Директрисы эллипса и гиперболы

1. Уравнения директрис эллипса:

 

2. Уравнения директрис гиперболы:

 

Теорема. Если r - расстояние от произвольной точки эллипса(гиперболы) до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то , где e - эксцентриситет соответствующего эллипса (гиперболы).

Доказательство (для эллипса):

Из равенства (1) в выводе уравнения эллипса . Так как (смотри рисунок) , что и требуется доказать.

Замечание: Для гиперболы принцип доказательства аналогичный. Для параболы, по определению, , т.е. эксцентриситет параболы .

Задачи для самостоятельного решения

1. Написать уравнение окружности с центром в точке K(–1, 2), проходящей через точку .

2. Как расположены относительно окружности :

а) точка , б) прямая ?

3. Напишите каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 10, а фокусное расстояние равно 6.

4. Составить каноническое уравнение гиперболы, если уравнение её асимптоты , а один из фокусов находится в точке .

5. Дана парабола . Найти точки параболы, расстояние от которых до фокуса равно 4.

Контрольные вопросы

1. Каков общий вид уравнения кривой второго порядка? Какие кривые второго порядка вы знаете?

2. Дайте определение окружности. Каков общий вид уравнения окружности?

3. Что такое эллипс? Каково каноническое уравнение эллипса? Дайте определение следующих характеристик эллипса: большая и малая полуось, фокус, фокусное расстояние, эксцентриситет.

4. Что такое гипербола? Каково каноническое уравнение гиперболы? Дайте определение следующих характеристик гиперболы: большая и малая полуось, фокус, фокусное расстояние, асимптоты гиперболы.

5. Что такое парабола? Каково каноническое уравнение параболы? Дайте определение следующих характеристик эллипса: фокус, директриса, параметр.

6. Дайте определение и напишите уравнение директрисы для эллипса и гиперболы. Каково свойство директрисы?

Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость, задание и вывод уравнения

Рассмотрим точку М₀(х₀; y₀; z₀) в координатном пространстве OXYZ и ненулевой вектор =(a; b; c). Существует только одна плоскость w, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная вектору . Точка М₀(x₀; y₀; z₀) называется начальной точкой плоскости w, а вектор =(a; b; c) – нормальным вектором плоскости w.

Для любой точки М(x; y; z) плоскости w получим, что , поэтому
w={M: }. Но , значит w: (x–x₀)a+(y–y₀)b+(z–z₀)c=0 или
w: aх+bу+cz+d=0. Получили общее уравнение плоскости.

 

Заметим, что старшие коэффициенты (a, b, c) – координаты нормального вектора плоскости w.

Взаимное расположение двух плоскостей

Зададим плоскости w₁ и w₂ их общими уравнениями

w₁: a₁х+b₁у+c₁z+d₁=0, ,

w₂: a₂х+b₂у+c₂z+d₂=0, .

Тогда а) (в частности, w₁ = w₂, ).

б)

в) Если , то .

Расстояние от точки N до плоскости w

Пусть N(х₀; y₀; z₀) Ï w, w: aх+bу+cz+d=0. Выведем формулу расстояния от точки N до плоскости w. Для этого достаточно найти длину перпендикуляра NH, где Н – основание перпендикуляра из точки N к плоскости w. (т.к. косинус угла между этими векторами равен ±1). Отсюда получим . Если обозначить координаты точки Н(х₁; y₁; z₁) и учесть, что НÎ w, то будем иметь aх₁+bу₁+cz₁=–d . Тогда .

Замечание

Такой же принцип вывода формулы расстояния от точки N(х₀; y₀) до прямой l на плоскости.

, где l: aх+bу+c=0, H – основание перпендикуляра, опущенного из точки N на прямую l.

Прямая в пространстве

Для задания и вывода уравнений рассмотрим точку М₀(х₀; y₀; z₀) в координатном пространстве OXYZ и ненулевой вектор =(a; b; g). Тогда в пространстве найдётся только одна прямая l, проходящая через точку М₀ в направлении вектора . М₀ и называются начальной точкой и направляющим вектором прямой l соответственно.

Для любой точки МÎ l имеем, что

.

Получили канонические уравнения прямой l.

Û , где t Î ℝ Þ x–x₀ =at, y–y₀ =bt, z–z₀ =gt, или

– параметрические уравнения прямой l.

Прямую в пространстве можно задать парой пересекающихся плоскостей, а именно:
l =w₁ Ç w₂ Þ l: – общие уравнения прямой l.

Угол между прямой и плоскостью

Пусть j= , тогда j = , где l′ – проекция прямой на плоскость w: aх+bу+cz+d=0.

Очевидно, что , где j¢ = .

Вопросы для самопроверки

1. Чем задаётся плоскость в пространстве?

2. Каков геометрический смысл старших коэффициентов в уравнении плоскости.

3. Вывести уравнения координатных плоскостей XOY, XOZ, YOZ.

4. Установить, параллельны ли плоскости 2x+3y–z+1=0 и 4x+6y–2z–5=0.

5. Проверить перпендикулярность плоскостей 3x–2y+z+1=0 и x+y–z–5=0.

6. Вычислить расстояние от точки М₀(3; 2; 1) до плоскости w: x+y–z+5=0.

7. Выписать начальную точку и направляющий вектор прямой .

8. Выписать канонические и параметрические уравнения координатных осей OX, OY, OZ в пространстве.

9. Написать общие уравнения координатных осей в пространстве.

10. Вычислить угол между прямой и плоскостью w: 2x+3y–z+1=0.

Поверхности второго порядка

С ранее рассмотренными кривыми второго порядка связаны следующие поверхности. Одна из них – сфера S, уравнение которой может быть записано следующим образом: (x–x₀)² + (y–y₀)² + (z–z₀)² = R², где М₀(х₀; y₀; z₀) – центр сферы, а R – её радиус. Сферу можно получить как результат вращения в пространстве окружности вокруг её диаметра.

Аналогично, при вращении эллипса вокруг одной из его осей можно получить эллипсоид вращения (рис. 1).

рис. 1

В грубом приближении поверхность Земли (так называемый геоид) является эллипсоидом вращения, ось вращения которого проходит через северный и южный полюсы.

Вращая гиперболу вокруг мнимой оси, получим однополостный гиперболоид вращения (рис.2)

рис. 2

Если гиперболу вращать вокруг её действительной оси, то получим двуполостный гиперболоид вращения. (рис.3)

рис. 3

При вращении параболы вокруг её оси, получаем параболоид вращения (рис.4).

рис. 4

Отметим, что сечениями этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными оси вращения, являются окружности.

Все выше перечисленные поверхности вращения могут быть преобразованы сжатием (растяжением) к плоскости, в которой находится ось вращения, в одноименные поверхности: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид (без слова «вращения»), а параболоид вращения преобразуется в эллиптический параболоид, выпишем их уравнения:

1. – эллипсоид;

2. – однополостный гиперболоид;

3. – двуполостный гиперболоид;

4. – эллиптический параболоид.

 

Замечания.

1. Парабола обладает оптическим свойством: для светового луча, падающего из фокуса, отражённый от кривой луч лежит на прямой, параллельной оси параболы. Поэтому у параболоида вращения, или эллиптического параболоида, так же есть оптическое свойство: поместив источник света в фокус, получим, что отражённые от поверхности световые лучи окажутся параллельными оси параболоида. Это находит применение в технике (кривые зеркала в фарах, прожекторах; спутниковые антенны – тарелки в форме параболоида – принимают радио- и теле-сигналы).

2. К поверхностям второго порядка относится и гиперболический параболоид (рис. 5): .

рис.5

Наряду с эллипсоидами, параболоидами и гиперболоидами рассматриваются также конические (рис.6) и цилиндрические поверхности второго порядка. Если пересечь конус плоскостями, не проходящими через его вершину, то можно получить эллипс (рис. 6), гиперболу (рис.7) и параболу (рис.8). Поэтому эти кривые называют часто коническими сечениями.

рис. 6 рис. 7 рис. 8

Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале системы координат OXYZ имеет вид: .

Цилиндры можно получить так: линию второго порядка переместить в пространстве в направлении, не параллельном её плоскости. Тогда из эллипса получим эллиптический цилиндр (рис.9): .

Из гиперболы получим гиперболический цилиндр (рис. 10): .

При перемещении параболы в результате имеем параболический цилиндр (рис.11): z²=2py.

рис. 9 рис.10 рис.11

 

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел, расположенных в определенном порядке в m строк и n столбцов.

Число , стоящее на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется элементом матрицы А с номером ij. Принятое компактное обозначение для матрицы:

Примеры матриц:

1. ;

2.

3.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов - .

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

А=В, если

Матрица, содержащая одну строку (или столбец), называется вектором.

Например:

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны 0.

Действия над матрицами

Сложение матриц

Результатом сложения двух матриц является матрица, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц – слагаемых.

Если

Складываются матрицы только одинаковой размерности.

Свойства сложения:

а) А+В=В+А - переместительное свойство,

б) (А+В)+С=А+(В+С) - сочетательное свойство.

Умножение матрицы на число

Результатом умножения матрицы на число является матрица, каждый элемент которой умножен на это число.

Пример. Даны матрицы:

Вычислить матрицу

Умножение матриц

Результатом умножения матриц будет матрица, каждый элемент которой является результатом перемножения соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы.

Перемножаются только такие две матрицы, у которых число столбцов равно числу строк второй матрицы.

Пример:

Замечание. Если посчитаем

Как видно,

Системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

(1)

Решение методом исключения переменных.

1 шаг (исключаем y). Помножим 1-ое уравнение на , второе уравнение – на и из первого вычтем второе:

(2)

2 шаг (исключаем х). По аналогичной схеме:

(3)

Выражения для х, у справедливы, если знаменатель В этом случае имеем единственное решение системы (1).

В противном случае система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество.

Примеры. Решить системы уравнений.

По формулам (2), (3) находим:

Знаменатель не равен 0 и найденное решение единственно.

Знаменатель и числитель в выражении по формулам(2), (3)равны 0.

В этом случае система имеет бесконечное множество решений. Как видим, второе уравнение получается из первого умножением на 2.

В соответствии с формулами (2), (3):

В этом случае система не имеет решений (несовместна). Действительно, домножим первое уравнение на 2:

Пришли к противоречию.

Решение системы (1) можно представить в другом виде. Рассмотрим основную матрицу коэффициентов системы:

(4)

Определителем матрицы А называетсячисло

Как видим, его значение совпадает со знаменателем выражений (2), (3).

Введем вспомогательные матрицы:

(5)

Здесь столбец коэффициентов при х (соответственно – у ) заменяется на столбец свободных членов.

Определители матриц:

;

(6)

соответствуют числителям в выражениях (2), (3).

Во введенных обозначениях решение системы (1) перепишется:

Такой ход решения системы (1) соответствует методу (или правилу) Крамера и естественно обобщается на трехмерный (и более мерный) случай.

Система линейных алгебраических уравнений в трехмерном случае:

(7)

Основная матрица коэффициентов системы имеет вид:

Ее определитель будем вычислять в соответствии со схемой:

(8)

(+) ( – )

Со знаком «+» берутся произведения элементов, соединенных по левой схеме, со знаком «‑ » - по правой.

Вспомогательные матрицы определяются как и в 2-мерном случае:

Их определители считаются в соответствии со схемой (8).

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V5: Характеристики временных рядов
2. V6: Нелинейные модели регрессии
3. В ПРОЦЕССЕ СПОРТИВНОЙ ТРЕНИРОВКИ
4. Виды (типы) папиллярных узоров.
5. Во Франции: семья де Ла Ферронэ
6. Времени, материи, тяготения и движения
7. Выводы из доктрины о творении
8. Выделяют три вида соединений костей.
9. ГЕНДЕР В ПЕРЕВОДЕ ЖЕНСКИХ РОМАНОВ
10. Графическая иллюстрация закона спроса и предложения
11. Дана матрица парных коэффициентов корреляции.
12. Двумерное нормальное распределение