![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАСтр 1 из 5Следующая ⇒
Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Декартова система координат. Прямая на плоскости Если на плоскости выбраны две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу с указанными на них положительными направлениями и разметкой в соответствии с заданной единицей масштаба, то говорят, что задана декартова прямоугольная система координат. Историческая справка: Область математики – аналитическая геометрия – связывается с именем выдающегося французского математика 17 века Рене Декарта (1595-1650). В 1637г. опубликована его книга «Геометрия» в качестве приложения к «Рассуждению о методе», где изложены основы аналитической геометрии. Как отмечается исследователями (Стройк Д.Я., 1990): «Вместе с многими другими великими мыслителями 17 века, Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке… Он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала 17 века к геометрическому анализу древних и таким образом в огромной мере расширил область ее применимости…». При этом каждой точке плоскости М соответствует единственная пара действительных чисел (х, у) – ее координат, причем соответствие взаимно-однозначное (т.е. верно и обратное). Задачи на прямую, решаемые методом координат 1. Расстояние между парой точек А (х1, у1) и В (х2, у2).
![]() ![]()
2. Деление отрезка (АВ) в заданном отношении. Пусть Тогда если провести МЕ||AC||OX, то из подобия треугольников ( аналогично В частности, если М – середина отрезка АВ, то есть если
3. Уравнение прямой линии. а) «С угловым коэффициентом»: Продолжим отрезок АВ до пересечения с осью ОY (в точке Н(0, b)) и с осью ОХ (в точке Р). Пусть HF || OX, тогда Откуда y–b = kx ( k = tg Окончательно: y = kx + b. б) «Проходящей через заданную точку (А) в заданном направлении (задан угол Из
в) «Проходящей через две заданные точки (А и В)». Из подобия треугольников
4. Угол между прямыми Пусть заданы прямые: l1: y= k1x + b1 (k1=tg Тогда Или через угловые коэффициенты tg 5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. l1 // l2 l1 Задача: Известны координаты вершин треугольника Длину стороны АВ, Уравнения сторон АВ, АС, Угол Уравнение высоты CD (проведенной из вершины С) и ее длину, Уравнение медианы АЕ (Е – середина ВС), Уравнение прямой, проходящей через точку С, параллельно стороне АВ.
Решение: -1) |AB| = 2) Уравнение АВ: 3) tg A = (kAC – kAB)/(1+kAC Откуда 4) Уравнение CD: y – 13 = Координаты точки D найдем из системы: D:
Из системы находим y = -3. Окончательно: D( 9, -3 ). |CD| = 5) Координаты точки Е: xE = Уравнение АЕ: 6) Пусть l – искомая прямая, тогда: kl = kAB = Уравнение l: y – 13 = - Окончательно: y = - Задачи для самостоятельного решения 1. Через точку пересечения прямых: 4х + 2у – 19 = 0 и 5х + 6у + 6 = 0 проведена прямая, перпендикулярная прямой х + у + 1 = 0. Найдите ее уравнение. 2. Найти расстояние от точки К(2, -1) до прямой 4у – 3х – 15 = 0. 3. Известны координаты вершин треугольника 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(-6, 2), В(1, 1), С(2, -2). Определить координаты его четвертой вершины D. 5. Определить координаты точки К, симметричной точке С(-1, 2) относительно прямой, проходящей через точки А(0, -1) и В(2, 3). Контрольные вопросы 1. Что такое Декартова система координат? Что можно принять исторически за точку отсчета появления «метода координат»? 2. Напишите основные формулы, позволяющие решать задачи на прямую в декартовой системе координат: а) Расстояние между парой точек; б) Деление отрезка в заданном отношении; в) Уравнение прямой линии (какие вы знаете? ); г) Угол между прямыми; д) Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Кривые второго порядка Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых могут быть записаны в виде: где 1. Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки - центра. Символически: Уравнение: Пример: Написать уравнение окружности радиуса 2. Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний для любых из которых до двух заданных точек Символически: Уравнение: Примем координаты фокусов
Так как
Эксцентриситет эллипса: Чем больше e, тем меньше Пример. Найти параметры a, b, c и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: откуда: 3. Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний для любой из которых до двух заданных точек Символически: Уравнение: Принимая координаты фокусов
Асимптоты гиперболы: Если Пример. Найти полуоси Деля обе части на 36, получим Откуда, 4. Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки Уравнение: Примем уравнение директрисы После преобразования получим: Замечание. Если директрису расположить параллельно оси OX, а фокус - на оси OY, то можно получить каноническое уравнение параболы в виде Пример. Составить каноническое уравнение параболы, проходящей через точку б) Можно принять уравнение параболы Прямая в пространстве Для задания и вывода уравнений рассмотрим точку М0(х0; y0; z0) в координатном пространстве OXYZ и ненулевой вектор Для любой точки МÎ l имеем, что
Получили канонические уравнения прямой l.
Прямую в пространстве можно задать парой пересекающихся плоскостей, а именно: Вопросы для самопроверки 1. Чем задаётся плоскость в пространстве? 2. Каков геометрический смысл старших коэффициентов в уравнении плоскости. 3. Вывести уравнения координатных плоскостей XOY, XOZ, YOZ. 4. Установить, параллельны ли плоскости 2x+3y–z+1=0 и 4x+6y–2z–5=0. 5. Проверить перпендикулярность плоскостей 3x–2y+z+1=0 и x+y–z–5=0. 6. Вычислить расстояние от точки М0(3; 2; 1) до плоскости w: x+y–z+5=0. 7. Выписать начальную точку и направляющий вектор прямой 8. Выписать канонические и параметрические уравнения координатных осей OX, OY, OZ в пространстве. 9. Написать общие уравнения координатных осей в пространстве. 10. Вычислить угол между прямой Поверхности второго порядка С ранее рассмотренными кривыми второго порядка связаны следующие поверхности. Одна из них – сфера S, уравнение которой может быть записано следующим образом: (x–x0)2 + (y–y0)2 + (z–z0)2 = R2, где М0(х0; y0; z0) – центр сферы, а R – её радиус. Сферу можно получить как результат вращения в пространстве окружности вокруг её диаметра. Аналогично, при вращении эллипса вокруг одной из его осей можно получить эллипсоид вращения (рис. 1). рис. 1 В грубом приближении поверхность Земли (так называемый геоид) является эллипсоидом вращения, ось вращения которого проходит через северный и южный полюсы. Вращая гиперболу вокруг мнимой оси, получим однополостный гиперболоид вращения (рис.2) рис. 2 Если гиперболу вращать вокруг её действительной оси, то получим двуполостный гиперболоид вращения. (рис.3) рис. 3 При вращении параболы вокруг её оси, получаем параболоид вращения (рис.4). рис. 4 Отметим, что сечениями этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными оси вращения, являются окружности. Все выше перечисленные поверхности вращения могут быть преобразованы сжатием (растяжением) к плоскости, в которой находится ось вращения, в одноименные поверхности: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид (без слова «вращения»), а параболоид вращения преобразуется в эллиптический параболоид, выпишем их уравнения: 1. 2. 3. 4.
Замечания. 1. 2. К поверхностям второго порядка относится и гиперболический параболоид (рис. 5): рис.5 Наряду с эллипсоидами, параболоидами и гиперболоидами рассматриваются также конические (рис.6) и цилиндрические поверхности второго порядка. Если пересечь конус плоскостями, не проходящими через его вершину, то можно получить эллипс (рис. 6), гиперболу (рис.7) и параболу (рис.8). Поэтому эти кривые называют часто коническими сечениями.
рис. 6 рис. 7 рис. 8 Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале системы координат OXYZ имеет вид: Цилиндры можно получить так: линию второго порядка переместить в пространстве в направлении, не параллельном её плоскости. Тогда из эллипса получим эллиптический цилиндр (рис.9): Из гиперболы получим гиперболический цилиндр (рис. 10): При перемещении параболы в результате имеем параболический цилиндр (рис.11): z2=2py. рис. 9 рис.10 рис.11
Линейная алгебра Матрицы Матрицей размера Число
Примеры матриц: 1. 2. 3. Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов - Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц. А=В, если Матрица, содержащая одну строку (или столбец), называется вектором. Например:
Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны 0. Действия над матрицами Сложение матриц Результатом сложения двух матриц является матрица, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц – слагаемых. Если Складываются матрицы только одинаковой размерности. Свойства сложения: а) А+В=В+А - переместительное свойство, б) (А+В)+С=А+(В+С) - сочетательное свойство. Умножение матрицы на число Результатом умножения матрицы на число является матрица, каждый элемент которой умножен на это число.
Пример. Даны матрицы:
Вычислить матрицу
Умножение матриц Результатом умножения матриц будет матрица, каждый элемент которой является результатом перемножения соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы. Перемножаются только такие две матрицы, у которых число столбцов равно числу строк второй матрицы. Пример: Замечание. Если посчитаем Как видно, Системы линейных уравнений. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:
Решение методом исключения переменных. 1 шаг (исключаем y). Помножим 1-ое уравнение на
2 шаг (исключаем х). По аналогичной схеме:
Выражения для х, у справедливы, если знаменатель В противном случае система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество. Примеры. Решить системы уравнений.
По формулам (2), (3) находим: Знаменатель не равен 0 и найденное решение единственно. Знаменатель и числитель в выражении В этом случае система имеет бесконечное множество решений. Как видим, второе уравнение получается из первого умножением на 2.
В соответствии с формулами (2), (3): В этом случае система не имеет решений (несовместна). Действительно, домножим первое уравнение на 2:
Пришли к противоречию. Решение системы (1) можно представить в другом виде. Рассмотрим основную матрицу коэффициентов системы:
Определителем матрицы А называетсячисло Как видим, его значение совпадает со знаменателем выражений (2), (3). Введем вспомогательные матрицы:
Здесь столбец коэффициентов при х (соответственно – у ) заменяется на столбец свободных членов. Определители матриц:
соответствуют числителям в выражениях (2), (3). Во введенных обозначениях решение системы (1) перепишется: Такой ход решения системы (1) соответствует методу (или правилу) Крамера и естественно обобщается на трехмерный (и более мерный) случай. Система линейных алгебраических уравнений в трехмерном случае:
Основная матрица коэффициентов системы имеет вид: Ее определитель будем вычислять в соответствии со схемой: (+) ( – ) Со знаком «+» берутся произведения элементов, соединенных по левой схеме, со знаком «‑ » - по правой. Вспомогательные матрицы определяются как и в 2-мерном случае:
Их определители считаются в соответствии со схемой (8). Обратная матрица Как уже было отмечено, АВ ≠ ВА, но имеются и для этого закона исключения: АЕ = ЕА, где А, Е – квадратные матрицы, причем Е – единичная матрица. А*А=АА*, где А* – матрица, присоединенная к матрице А. Присоединенная матрица А*= Пример. Пусть А = Нетрудно проверить, что А*А=АА*= |A| E = |A| Невырожденные матрицы – квадратные матрицы с отличным от нуля определителем. Для таких матриц существуют обратные, а именно: матрица А-1 называется обратной к матрице А, если А-1А=АА-1=Е. Учитывая А∙ А*=А*∙ А= Пример: Найти матрицу, обратную к матрице Решение. А-1= Замечание. Для произведения матриц выполняется ассоциативный закон: (AB)С=A(BC). Пример. Проверить равенство
Решение матричных уравнений Рассмотрим матричное уравнение вида АХ=В, где А и В – данные матрицы, а Х – искомая матрица. Пользуясь обратной матрицей, можно найти матрицу Х. Для этого умножим обе части уравнения слева на А-1, тогда получим А-1(АХ) = =А-1В. По ассоциативному закону А-1(АХ)= (А-1А)Х=ЕХ=Х, т.е. решение запишется так: Х=А-1∙ В. Если же имеем уравнение ХА=В, то решение его будет иметь вид: Х=ВА-1. Рассмотрим уравнения, в которых матрица А – невырожденная.
Пример: Решить уравнение А= 1-й шаг. А-1 –? 2-й шаг. Проверка: А-1∙ А= 3-й шаг. А-1∙ В= 4-й шаг. Проверка: Ответ: Х= Замечание. Линейную систему можно рассматривать как матричное уравнение, в котором матрица В – одностолбцовая матрица, а её элементы – свободные члены линейной системы; матрица Х является также одностолбцовой, а её элементы – неизвестные х1, х2, х3, …, хn. Так, линейная система: Предлагаем решить эту систему самостоятельно, используя А-1 (Ответ: Х= Задачи для самостоятельного решения 1)На новый ареал переселяются три вида птиц общей численностью в 10000 особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны ежегодно прирастать на 3, 4 и 5% соответственно для первого, второго и третьего видов. Установлено, что общий прирост популяций за первый год составил 380 особей, и что прирост популяции первого вида равен приросту популяции третьего вида. Найти начальные численности популяций каждого из трех видов. 2) Простейшее питается тремя видами пищи: эвгленами (Э), тетрахименами (Т) и хламидомонадами (Х). На каждую потребляемую единицу Э приходится в среднем 2 ед. Т и 3 ед. Х. Если чистый энергетический доход от потребле Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 983; Нарушение авторского права страницы