Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

Найдем связь потенциала с напряженностью электрического поля.

Пусть заряд перемещается из точки 1 в точку 2, которые располагаются на оси OX. Тогда электрическое поле совершит работу:

или .

Для бесконечно малого перемещения: . В случае смещения по трем координатам: Тогда связь между напряженностью и потенциалом электрического поля определяется соотношением: , где – оператор Набла, grad – векторный оператор, называемый «градиент».

Для выяснения геометрического смысла вводится понятие эквипотенциальных поверхностей или поверхностей равного потенциала. Эквипотенциальная поверхность есть такая поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Потенциал может меняться только при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к другой.

Возьмем на эквипотенциальной поверхности произвольную точку О и введем систему координат, начало которой совместим с точкой О. Ось Ο Ζ направим по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциала . То же направление примем за положительное направление . Координатная плоскость YX совместится с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке Ο . Кроме того: , , тогда: .

Функция возрастает наиболее быстро в направлении нормали . Поэтому: градиент функции есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции, а его длина равна производной функции в том же направлении.

При движении вдоль эквипотенциальной поверхности потенциал поля не изменяется, поэтому элементарная работа при этом: . Вместе с тем, элементарная работа определяется соотношением при движении вдоль эквипотенциальной поверхности. Отсюда следует, – напряженность электростатического поля направлена перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности. Следовательно, и силовые линии электростатического поля направлены перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.

Вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала . Электрические силовые линии являются, таким образом, линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро. Они направлены по нормали к эквипотенциальным поверхностям. Обычно их чертят так, что при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к соседней потенциал получает одно и то же приращение .

Внутри проводника , а поэтому потенциал должен иметь одно и то же значение во всех точках проводника. Здесь эквипотенциальная поверхность вырождена в эквипотенциальный объем.

Электроемкость уединенного проводника

Различные по величине заряды распределяются на уединенном проводнике так, что отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одним и тем же. Увеличение в n раз заряда повлечет изменение напряженности электрического поля в n раз; работа, по перемещению единичного заряда из бесконечности увеличится в n раз. Следовательно . Или: , где C – коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью. – электроемкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. За единицу емкости принимают 1Ф (1 фарада) – емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщение ему заряда в 1Кл.

Поскольку для уединенного шара радиуса R потенциал равен , то, следовательно, электроемкость уединенного шара . Электроемкость в 1Ф соответствует уединенному шару с R= 9·10⁹ м =1, 5·10³ R_Земли. Для измерения электроемкости используются дольные единицы:

1мФ (миллифарада) = 10^-3 Ф; 1мкФ (микрофарада) =10^-6 Ф;

1нФ (нанофарада) = 10^-9 Ф; 1пФ (пикофарада) = 10^-12 Ф.

Конденсаторы

На практике существует потребность в устройствах, которые при небольшом относительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе («конденсировали») заметные по величине заряды. Такие устройства называют конденсаторами. Конденсаторы делают в виде двух проводников, помещенных близко друг к другу. Образующий конденсатор проводники называют их обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладками придают такую форму и так располагают друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому удовлетворяют две пластинки, или два цилиндра, или две сферические поверхности, расположенные близко друг к другу (соответственно плоские, цилиндрические, сферические конденсаторы).

Ранее, используя терему Остроградского-Гаусса, были получены выражения, которые можно использовать для определения модуля напряженности электрического поля для вакуумного пространства между обкладками соответствующих конденсаторов: ; ; . За обкладками напряженность равна нулю.

Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой понимают величину, пропорциональную заряду q и обратно пропорциональную напряжению между обкладками: ; , где .

Зарядом конденсатора q называется величина заряда одной из обкладок конденсатора. При этом под зарядом обкладок конденсатора нужно понимать только заряды, расположенные на внутренних, обращенных друг к другу поверхностях этих обкладок. Емкость конденсаторов измеряется, как и емкость уединенных проводников, в фарадах.

Величина емкости определяется геометрией конденсатора, а также свойствами среды, заполняющей пространство между конденсаторами. Найдем формулу для емкости плоского конденсатора, между обкладками которого находится вакуум. Напряженность между обкладками конденсатора: . Напряжение на обкладках конденсатора: . Отсюда следует: ; . Если q < 0, то U < 0, C > 0. Электроемкость плоского конденсатора растет при сближении пластин и увеличении их площади. Результат получен при условии d < < S^1/2. Видно, что единицы измерения есть Ф/м.

Для цилиндрического конденсатора (r₁ и r₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора): . Учитывая, что (здесь h – длина конденсатора), получим: .

Для сферического конденсатора (r₁ и r₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок): . С учетом, что , получаем: .

Конденсаторы можно объединять группами, причем все возможные комбинации сводятся к двум основным:

1. При параллельном соединении по одной обкладке конденсаторов соединяют вместе и к двум общим концам подключают источник постоянного напряжения. Тогда напряжение между обкладками различных конденсаторов одинаково: ; => . Суммарный заряд: (здесь N – число конденсаторов в батарее). Поэтому емкость батареи : .

2) При последовательном соединении к источнику присоединяют по одной обкладке конденсаторов, остальные обкладки соединяют попарно.

Все конденсаторы получают одинаковый заряд, но неодинаковые напряжения: ; (здесь N – число конденсаторов в батарее). Поэтому величина, обратная емкости батареи : .

⇐ Предыдущая 1 2 34