Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Декартова система координат. Прямая на плоскости

Если на плоскости выбраны две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу с указанными на них положительными направлениями и разметкой в соответствии с заданной единицей масштаба, то говорят, что задана декартова прямоугольная система координат.

Историческая справка: Область математики – аналитическая геометрия – связывается с именем выдающегося французского математика 17 века Рене Декарта (1595-1650). В 1637г. опубликована его книга «Геометрия» в качестве приложения к «Рассуждению о методе», где изложены основы аналитической геометрии. Как отмечается исследователями (Стройк Д.Я., 1990): «Вместе с многими другими великими мыслителями 17 века, Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке… Он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала 17 века к геометрическому анализу древних и таким образом в огромной мере расширил область ее применимости…».

При этом каждой точке плоскости М соответствует единственная пара действительных чисел (х, у) – ее координат, причем соответствие взаимно-однозначное (т.е. верно и обратное).

Задачи на прямую, решаемые методом координат

1. Расстояние между парой точек А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂).

x1

x2

x

X

P

Y

B

H

y1

y

y2

E

C

F

D

M

A

b

α

 

= (следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника АВС).

2. Деление отрезка (АВ) в заданном отношении.

Пусть ( - заданное число).

Тогда если провести МЕ||AC||OX, то из подобия треугольников ( ) следует: = ;

аналогично .

В частности, если М – середина отрезка АВ, то есть если :

; .

3. Уравнение прямой линии.

а) «С угловым коэффициентом»:

Продолжим отрезок АВ до пересечения с осью ОY (в точке Н(0, b)) и с осью ОХ (в точке Р). Пусть HF || OX, тогда и из tg = = .

Откуда y–b = kx ( k = tg - «угловой коэффициент прямой»).

Окончательно: y = kx + b.

б) «Проходящей через заданную точку (А) в заданном направлении (задан угол )».

Из : tg = tg = k =

.

в) «Проходящей через две заданные точки (А и В)».

Из подобия треугольников :

.

4. Угол между прямыми

Пусть заданы прямые: l₁: y= k₁x + b₁ (k₁=tg ); l₂: y= k₂x + b₂ (k₂=tg ).

Тогда , tg = tg ( - )=(tg -tg )/(1+tg tg ).

Или через угловые коэффициенты tg =(k₁ – k₂)/(1+ k₁ k₂).

5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

l₁ // l₂ tg (k₁ – k₂)/(1+ k₁ k₂) k₁ = k₂.

l₁ l₂ 1+ k₁ k₂=0 k₂= -1/ k₁.

Задача: Известны координаты вершин треугольника АВС: А(5, 0), В(17, -9), С(21, 13). Требуется определить:

Длину стороны АВ,

Уравнения сторон АВ, АС,

Угол ВАС (в градусах и радианах),

Уравнение высоты CD (проведенной из вершины С) и ее длину,

Уравнение медианы АЕ (Е – середина ВС),

Уравнение прямой, проходящей через точку С, параллельно стороне АВ.

Решение: -1) |AB| = = = 15.

2) Уравнение АВ: (k_AB= ). Уравнение АС: 16y = 13(x – 5) y = (k_AC= ).

3) tg A = (k_AC – k_AB)/(1+k_AC k_AB) = .

Откуда 76⁰.

4) .

Уравнение CD: y – 13 = (x – 21) = x – 28 y = x – 15.

Координаты точки D найдем из системы:

D:

.

Из системы находим y = -3. Окончательно: D( 9, -3 ).

|CD| = =

5) Координаты точки Е:

x_E = ; y_E = E ( 19, 2 ).

Уравнение АЕ: (k_AE = ).

6) Пусть l – искомая прямая, тогда: k_l = k_AB = .

Уравнение l: y – 13 = -

Окончательно: y = - .

Задачи для самостоятельного решения

1. Через точку пересечения прямых: 4х + 2у – 19 = 0 и 5х + 6у + 6 = 0 проведена прямая, перпендикулярная прямой х + у + 1 = 0. Найдите ее уравнение.

2. Найти расстояние от точки К(2, -1) до прямой 4у – 3х – 15 = 0.

3. Известны координаты вершин треугольника А(-4, -2), В(8, 7), С(6, -7). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины С.

4. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(-6, 2), В(1, 1), С(2, -2). Определить координаты его четвертой вершины D.

5. Определить координаты точки К, симметричной точке С(-1, 2) относительно прямой, проходящей через точки А(0, -1) и В(2, 3).

Контрольные вопросы

1. Что такое Декартова система координат? Что можно принять исторически за точку отсчета появления «метода координат»?

2. Напишите основные формулы, позволяющие решать задачи на прямую в декартовой системе координат:

а) Расстояние между парой точек;

б) Деление отрезка в заданном отношении;

в) Уравнение прямой линии (какие вы знаете? );

г) Угол между прямыми;

д) Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

 

Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых могут быть записаны в виде:

где - действительный числа, причем хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Кривые второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола, парабола.

1. Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки - центра.

Символически: , где - центр, - радиус

Уравнение:

Пример: Написать уравнение окружности радиуса с центром в точке

2. Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний для любых из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Символически: , где , - заданные " фокусы".

Уравнение: Примем координаты фокусов . Тогда для произвольной точки эллипса

(1)

 

 

(2)

Так как . Обозначим Подставляя в равенство (?? 0), получим

– каноническое уравнение эллипса.

Эксцентриситет эллипса: - характеризует степень сжатия эллипса. Действительно:

Чем больше e, тем меньше т.е. эллипс " вытягивается" вдоль оси . При - приходим к уравнению окружности.

Пример. Найти параметры a, b, c и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: . Приведем уравнение к каноническому виду, деля обе части на 576

откуда:

3. Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний для любой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Символически: , где , - заданные " фокусы".

Уравнение: Принимая координаты фокусов и проведя преобразования, аналогичные выводу уравнения эллипса, придем к каноническому уравнению гиперболы:

 

Асимптоты гиперболы: , эксцентриситет:

Если основной прямоугольник " вытягивается" вдоль оси . В случае , т.е. - гипербола " равнобочная".

Пример. Найти полуоси фокальное расстояние , асимптоты и эксцентриситет гиперболы .

Деля обе части на 36, получим

Откуда, . Асимптоты

4. Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки - " фокуса" и данной прямой - " директрисы" Символически: , где -" директриса", - заданный " фокус".

Уравнение: Примем уравнение директрисы ; координаты фокуса . Тогда уравнение параболы:

После преобразования получим: -каноническое уравнение параболы (p– параметр параболы)

Замечание. Если директрису расположить параллельно оси OX, а фокус - на оси OY, то можно получить каноническое уравнение параболы в виде

Пример. Составить каноническое уравнение параболы, проходящей через точку a) Если принять уравнение параболы ,

б) Можно принять уравнение параболы

Прямая в пространстве

Для задания и вывода уравнений рассмотрим точку М₀(х₀; y₀; z₀) в координатном пространстве OXYZ и ненулевой вектор =(a; b; g). Тогда в пространстве найдётся только одна прямая l, проходящая через точку М₀ в направлении вектора . М₀ и называются начальной точкой и направляющим вектором прямой l соответственно.

Для любой точки МÎ l имеем, что

.

Получили канонические уравнения прямой l.

Û , где t Î ℝ Þ x–x₀ =at, y–y₀ =bt, z–z₀ =gt, или

– параметрические уравнения прямой l.

Прямую в пространстве можно задать парой пересекающихся плоскостей, а именно:
l =w₁ Ç w₂ Þ l: – общие уравнения прямой l.

Вопросы для самопроверки

1. Чем задаётся плоскость в пространстве?

2. Каков геометрический смысл старших коэффициентов в уравнении плоскости.

3. Вывести уравнения координатных плоскостей XOY, XOZ, YOZ.

4. Установить, параллельны ли плоскости 2x+3y–z+1=0 и 4x+6y–2z–5=0.

5. Проверить перпендикулярность плоскостей 3x–2y+z+1=0 и x+y–z–5=0.

6. Вычислить расстояние от точки М₀(3; 2; 1) до плоскости w: x+y–z+5=0.

7. Выписать начальную точку и направляющий вектор прямой .

8. Выписать канонические и параметрические уравнения координатных осей OX, OY, OZ в пространстве.

9. Написать общие уравнения координатных осей в пространстве.

10. Вычислить угол между прямой и плоскостью w: 2x+3y–z+1=0.

Поверхности второго порядка

С ранее рассмотренными кривыми второго порядка связаны следующие поверхности. Одна из них – сфера S, уравнение которой может быть записано следующим образом: (x–x₀)² + (y–y₀)² + (z–z₀)² = R², где М₀(х₀; y₀; z₀) – центр сферы, а R – её радиус. Сферу можно получить как результат вращения в пространстве окружности вокруг её диаметра.

Аналогично, при вращении эллипса вокруг одной из его осей можно получить эллипсоид вращения (рис. 1).

рис. 1

В грубом приближении поверхность Земли (так называемый геоид) является эллипсоидом вращения, ось вращения которого проходит через северный и южный полюсы.

Вращая гиперболу вокруг мнимой оси, получим однополостный гиперболоид вращения (рис.2)

рис. 2

Если гиперболу вращать вокруг её действительной оси, то получим двуполостный гиперболоид вращения. (рис.3)

рис. 3

При вращении параболы вокруг её оси, получаем параболоид вращения (рис.4).

рис. 4

Отметим, что сечениями этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными оси вращения, являются окружности.

Все выше перечисленные поверхности вращения могут быть преобразованы сжатием (растяжением) к плоскости, в которой находится ось вращения, в одноименные поверхности: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид (без слова «вращения»), а параболоид вращения преобразуется в эллиптический параболоид, выпишем их уравнения:

1. – эллипсоид;

2. – однополостный гиперболоид;

3. – двуполостный гиперболоид;

4. – эллиптический параболоид.

 

Замечания.

1. Парабола обладает оптическим свойством: для светового луча, падающего из фокуса, отражённый от кривой луч лежит на прямой, параллельной оси параболы. Поэтому у параболоида вращения, или эллиптического параболоида, так же есть оптическое свойство: поместив источник света в фокус, получим, что отражённые от поверхности световые лучи окажутся параллельными оси параболоида. Это находит применение в технике (кривые зеркала в фарах, прожекторах; спутниковые антенны – тарелки в форме параболоида – принимают радио- и теле-сигналы).

2. К поверхностям второго порядка относится и гиперболический параболоид (рис. 5): .

рис.5

Наряду с эллипсоидами, параболоидами и гиперболоидами рассматриваются также конические (рис.6) и цилиндрические поверхности второго порядка. Если пересечь конус плоскостями, не проходящими через его вершину, то можно получить эллипс (рис. 6), гиперболу (рис.7) и параболу (рис.8). Поэтому эти кривые называют часто коническими сечениями.

рис. 6 рис. 7 рис. 8

Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале системы координат OXYZ имеет вид: .

Цилиндры можно получить так: линию второго порядка переместить в пространстве в направлении, не параллельном её плоскости. Тогда из эллипса получим эллиптический цилиндр (рис.9): .

Из гиперболы получим гиперболический цилиндр (рис. 10): .

При перемещении параболы в результате имеем параболический цилиндр (рис.11): z²=2py.

рис. 9 рис.10 рис.11

 

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел, расположенных в определенном порядке в m строк и n столбцов.

Число , стоящее на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется элементом матрицы А с номером ij. Принятое компактное обозначение для матрицы:

Примеры матриц:

1. ;

2.

3.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов - .

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

А=В, если

Матрица, содержащая одну строку (или столбец), называется вектором.

Например:

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны 0.

Действия над матрицами

Сложение матриц

Результатом сложения двух матриц является матрица, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц – слагаемых.

Если

Складываются матрицы только одинаковой размерности.

Свойства сложения:

а) А+В=В+А - переместительное свойство,

б) (А+В)+С=А+(В+С) - сочетательное свойство.

Умножение матрицы на число

Результатом умножения матрицы на число является матрица, каждый элемент которой умножен на это число.

Пример. Даны матрицы:

Вычислить матрицу

Умножение матриц

Результатом умножения матриц будет матрица, каждый элемент которой является результатом перемножения соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы.

Перемножаются только такие две матрицы, у которых число столбцов равно числу строк второй матрицы.

Пример:

Замечание. Если посчитаем

Как видно,

Системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

(1)

Решение методом исключения переменных.

1 шаг (исключаем y). Помножим 1-ое уравнение на , второе уравнение – на и из первого вычтем второе:

(2)

2 шаг (исключаем х). По аналогичной схеме:

(3)

Выражения для х, у справедливы, если знаменатель В этом случае имеем единственное решение системы (1).

В противном случае система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество.

Примеры. Решить системы уравнений.

По формулам (2), (3) находим:

Знаменатель не равен 0 и найденное решение единственно.

Знаменатель и числитель в выражении по формулам(2), (3)равны 0.

В этом случае система имеет бесконечное множество решений. Как видим, второе уравнение получается из первого умножением на 2.

В соответствии с формулами (2), (3):

В этом случае система не имеет решений (несовместна). Действительно, домножим первое уравнение на 2:

Пришли к противоречию.

Решение системы (1) можно представить в другом виде. Рассмотрим основную матрицу коэффициентов системы:

(4)

Определителем матрицы А называетсячисло

Как видим, его значение совпадает со знаменателем выражений (2), (3).

Введем вспомогательные матрицы:

(5)

Здесь столбец коэффициентов при х (соответственно – у ) заменяется на столбец свободных членов.

Определители матриц:

;

(6)

соответствуют числителям в выражениях (2), (3).

Во введенных обозначениях решение системы (1) перепишется:

Такой ход решения системы (1) соответствует методу (или правилу) Крамера и естественно обобщается на трехмерный (и более мерный) случай.

Система линейных алгебраических уравнений в трехмерном случае:

(7)

Основная матрица коэффициентов системы имеет вид:

Ее определитель будем вычислять в соответствии со схемой:

(8)

(+) ( – )

Со знаком «+» берутся произведения элементов, соединенных по левой схеме, со знаком «‑ » - по правой.

Вспомогательные матрицы определяются как и в 2-мерном случае:

Их определители считаются в соответствии со схемой (8).

Обратная матрица

Как уже было отмечено, АВ ≠ ВА, но имеются и для этого закона исключения:

АЕ = ЕА, где А, Е – квадратные матрицы, причем Е – единичная матрица.

А^*А=АА^*, где А^* – матрица, присоединенная к матрице А.

Присоединенная матрица А^*= состоит из элементов А_ij – алгебраических дополнений к элементам а_ij данной матрицы А. Алгебраическое дополнение к элементу а_ij есть тот определитель, который получен из определителя матрицы А «вычёркиванием» строки и столбца элемента а_ij, причём этот (полученный) определитель берётся со знаком плюс, если сумма (i+j) – чётная, и со знаком минус, если – нечётная.

Пример. Пусть А = , тогда а₁₁ → А₁₁=а₂₂, а₁₂ → А₁₂= –а₂₁, а₂₁ → А₂₁= –а₁₂ , а₂₂ → А₂₂ = а₁₁. А^*=

Нетрудно проверить, что А^*А=АА^*= |A| E = |A| .

Невырожденные матрицы – квадратные матрицы с отличным от нуля определителем. Для таких матриц существуют обратные, а именно: матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если А^-1А=АА^-1=Е.

Учитывая А∙ А^*=А^*∙ А= ∙ Е, получим, что А^-1= А^*. Это один из способов нахождения обратной матрицы.

Пример: Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. = =–2, А₁₁=4, А₂₁=–2, А₁₂=–3, А₂₂=1.

А^-1= = . Проверку сделать самостоятельно.

Замечание. Для произведения матриц выполняется ассоциативный закон: (AB)С=A(BC).

Пример. Проверить равенство

.

Решение матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение вида АХ=В, где А и В – данные матрицы, а Х – искомая матрица. Пользуясь обратной матрицей, можно найти матрицу Х. Для этого умножим обе части уравнения слева на А^-1, тогда получим А^-1(АХ) = =А^-1В. По ассоциативному закону А^-1(АХ)= (А^-1А)Х=ЕХ=Х, т.е. решение запишется так: Х=А^-1∙ В. Если же имеем уравнение ХА=В, то решение его будет иметь вид: Х=ВА^-1. Рассмотрим уравнения, в которых матрица А – невырожденная.

 

Пример:

Решить уравнение ∙ Х= .

А= ; В= ; Х= .

1-й шаг. А^-1 –? А=–2; А^*= , А^-1= .

2-й шаг. Проверка: А^-1∙ А= ∙ = =Е.

3-й шаг. А^-1∙ В= ∙ = = , Х= .

4-й шаг. Проверка: ∙ = = .

Ответ: Х= .

Замечание. Линейную систему можно рассматривать как матричное уравнение, в котором матрица В – одностолбцовая матрица, а её элементы – свободные члены линейной системы; матрица Х является также одностолбцовой, а её элементы – неизвестные х₁, х₂, х₃, …, х_n.

Так, линейная система: может быть записана в виде: АХ=В, где А= , В= , Х= . Поэтому решением этой системы является матрица Х=А^-1∙ В.

Предлагаем решить эту систему самостоятельно, используя А^-1 (Ответ: Х= ).

Задачи для самостоятельного решения

1)На новый ареал переселяются три вида птиц общей численностью в 10000 особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны ежегодно прирастать на 3, 4 и 5% соответственно для первого, второго и третьего видов. Установлено, что общий прирост популяций за первый год составил 380 особей, и что прирост популяции первого вида равен приросту популяции третьего вида. Найти начальные численности популяций каждого из трех видов.

2) Простейшее питается тремя видами пищи: эвгленами (Э), тетрахименами (Т) и хламидомонадами (Х). На каждую потребляемую единицу Э приходится в среднем 2 ед. Т и 3 ед. Х. Если чистый энергетический доход от потребле

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V2: Линейная модель множественной регрессии
2. Алгебраический вывод кривой LM
3. Аналитическая записка по результатам социологического исследования
4. Аналитическая характеристика отношений
5. Аналитическая, научно-исследовательская
6. Булева алгебра высказываний (алгебра логики)
7. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
8. ИЗУЧЕНИЕ ОТОБРАННОЙ РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, СБОР И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ФАКТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
9. Каким образом определяется линейная система управления
10. Линейная модель множественной регрессии
11. Линейная модель парной регрессии и корреляции
12. Линейная производственная функция