Изменение матрицы линейного оператора

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Рассмотрим оператор j в пространстве V². Пусть А _j – его матрица в исходном базисе . Вектор-столбец Х = под действием оператора j преобразуется в вектор-столбец Y = . В матричном виде это будет записано так: Y = A_jX. Совершим переход к новому базису и пусть матрица формул перехода обозначена через T. Тогда Y ¢ = A¢ _jX ¢, где A ¢ _j – матрица преобразования j в новом базисе, а Х=Т X ¢ , Y=TY ¢. Найдём связь матриц A_j и A¢ _jв разных базисах.

Из Y=T× Y ¢ Þ Y ¢ =T^-1× Y = T^-1× A_j× X= T^-1 A_j× Т× X ¢, но т.к. Y ¢ = A¢ _j× X ¢, то получим:
T^-1 × A_j× Т=A¢ _j, или A¢ _j=T^-1 × A_j× Т.

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Собственным вектором линейного оператора j называется ненулевой вектор , если существует действительное число l, такое, что Число l называется собственным числом оператора j, этому числу соответствует собственный вектор . Например, при осевой симметрии плоскости относительно прямой l собственными будут: 1) все векторы, параллельные прямой l; 2) все векторы, перпендикулярные прямой l, причем, l₁=1, а l₂=–1 – собственные числа.

Рассмотрим нахождение собственных чисел и соответствующих им собственных векторов данного линейного оператора. Пусть – собственный вектор, соответствующий собственному числу l оператора j, заданного матрицей в векторном пространстве V², базис которого . Тогда ; пусть .

Но

Ненулевые решения этой однородной системы существуют, если

Это уравнение (относительно l) называется характеристическим. Его корни – собственные числа. Найдя l_i и подставив их в однородную систему, вычислим координаты собственных векторов, соответствующих собственным числам l_i. Аналогично можно работать и в пространстве V³, V⁴ и т.д.

Замечание: если собственный вектор - соответствует собственному числу l, то любой вектор a× – тоже собственный и соответствует этому же собственному числу l, действительно: – собственный вектор, соответствующий числу l.

Пример:

Пусть линейный оператор j задан своей матрицей . Найти его собственные числа и собственные векторы.

1. Вычислим корни характеристического уравнения . l₁=–1, l₂=6.

2. Найдём собственные векторы, соответствующие l₁=–1.

Для этого числа однородная система (на соответствующий собственный вектор), имеет вид: Þ {x+y=0, т.е. =(х; –х) – их бесчисленное множество (т.к. х – любое, кроме 0). В частности, если х=1, то =(1; –1).

Далее так же находим собственный вектор и для l₂=6.

, т.е. , здесь Y¹ 0. В частности, если у=5, то =(2; 5).

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Ранее было отмечено, что вид матрицы А_j линейного оператора j зависит от того, в каком базисе её рассмотреть. Если за базис принять базис из собственных векторов этого оператора, то матрица А¢ _jбудет иметь диагональный вид, причём на диагонали этой матрицы будут стоять собственные числа. Напомним A¢ _j=T^-1 × A_j× Т. Покажем это на примере.

Пусть . Для этого оператора были найдены l₁=–1, l₂=6 и собственные векторы =(1; –1) и =(2; 5) соответственно. Рассмотрим новый базис { ; }, тогда матрица перехода получит вид .

1. Т^–1 –? .

Проверка: Т^–1Т = .

2. Т^–1× A_j= .

3. T^-1 × A_j× Т= .

Итак, A¢ _j=T^-1 × A_j× Т= – диагональная матрица (на диагонали – собственные числа).

Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х, у (т.е. каждый его одночлен – второй степени) называется квадратичной формой от этих переменных:
Ф(x, y)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y². Квадратичная форма Ф вполне определяется матрицей вида: , где а₂₁=а₁₂, т.е. это – симметричная матрица.

Если перейти к новому базису, то квадратичная форма, как и её матрица, изменит свой вид, но останется квадратичной относительно новых переменных x ¢, y ¢. Как уже отмечалось, в базисе из собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид, поэтому, квалифицируя матрицу квадратичной формы как матрицу некоторого линейного оператора, приведём её к диагональному виду выше рассмотренным способом.

Например, пусть имеем квадратичную форму:

Ф (x, y) = 17x2 + 12xy + 8y2.

= 136 – 36 = 100 > 0.

Для оператора с этой матрицей собственными числами являются l₁=5, l₂=20. Тогда в базисе из собственных векторов, соответствующих этим числам, матрица этого оператора, а значит, и матрица этой квадратичной формы, примет вид: , и соответственная квадратичная форма запишется так: Ф(x¢; y¢ )=5(x¢ )²+20(y¢ )².

Матричные модели в биологии

Пример 1. Контакты первого и второго порядка в эпидемиологии.

Предположим, имеется группа из больных некоторой заразной болезнью, будем считать ее первой группой. Ко второй группе отнесем людей, опрашиваемых на предмет выявления контактов с людьми из первой группы. Кроме того, можно составить третью группу из человек, опрашиваемых для выяснения контактов с людьми из второй группы.

В частности, принимая , определим матрицу контактов между второй и первой группами , полагая если й человек из второй группы находился в контакте с м больным из первой группы и – в противном случае. Аналогично определим матрицу контактов между третьей и второй группами , полагая если й человек из третьей группы находился в контакте с м больным из второй группы и - в противном случае.

Матрицы и описывают схемы прямых контактов между группами. Предположим

(1)

Нас могут интересовать непрямые контакты или контакты второго порядка между людьми из третей группы (7 человек) и больными из первой группы (3 человека). Матрица будет описывать эти непрямые контакты, в данном случае:

(2)

Например элемент (матрицы ) показывает, что имеется 2 непрямых контакта между третьим человеком из третьей группы и вторым человеком из первой группы. По виду матрицы можно сделать некоторые предварительные выводы о вероятности заражения лиц третьей группы в результате непрямых контактов с больными. Суммируя элементы шестого столбца, определяем что у 6 человека из третьей группы оказалось непрямых контакта с группой больных, что может свидетельствовать о высокой вероятности его заражения. В то время как у 5 человека непрямые контакты отсутствуют и его, видимо, можно исключить из группы " возможных контактов".

Пример 2. Матричная модель популяции.

В любой популяции, будь то популяция рыб, лосей, крупного рогатого скота и т.д, можно условно выделить несколько возрастных групп. В простейшем случае можно рассматривать 3 группы: препродуктивную (еще не способны к воспроизведению потомства), обозначим , репродуктивную - производящую потомство и постпродуктивную - не производящую потомство по старости.

В зависимости от конкретной задачи может быть рассмотрена более детальная возрастная градация, например, градация возраста по годам, но мы ограничимся упомянутыми простейшими случаями. Будем отслеживать численность возрастных групп популяции в моменты времени Обозначим - численности, соответственно, препродуктивной, репродуктивной и постпродуктивной групп в момент . Интервал времени можно выбрать таким образом, чтобы за этот период особи предыдущей возрастной группы перешли в последующую. В начальный момент состояние популяции опишется вектор-столбцом:

(3)

В последующий момент можно принять то есть численность новорожденных пропорциональна численности репродуктивных особей в предыдущий момент ( - коэффициент " рождаемости" ). Далее примем ( - коэффициенты " выживаемости", соответственно первой и второй возрастных групп). Будем считать коэффициенты константами, одинаковыми для всех моментов времени. По смыслу задачи эти коэффициенты положительны, причем Состояние популяции в момент выражается:

(4)

Аналогично:

(5)

Продолжая выражать состояние популяции в последующий момент через предыдущий, имеем

(6)

(7)

Общую формулу для можно представить в виде:

а) Если - четно, то (8)

б) Если - нечетно, то (9)

В соответствии с формулами, можно сделать некоторые выводы:

1) Численность популяции растет при . Действительно, в этом случае , а значит все компоненты вектора возрастают как при четном, так и при нечетном . Исходя из того, что коэффициенты , неравенство будет выполнятся при достаточно большом коэффициенте " выживаемости" .

Если , то и все компоненты вектора стремятся к нулю. Популяция погибает.

В случае , очевидно, численность популяции со временем не возрастает и не уменьшается. В четные моменты времени она равна , а в нечетные , своего рода колебательный процесс. В частности такая картина будет наблюдаться, если (половина " препродуктивной" группы не доживает до зрелого возраста), а (выжившие взрослые особи увеличивают численность в двое).

2)Существенность различия численности популяции в четные и нечетные моменты времени. Продемонстрируем это она примере популяции, у которой в начальный момент имеюются особи только препродуктивной группы (для популяции рыб - выпускание мальков в необитаемый водоем).

(10)

Согласно формулам

(11)

то есть в четные моменты времени отсутствуют особи репродуктивной группы, а в нечетные - препродуктивной и постпродуктивной групп.

3)Отношение численностей различных возрастных групп со временем сохраняет определенное постоянство. Так из (8) следует:

откуда:

Аналогично:

откуда:

Аналогично показывается постоянство соотношений численностей первой и третьей или второй и третьей возрастных групп.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45