Декартова система координат. Прямая на плоскости

Если на плоскости выбраны две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу с указанными на них положительными направлениями и разметкой в соответствии с заданной единицей масштаба, то говорят, что задана декартова прямоугольная система координат.

Историческая справка: Область математики – аналитическая геометрия – связывается с именем выдающегося французского математика 17 века Рене Декарта (1595-1650). В 1637г. опубликована его книга «Геометрия» в качестве приложения к «Рассуждению о методе», где изложены основы аналитической геометрии. Как отмечается исследователями (Стройк Д.Я., 1990): «Вместе с многими другими великими мыслителями 17 века, Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке… Он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала 17 века к геометрическому анализу древних и таким образом в огромной мере расширил область ее применимости…».

При этом каждой точке плоскости М соответствует единственная пара действительных чисел (х, у) – ее координат, причем соответствие взаимно-однозначное (т.е. верно и обратное).

Задачи на прямую, решаемые методом координат

1. Расстояние между парой точек А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂).

x1

x2

x

X

P

Y

B

H

y1

y

y2

E

C

F

D

M

A

b

α

 

= (следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника АВС).

2. Деление отрезка (АВ) в заданном отношении.

Пусть ( - заданное число).

Тогда если провести МЕ||AC||OX, то из подобия треугольников ( ) следует: = ;

аналогично .

В частности, если М – середина отрезка АВ, то есть если :

; .

3. Уравнение прямой линии.

а) «С угловым коэффициентом»:

Продолжим отрезок АВ до пересечения с осью ОY (в точке Н(0, b)) и с осью ОХ (в точке Р). Пусть HF || OX, тогда и из tg = = .

Откуда y–b = kx ( k = tg - «угловой коэффициент прямой»).

Окончательно: y = kx + b.

б) «Проходящей через заданную точку (А) в заданном направлении (задан угол )».

Из : tg = tg = k =

.

в) «Проходящей через две заданные точки (А и В)».

Из подобия треугольников :

.

4. Угол между прямыми

Пусть заданы прямые: l₁: y= k₁x + b₁ (k₁=tg ); l₂: y= k₂x + b₂ (k₂=tg ).

Тогда , tg = tg ( - )=(tg -tg )/(1+tg tg ).

Или через угловые коэффициенты tg =(k₁ – k₂)/(1+ k₁ k₂).

5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

l₁ // l₂ tg (k₁ – k₂)/(1+ k₁ k₂) k₁ = k₂.

l₁ l₂ 1+ k₁ k₂=0 k₂= -1/ k₁.

Задача: Известны координаты вершин треугольника АВС: А(5, 0), В(17, -9), С(21, 13). Требуется определить:

Длину стороны АВ,

Уравнения сторон АВ, АС,

Угол ВАС (в градусах и радианах),

Уравнение высоты CD (проведенной из вершины С) и ее длину,

Уравнение медианы АЕ (Е – середина ВС),

Уравнение прямой, проходящей через точку С, параллельно стороне АВ.

Решение: -1) |AB| = = = 15.

2) Уравнение АВ: (k_AB= ). Уравнение АС: 16y = 13(x – 5) y = (k_AC= ).

3) tg A = (k_AC – k_AB)/(1+k_AC k_AB) = .

Откуда 76⁰.

4) .

Уравнение CD: y – 13 = (x – 21) = x – 28 y = x – 15.

Координаты точки D найдем из системы:

D:

.

Из системы находим y = -3. Окончательно: D( 9, -3 ).

|CD| = =

5) Координаты точки Е:

x_E = ; y_E = E ( 19, 2 ).

Уравнение АЕ: (k_AE = ).

6) Пусть l – искомая прямая, тогда: k_l = k_AB = .

Уравнение l: y – 13 = -

Окончательно: y = - .

Задачи для самостоятельного решения

1. Через точку пересечения прямых: 4х + 2у – 19 = 0 и 5х + 6у + 6 = 0 проведена прямая, перпендикулярная прямой х + у + 1 = 0. Найдите ее уравнение.

2. Найти расстояние от точки К(2, -1) до прямой 4у – 3х – 15 = 0.

3. Известны координаты вершин треугольника А(-4, -2), В(8, 7), С(6, -7). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины С.

4. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(-6, 2), В(1, 1), С(2, -2). Определить координаты его четвертой вершины D.

5. Определить координаты точки К, симметричной точке С(-1, 2) относительно прямой, проходящей через точки А(0, -1) и В(2, 3).

Контрольные вопросы

1. Что такое Декартова система координат? Что можно принять исторически за точку отсчета появления «метода координат»?

2. Напишите основные формулы, позволяющие решать задачи на прямую в декартовой системе координат:

а) Расстояние между парой точек;

б) Деление отрезка в заданном отношении;

в) Уравнение прямой линии (какие вы знаете? );

г) Угол между прямыми;

д) Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

 

Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых могут быть записаны в виде:

где - действительный числа, причем хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Кривые второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола, парабола.

1. Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки - центра.

Символически: , где - центр, - радиус

Уравнение:

Пример: Написать уравнение окружности радиуса с центром в точке

2. Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний для любых из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Символически: , где , - заданные " фокусы".

Уравнение: Примем координаты фокусов . Тогда для произвольной точки эллипса

(1)

 

 

(2)

Так как . Обозначим Подставляя в равенство (?? 0), получим

– каноническое уравнение эллипса.

Эксцентриситет эллипса: - характеризует степень сжатия эллипса. Действительно:

Чем больше e, тем меньше т.е. эллипс " вытягивается" вдоль оси . При - приходим к уравнению окружности.

Пример. Найти параметры a, b, c и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: . Приведем уравнение к каноническому виду, деля обе части на 576

откуда:

3. Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний для любой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Символически: , где , - заданные " фокусы".

Уравнение: Принимая координаты фокусов и проведя преобразования, аналогичные выводу уравнения эллипса, придем к каноническому уравнению гиперболы:

 

Асимптоты гиперболы: , эксцентриситет:

Если основной прямоугольник " вытягивается" вдоль оси . В случае , т.е. - гипербола " равнобочная".

Пример. Найти полуоси фокальное расстояние , асимптоты и эксцентриситет гиперболы .

Деля обе части на 36, получим

Откуда, . Асимптоты

4. Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки - " фокуса" и данной прямой - " директрисы" Символически: , где -" директриса", - заданный " фокус".

Уравнение: Примем уравнение директрисы ; координаты фокуса . Тогда уравнение параболы:

После преобразования получим: -каноническое уравнение параболы (p– параметр параболы)

Замечание. Если директрису расположить параллельно оси OX, а фокус - на оси OY, то можно получить каноническое уравнение параболы в виде

Пример. Составить каноническое уравнение параболы, проходящей через точку a) Если принять уравнение параболы ,

б) Можно принять уравнение параболы

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Понятие и система криминалистического исследования оружия, взрывных устройств, взрывчатых веществ и следов их применения.
2. V1: Понятие, объект, предмет и система криминологии
3. V7: Система линейных одновременных уравнений
4. Автоматизированная система телемеханического управления (АСТМУ)
5. Административная реформа и система органов исполнительно власти.
6. Административное право - публичное право. Административное право как отрасль права и система правового регулирования государственного управления.
7. Аксиологическое «Я» педагога как система ценностных ориентаций
8. Антиноцицептивная система (АС)
9. Антонио Менегетти. Система и личность
10. Б. Подготовительные упражнения для систематической натаски.
11. Байдаков А.Н. Организационно-экономический механизм управления аграрными производственными системами. Ставрополь: Агрус, 2003. 303 с.
12. Балльно-рейтинговая буквенная система оценки знаний