорость согласно формуле (6.8) равна

.

Учитывая, что и , получим

.

Отсюда

или

.

После некоторых преобразований найдём

.

Отсюда получим

.

Сравнивая с формулой Дарси - Вейсбаха

,

находим

.

Последнее соотношение представляет формулу Пуазейля для определения коэффициента трения l (коэффициента линейных потерь).

Логарифмируя формулу Пуазейля, получим

.

Из последнего соотношения следует, что зависимость l от Re будет выражаться в логарифмических координатах прямой линией с углом наклона к оси абсцисс, равным 45⁰ (рис. 6.9).

Многочисленные эксперименты полностью подтверждают правильность для ламинарного изотермического потока полученных теоретических выводов. Тем самым подтверждается и правильность закона Ньютона для внутреннего трения, положенного в основу этих выводов. При Re ³ 2300, т.е. при турбулентном режиме, закон Пуазейля неприменим.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. Движение поездов на однопутных перегонах
2. II. Движение поездов по перегонам, имеющим путевые посты (блок-посты)
3. II. Работа со словарём. Научитесь одним движением руки открывать нужную букву в словаре.
4. IV. Движение поездов при неисправности электрожезловой системы и порядок регулировки количества жезлов в жезловых аппаратах
5. Белорусское нац-ое движение в нач.20 в.
6. В какой точке экономическое движение останавливается?
7. Вопрос №20. Движение вещественного капитала: физический и моральный износ.
8. Вот я и разделил мой курс обучения на пять этапов, и каждый из них - это движение на Пути Дзэн-гитары.
9. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
10. Всё движение руками плавное, непрерывное, не прерывая контакта с телом.
11. Выдвижение и регистрация кандидатов
12. Давление жидкости на плоские стенки