УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 16Следующая ⇒

Применение уравнения Бернулли, выведенного для отдельной струйки, для потока жидкости затрудняется неравномерностью распределения скоростей по живому сечению потока, наличием поперечных составляющих продольной скорости и влиянием центробежных сил. В связи с этим необходимо установить характеристику потоков, для которых можно применять уравнение Бернулли, а также предложить способ учета неравномерности скоростей в живых сечениях потока.

Рис. 4.19

Рис. 4.20

Для решения этих вопросов в гидравлике выделяется так называемое плавно изменяющееся движение (рис. 4.19, 4.20), которое характеризуется следующими особенностями.

1. Угол расхождения соседних струек, а, следовательно, и поперечные составляющие скоростей в живых сечениях потока настолько малы, что ими можно пренебречь и рассматривать течение как происходящее только с продольной скоростью.

2. Кривизна линий тока настолько мала, а радиусы закруглений настолько велики, что центробежными силами в таких потоках можно пренебречь.

3. Кривизна живых сечений при неравномерном распределении скорости настолько невелика, что их можно рассматривать как плоские.

4. Гидродинамическое давление в живых сечениях распределяется по законам гидростатики, т.е. сумма z + p/g = const для всех точек данного живого сечения. Следовательно, уровень в пьезометрах при плавно-изменяющемся движении во всех точках живого сечения потока будет одним и тем же (рис. 4.21).

В случае плавноизменяющегося движения уравнение Бернулли для элементарной струйки можно распространить и на поток с поперечным сечением конечных размеров, скорости в различных точках которого различны. Однако в гидравлике обычно расчеты ведутся по средним скоростям. Для приведения результатов расчетов по средним скоростям в соответствие с расчетами по действительным скоростям вводятся некоторые поправочные коэффициенты (коэффициент Кориолиса, см. ниже).

Таким образом, плавноизменяющееся движение можно считать практически одномерным, т.е. положить , направив ось x параллельно потоку. Отсюда u_y»0; u_z»0. Тогда уравнения Навье-Стокса примут вид

;

Последние два уравнения переходят в уравнения гидростатики Эйлера, а это означает, что в плоскости y0z давления распределяются по закону гидростатики.

Распространим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в виде

(4.15)

на поток реальной жидкости.

Правая и левая части этого уравнения есть удельная энергия жидкости, т.е. энергия, отнесенная к единице веса. Весовой расход элементарной струйки определяется по формуле

где dw - сечение элементарной струйки; - объемный расход.

Умножая обе части уравнения (4.15) на dG, получим не удельную, а полную энергию элементарной струйки в сечениях 1 и 2 и полную потерю этой энергии между сечениями 1 и 2 в единицу времени, т.е. ,

где - энергия струйки в 1-м сечении;

- энергия струйки во 2-м сечении;

- потеря энергии между 1-м и 2-м сечением.

Или

Для того чтобы получить подобные соотношения мощностей для всего потока

необходимо произвести интегрирование

. (4.16)

Преобразуем эти интегралы

Так как при плавноизменяющемся движении , то во всех точках данного сечения , .

Аналогично

Запишем третий интеграл в левой части соотношения (4.16) в виде

т.е. выразим его как произведение некоторого коэффициента a на скоростной напор, подсчитанный по средней скорости потока и на весовой расход жидкости .

Коэффициент a носит название коэффициента кинетической энергии потока или коэффициента Кориолиса. Таким образом, a представляет отношение кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что скорости всех точек живого сечения потока равны средней скорости потока, т.е.

; (4.17)

;

Кроме того из (4.17) следует

Отсюда заключаем, что коэффициент a характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Для ламинарного режима
a ≈ 2, для турбулентного режима a » 1, 05 - 1, 1.

Существенно большее значение a для ламинарного режима течения по сравнению с турбулентным объясняется большей неравномерностью скорости в поперечном сечении потока при ламинарном режиме (см. профили скоростей ламинарного и турбулентного режимов течения, приведенные на
рис. 6.17).

Последний интеграл в (4.16) будет .

Тогда уравнение Бернулли для потока примет вид

Поделив на весовой расход жидкости обе части уравнения, получим соотношение для удельных энергий потока

Обычно для упрощения гидравлических расчетов трубопроводов для турбулентных потоков принимают a = 1 и уравнение Бернулли для потока будет иметь вид

§ 4.13. ГРАФИческая иллюстрация УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим распределение напоров в трубопроводе, имеющем сужение в средней его части (рис. 4.22). Выделим три характерных сечения, в которых расположим пьезометры и трубки Пито (описание трубок см. § 4.14).

На рис.4.22 при течении жидкости в трубопроводе могут быть выделены следующие характерные линии:

I - линия геометрических напоров;

II - пьезометрическая линия;

III - линия полного напора.

h_1-2, h_1-3- потеря напора соответственно во втором и третьем сечениях.

Рис. 4.22

Применительно к рис. 4.22 уравнение Бернулли запишется в виде

На рис. 4.22 отмечены все члены уравнения Бернулли. В частности, видно, что пьезометрический напор в узком сечении уменьшается, а скоростной напор - возрастает. Максимальная потеря напора имеет место в третьем сечении ( ) (потери на трение и в местных сопротивлениях см. гл. 6).

§ 4.14. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Уравнение Бернулли имеет широкое применение во многих гидравлических расчетах и для объяснения многих гидравлических явлений. В частности, оно может быть использовано для измерения давления и скорости движущейся жидкости. Для измерения давления используется пьезометр (прямая трубка на рис.4.23). Для измерения скорости совместно с пьезометром используется трубка Пито - трубка полного напора. Она представляет собой трубку, изогнутую под прямым углом и установленную навстречу потоку.

Уровень жидкости в пьезометре равен .

Разность уровней в пьезометре и в трубке полного напора будет равна скоростному напору .

Действительно, напишем уравнение Бернулли для точек А и В

Так как , , , то

где - высота жидкости в трубке полного напора; - высота жидкости в пьезометре.

Отсюда

Тогда

Или

где φ > 1 - коэффициент, определяемый для каждой трубки опытным путем. За счет вязкости жидкости и других отклонений от идеального случая преобразования энергии и поэтому чтобы не получать пониженных значений скоростей, φ > 1.

§ 4.15. ТРУБКА ПРАНДТЛЯ

Дальнейшим усовершенствованием трубки Пито является трубка Прандтля. В этом приборе объединяются трубка Пито и пьезометр (рис.4.24). Роль трубки Пито здесь выполняет трубка 2 (она направлена навстречу потоку), а пьезометра – трубка 1 (отверстия в этой трубке находятся параллельно направлению потока).

Пусть в сечении I имеем давление и скорость набегающего потока p и v. В сечении II давление на входе в трубку 2 равно р_к (скорость u_к здесь равна нулю). Записывая уравнение Бернулли для сечений I и II и учитывая, что
u_к = 0, z₁= z₂, получим

Отсюда

. (4.18)

Для определения воспользуемся формулой гидростатического давления (см. § 3.7).

Применяя эту формулу для точек А и Д, получим

где - удельный вес ртути; h- удельный вес газа, скорость которого измеряется.

Так как при равновесии давление в точках А и Д одинаково, то

Учитывая, что получим

Подставляя последнее соотношение в (4.18), получим

Для каждой отдельной трубки вводится некоторый коэффициент , определяемый опытным путем. Отсюда формула для определения скорости потока принимает вид

§ 4.16. ТРУБКА ВЕНТУРИ, СОПЛО, ДИАФРАГМА

В промышленных условиях для измерения расхода жидкостей применяются трубки Вентури, сопла и диафрагмы. Более подробно рассмотрим трубку Вентури (рис. 4.25). Трубка Вентури создает в трубопроводе местное сужение потока и по возникающему перепаду давлений Dp можно определить расход жидкости.

Для сечений I и II запишем уравнение Бернулли (считая распределение скоростей равномерным)

где h_M - потеря напора между сечениями I и II, ; x - коэффициент местных потерь (см. § 6.21).

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид

Отсюда .

Подставляя h_M, u₁, и в уравнение Бернулли и выражая u₂, получим

Объемный расход будет определяться по формуле

Рис. 4.25

Рис. 4.26

, (4.19)

где C - величина, постоянная для данного расходомера (трубки Вентури).

Довольно часто вместо пьезометров 1 и 2 для измерения перепада давления в расходомере применяют дифференциальный трубный манометр
(рис. 4.26).

Рис. 4.27 Рис. 4.28

Учитывая, что над ртутью в трубках находится одна и та же жидкость плотностью r, можно записать (см. рис. 4.26)

. (4.20)

Значения , полученные по формуле (4.20), можно использовать для определения расхода по формуле (4.19).

Аналогично для измерения расхода могут быть использованы диафрагмы (рис. 4.27) и сопла (рис. 4.28).

Задача 1. При ламинарном режиме движения жидкости по горизонтальному трубопроводу диаметром расход жидкости равен (рис. 4.29). Падение пьезометрической высоты на участке длиной составляет . Определить коэффициенты кинематической и динамической вязкости жидкости. Исходные данные задачи:

; ; ; ; .

Рис. 4.29

Решение.

; ; ; ;

. (а)

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2 трубы

Так как и , то уравнение Бернулли примет вид

, где ; .

Учитывая, что , получим

Отсюда

Известно, что λ = 64/ Re – формула Пуазейля. Отсюда Re = 64/λ.

Подставляя последнее соотношение в (а), получим

Отсюда

Учитывая, что м², получим

Так как , то

Глава 5

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ

Существует два метода исследования физических явлений – аналитический и экспериментальный. При аналитическом исследовании движения жидкости задача сводится к интегрированию сиcтемы дифференциальных уравнений при заданных условиях однозначности. Например, для вязкой несжимаемой жидкости имеем следующую сиcтему дифференциальных уравнений

; (5.1)

, (5.2)

где (5.1) – система уравнений Навье – Стокса, записанных в векторной форме (см. § 4.8); (5.2) - уравнение неразрывности. Кроме того, должны быть заданы начальные и граничные условия и значения физических постоянных r и n.

В принципе, совокупностью системы основных дифференциальных уравнений и условий однозначности конкретное единичное явление определено вполне. Однако эти уравнения чрезвычайно сложны (являются уравнениями в частных производных) и решения найдены лишь для небольшого числа частных случаев, к тому же при весьма существенных упрощающих предпосылках.

Другим методом исследования является непосредственный эксперимент. При этом измеряются те величины, которые представляют прямой практический интерес и находятся связи, допускающие непосредственное приложение. Однако данные, полученные из опыта, будут относиться только к тому частному случаю, который подвергался эксперименту. Необходимо найти пути обобщения данных опыта на другие родственные явления. Это позволило бы на основании немногих экспериментов судить о параметрах жидкости в многочисленных родственных явлениях. Задача нахождения научно обоснованного метода обобщения данных опыта решается теорией подобия, которая является учением о методах обобщения данных опыта.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

Дадим некоторые определения теории подобия.

Под классом явлений понимается система дифференциальных уравнений, описывающих физическое явление. Например, системой уравнений Навье - Стокса и уравнением неразрывности описываются все возможные виды движения вязкой несжимаемой жидкости в каналах любой формы.

Под единичным явлением понимается система дифференциальных уравнений с наложенными на нее условиями однозначности. Действительно, если к системе дифференциальных уравнений присоединить условия однозначности и решить ее, то получим описание конкретного единичного явления.

Под группой явлений понимается система дифференциальных уравнений с наложенными на нее подобными условиями однозначности. Например, явления, протекающие в каналах, геометрически подобных, будут относиться к одной группе явлений.

Основная идея теории подобия заключается в выделении внутри класса явлений более узких групп.

Подобными явлениями называются такие, у которых отношение характеризующих их переменных есть постоянное число. Существуют следующие виды подобия.

1. Для того чтобы модель была механически подобна образцу (объекту, для которого создаётся модель), прежде всего должно соблюдаться геометрическое подобие; для этого отношение длин сходственных отрезков образца и модели должно быть одинаковым, т.е.

где l_м – некоторый линейный размер потока модели; l_о – соответствующий размер потока в образце; C_l – константа геометрического подобия (линейный масштаб модели).

Из последней формулы следуют также соотношения

; ,

где ω ", ω ' – площади модели и образца; V", V' – объёмы модели и образца.

2. При получении модели кроме геометрического подобия необходимо соблюдать ещё динамическое подобие, которое означает, что все силы, вызывающие рассматриваемые движения в модели, должны быть изменены с аналогичными силами в образце в одно и то же число раз.

Сила F определяется в виде произведения массы m на ускорение a, т.е.

Так как размерность массы m = ρ l³, а ускорения a = l/t², то размерность силы будет

Отсюда следует, что для динамического подобия необходимо соблюдение соотношения

, (5.3)

где ; ;

C_f – константа динамического подобия (масштаб сил).

Условие (5.3) является математическим выражением общего закона динамического подобия, которое впервые сформулировано Ньютоном.

В теории подобия доказывается, что при выполнении геометрического и динамического подобия будет соблюдаться также и кинематическое подобие.

Следовательно, скорости, ускорения и перемещения частиц в модели будут изменяться в одних и тех же отношениях по сравнению с образцами, т.е.

; ; .

Таким образом, для двух подобных явлений должны существовать соотношения типа

; ; ; и т.д.,

где C_l_,C_f, C_v, C_a сохраняют постоянные значения в соответственных точках подобных систем. Эти величины поэтому называются константами подобия.

Вообще говоря, подобных явлений бывает не два, а бесконечно большое количество. Эти явления составляют группу подобных явлений. Поэтому выражение вида есть групповое преобразование явлений, где C_x принимает последовательно постоянные значения при переходе от одного явления к другому, подобному первому.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒