Основной закон электромагнитной индукции

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Индукционный ток как и всякий электрический ток может течь в цепи только при наличии электродвижущей силы. Рассмотрим плоский контур, участок которого может свободно перемещаться без нарушения контакта. Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура.

Под воздействием силы Ампера незакреплённый участок контура придет в движение и за время совершит работу

где – изменение магнитного потока через площадь контура за время .

Кроме механического перемещения участка контура, энергия батареи c ЭДС будет расходоваться на нагревание проводников контура и по закону Джоуля – Ленца работа силы тока равна

Полная работа, совершаемая батареей с ЭДС согласно определению ЭДС равна q. Так как заряд , то величина работы будет

Таким образом

или

Откуда

Сравнив полученные выражения с выражением законом Ома для замкнутой цепи мы констатируем наличие дополнительного члена , который и является ЭДС индукции

Электродвижущая сила электромагнитной индукции в замкнутом контуре числено равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, сквозь поверхность, ограниченную контуром.

Это и есть основной закон электромагнитной индукции.

Для выяснения природы ЭДС. индукции рассмотрим более детально явления, происходящие в подвижной стороне контура. Для простоты рассуждений примем, что в контуре гальванический элемент тока с ЭДС отсутствует, а ток в контуре будет обусловлен только ЭДС индукции. Приведем подвижную часть контура в движение со скоростью . При этом на электроны проводимости металла действует сила Лоренца , направленная параллельно проводнику и численно равная

где e – заряд электрона

Под действием этой силы электрон движется вдоль провода со скоростью , в результате чего возникает перпендикулярная проводу составляющая силы Лоренца .

Полная сила Лоренца, действующая на электрон равна

Под действием параллельной составляющей силы Лоренца электроны, перемещаясь вдоль проводника создают между его концами разность потенциалов , а внутри проводника электрическое поле с напряженностью . Величина этой напряженности равна

где l – длина проводника

Сила, действующая на электрон со стороны электрического поля равна еЕ и направлена противоположно силе Лоренца. При равенстве численных значений этих сил движение электронов по проводнику прекратится. Поэтому для равновесного состояния имеем

E=VB

Так как то

Согласно формуле закона Ома для неоднородного участка цепи

Так как в нашей цепи тока нет, то I=0 и значит

Тогда можно записать что

или

Так как в рассматриваемой цепи никаких гальванических источников тока нет, то естественно считать ЭДС равной ЭДС индукции.

Мы рассмотрели случай поступательного движения проводника длиной l в магнитном поле со скоростью . Угол между направлением скорости и вектором магнитной индукции был равен 90°.

Рассмотрим теперь случай когда угол между и не равен 90° и составляет некоторый угол . Магнитное поле по-прежнему будем считать однородным, то есть B=const во всех точках пространства. Ранее мы установили, что при движении проводника в постоянном магнитном поле разделение зарядов обусловлено действием силы Лоренца на свободные заряженные частицы.

Тогда сила, которая действует в магнитном поле на заряженную частицу равна

Обозначим перемещающийся участок проводника до его помещения в магнитное поле через MN и его положение после помещения в магнитное поле буквами

Направлена эта сила вдоль проводника и совершает работу

Тогда Э.Д.С. индукции

В других проводниках контура ЭДС равна нулю, так как проводники не подвижны. Следовательно, ЭДС во всем контуре остается постоянной, а электрический ток по мере перемещения проводника вправо будет увеличиваться, так как общее сопротивление контура уменьшается. Поскольку согласно правилу Ленца индукционный ток всегда направлен противоположно действию вызывающей его причине, то знаки V и должны быть противоположными, то есть

ЭДС индукции при поступательном движении проводника в однородном магнитном поле

Скорость движения проводника можно представить как . Тогда . Здесь равно расстоянию, на которое перемещается проводник, помещенный в магнитное поле, то есть . Произведение представляет собой площадь поверхности, описываемой проводником за время . Тогда

Произведение есть ничто иное как магнитный поток сквозь это поверхность, то есть . Тогда

Полученный результат по своей форме тождествен уравнению основного закона электромагнитной индукции. Однако смысл правой части в обоих уравнениях различен.

В первом случае это скорость изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром. Во втором – это отношение магнитного потока сквозь поверхность, описываемую проводником при его движении за бесконечно малый промежуток времени к величине этого промежутка времени . Поэтому для того чтобы обобщить оба уравнения принято считать, что это скорость пересечения проводником линий магнитной индукции магнитного поля.

Если весь контур движется в однородном магнитном поле, сохраняя свою ориентацию по отношению к вектору , то ЭДС индукции в контуре будет равна нулю, так как поток через площадь ограниченную контуром не меняется. Объяснить это можно так: при движении проводника MN в нем и в остальных проводниках составляющих части контура возникают силы, действующие на электроны, таким образом, что суммарная работа этих сил при обходе контура по часовой стрелке или против нее равна нулю.

Рассматривая более детально явления, происходящие в подвижной стороне контура мы установили, что действие магнитного поля на проводник с током проявляется в виде параллельной составляющей силы Лоренца, которая в свою очередь создает электрическое поле с напряженностью . Это приводит нас к выводу о взаимосвязи электрического и магнитного полей или о существовании единого электромагнитного поля.

Электрическое поле индукции не отличается от электростатического поля по своему действию на заряд, но по своей структуре эти поля различны.

В электростатическом поле линии напряженности не замкнуты. Они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Работа по перемещению заряда между двумя фиксированными точками зависит то положения этих точек, но нет формы пути и в случае замкнутого контура она равна нулю.

В электрическом поле индукции линии напряженности не имеют источников и представляют собой замкнутые линии, расположенные внутри проводника. При перемещении заряда по контуру, совпадающему с линиями напряженности направление перемещения совпадает с направлением действия силы. Следовательно работа, произведенная при обходе всего контура всегда отлична от нуля.

Направление ЭДС индукции, возникающей в прямолинейном проводнике при его движении в магнитном поле определяется с помощью правила правой руки:

Если расположить правую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а отогнутый большой палец показывал направление движения проводника, то вытянутые четыре пальца покажут направление ЭДС индукции.

Мы рассмотрели случаи поступательного движения контура по отношению к вектору магнитной индукции .

Рассмотрим теперь случай вращательного движения контура по отношению к вектору магнитной индукции . Здесь возможны два случая

а) Контур вращается вокруг оси, которая параллельна вектору магнитной индукции . В этом случае число линий магнитной индукции пересекающих контур при его вращении остается неизменным. Следовательно, и

б) Контур вращается вокруг оси, которая не параллельна вектору магнитной индукции. Рассмотрим наиболее простой и в то же время широко используемый на практике случай вращения плоского витка в однородном магнитном поле, когда ось вращения перпендикулярна вектору магнитной индукции

Обозначим нормаль к плоскости витка через и через угол между векторами и . Плоскость витка и ось вращения перпендикулярны плоскости чертежа.

Выберем начало отсчета времени t так, чтобы при угол . Тогда

где – угловая скорость вращения витка.

Магнитный поток сквозь площадку S, ограниченную контуром, согласно определению равен

При вращении контура величины B и S остаются неизменными, а изменяется только угол . Закон изменения угла определяется скоростью вращения рамки. Не останавливаясь подробно на выводе формулы для ЭДС индукции, запишем сразу конечный результат

Или с учетом того, что

Вихревое электрическое поле

В неподвижных проводниках возникновение индукционного тока обусловлено тем, что изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Силовые линии вихревого электрического поля замкнуты. Поэтому такое поле вызывает индукционный ток в замкнутом контуре.

Вихревое электрическое поле в отличии от электростатического не является потенциальным.

Вихревое электрическое поле может вызывать индукционные токи и в сплошных проводниках. Такие токи называются вихревыми или токами Фуко.

Таким образом, подводя итоги вышесказанного можно заключить.

Переменное магнитное поле вызывает появление индуцированного вихревого электрического поля. Это фундаментальное положение электродинамики установлено Максвеллом как обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея.

Если к неподвижному замкнутому проводящему контуру приближается постоянный магнит, то в контуре возникает индукционный ток

. Причиной, вызывающей упорядоченное перемещение зарядов является индуцированное электрическое поле, в котором на заряды проводящего контура действуют силы, приводящие к их разделению и появлению ЭДС индукции.

Свойства индуцированного электрического поля:

1. Индуцированное электрическое поле не является кулоновским. Оно создается не зарядами, распределенными в пространстве, а переменным магнитным полем.

2. Индуцированное электрическое поле подобно магнитному полю является вихревым и не потенциальным полем. Работа, совершаемая в этом поле при перемещении единичного положительного заряда по замкнутой цепи не равна нулю и численно равна ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле.

Вихревые токи появляющиеся в сердечнике трансформатора или в якоре электродвигателя вредны, так как они вызывают большие потери электрической энергии и могут привести к перегреву, что может быть причиной аварии. Для борьбы с вредным влиянием вихревых токов сердечники трансформаторов и якоря электродвигателей набирают из отдельных пластин, изолированных друг от друга, чтобы увеличить сопротивление сердечника в направлении вихревых токов.

Появление ферритов – магнитных материалов с большим электрическим сопротивлением, сделало возможным изготовление сплошных сердечников.

Вихревые токи имеют так же и полезные применения.

Приведем пример.

Между полюсами магнита (или электромагнита) расположен медный маятник, прикрепленный к стрелке прибора. При колебаниях стрелки маятник пересекает линии индукции магнитного поля, и в нём возникают вихревые токи. Согласно правилу Ленца вихревые токи, возникающие в маятнике, имеют такое направление, что взаимодействие их магнитных полей с полем магнита препятствует движению маятника. Такая система часто применяется для быстрого электромагнитного гашения или демпфирования механических колебаний различных приборов.

Быстропеременные магнитные поля и вызванные ими вихревые токи применяются в индукционных печах для термической обработки и плавки металлов. Такая печь представляет собой катушку, питаемую высокочастотными токами большой силы. Если поместить внутри катушки проводящее тело в нем возникнут интенсивные вихревые токи, которые могут разогреть тело до плавления. Подобным образом осуществляется плавление металлов в вакууме что позволяет получать металлы очень высокой чистоты.

Вихревые токи, возникающие в проводах, по которым текут переменные токи, ослабляют их внутри провода или вблизи поверхности. Это явление называется скин-эффектом или поверхностным эффектом [skin (англ.) – кожа]. Из-за скин-эффекта внутренняя часть проводника в высокочастотных цепях оказывается бесполезной, и поэтому проводники изготавливают в виде трубок.

Вихревые индукционные токи высокой частоты используются и для поверхностной закалки деталей машин. В мощном переменном поле поверхностные слои металла разогреваются очень быстро. Основная же масса металла остается холодной. Затем производится быстрое охлаждение металла, например погружением в воду или масло. Закаленная деталь имеет твердую поверхность, но не становится хрупкой, так как остальной металл не утратил свою вязкость. Изменяя частоту переменного магнитного поля можно производить закалку на любую глубину сечения металла.

Самоиндукция

Пропустим по соленоиду переменный ток. Изменение тока в цепи приводит к изменению магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического поля, вследствие чего появляется ЭДС индукции в той же самой цепи. Это явление называется самоиндукцией.

При самоиндукции проводящий контур играет двоякую роль: по нему протекает ток, вызывающий ЭДС индукции и в нем самом тоже появляется ЭДС индукции.

Изменяющееся магнитное поле индуцирует ЭДС в том же самом проводнике, по которому течет ток вызывающий поле.

Действительно по правилу Ленца в момент нарастания тока напряженность вихревого электрического поля направлена против тока. Следовательно, в этот момент вихревое поле препятствует нарастанию и наоборот в моменты уменьшения тока вихревое поле поддерживает его. Механическим аналогом самоиндукции является инерция. Так индукция приводит к тому, что под действием силы тело не мгновенно приобретает определенную скорость, а постепенно. Тело нельзя мгновенно затормозить, как бы не была велика тормозящая сила. Точно так же за счет самоиндукции при замыкании цепи сила тока не сразу приобретает определенное значение, а нарастает постепенно. Выключая источник, ток не сразу прекращается. Самоиндукция поддерживает его некоторое время, несмотря на наличие сопротивления цепи. Это приводит к тому, что при замыкании цепи, содержащей постоянную ЭДС, определенное значение силы тока устанавливается не сразу, а постепенно с течение времени.

С другой стороны при отключении источника тока в замкнутом контуре ток прекращается не мгновенно. Возникающая ЭДС самоиндукции может превышать ЭДС источника, так как изменение тока и его магнитного поля при отключении источника тока происходит очень быстро.

В цепях постоянного тока самоиндукция возникает только при замыкании цепи (момент

на рисунке) и её размыкании (момент

на рисунке).

Чтобы увеличить скорость тела согласно законам механики нужно совершит работу. При торможении тело само совершает работу. Точно так для создания тока нужно совершить работу против сил вихревого электрического поля, а при исчезновении тока это поле само совершает положительную работу.

ЭДС самоиндукции одного витка согласно основному закону электромагнитной индукции определяется как

ЭДС самоиндукции соленоида рана сумме ЭДС самоиндукции каждого витка

где – потокосцепление.

Модуль вектора магнитной индукции создаваемой током, пропорционален силе тока. Так как магнитный поток пропорционален , то и Ф пропорционален .

Следовательно

где L – коэффициент пропорциональности между током в проводящем контуре и созданным им магнитным потоком, пронизывающим этот контур. Величину L называют индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.

За единицу индуктивности в системе СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в 1 Ампер, возникает магнитный поток равный 1 Веберу. Эту единицу называют генри.

Индуктивность проводника зависит от его геометрической длины и размеров, а так же от магнитной проницаемости окружающей его среды, но не зависит от материала, из материала из которого он сделан. Поэтому индуктивность проводника – постоянная величина.

С учетом того, что

и где имеем

Эта формула справедлива не только для соленоида, но и для другого контура. Следовательно

ЭДС самоиндукции контура пропорциональна скорости изменения тока в нём.

Индуктивность контура является мерой его инертности по отношению к изменению силы тока в контуре, то есть величина L является аналогом массы в механике.

Определим индуктивность бесконечно длинного соленоида, то есть такого соленоида, длина которого много больше его диаметра .

Магнитная индукция внутри его, как известно равна

где I – ток в соленоиде, n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Магнитный поток, охватываемый каждым витком соленоида по определению равен

где S – площадь витка. Полный магнитный поток , сцепленный с соленоидом равен

где N – общее число витков соленоида. Тогда

С учетом того что имеем

Сопоставим эту формулу с формулой

Отсюда видно, что величина индуктивности равна

Взаимная индукция

Рассмотрим два контура, расположенные параллельно друг другу

При пропускании по первому контуру переменного тока силой создается магнитное поле, линии магнитной индукции которого пронзят второй контур.

Полный магнитный поток, связанный со вторым контуром можно записать как

где - коэффициент пропорциональности.

При изменении тока во втором контуре индуцируется ЭДС, величина которой согласно основному закону электромагнитной индукции равна

С учетом того, что эта ЭДС равна

Эта ЭДС вызывает в этом контуре ток , величина которого равна

где – сопротивление второго контура. Поставив в последнюю формулу вместо его значение получим

Переменный ток

, появившийся во втором контуре, создает собственное магнитное поле, линии которого

пронизывают первый контур.

Полный магнитный поток, связанный с первым контуром по аналогии запишется таким образом

где – коэффициент пропорциональности.

При изменениях тока в первом контуре индуцируется ЭДС

С учетом того, что эта ЭДС равна

Таким образом, между обоими контурами имеется взаимная электромагнитная связь. Всякие изменения происходящие в одном контуре в той или иной степени отражаются в другом контуре.

Контуры 1 и 2 называются связанными.

Коэффициенты пропорциональности и называются коэффициентами взаимной индукции контуров. Они зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров, а так же от магнитной проницаемости окружающей среды. Измеряются они в тех единицах, что и индуктивность. В системе СИ это – Генри.

На явлении взаимной индукции основан принцип действия трансформаторов, служащих для повышения или понижения напряжения переменного тока.

Трансформатор состоит из двух соленоидальных обмоток, укрепленных на общем замкнутом железном сердечнике. Концы первой обмотки присоединены к источнику переменного тока, а концы второй – в цепь потребителей электрической энергии.

Переменное магнитное поле, создаваемое током, текущим а первичной обмотке трансформатора, вызывает появление ЭДС взаимной индукции во

второй обмотке. Магнитное поле первичной обмотки практически полностью сосредоточено в железном сердечнике, играющем роль магнитной цепи. Поэтому применение в трансформаторе замкнутого сердечника, общего для обеих обмоток позволяет резко увеличить их взаимную индуктивность.

Определим взаимную индуктивность обмоток трансформатора. Если пренебрегать рассеванием магнитного потока вдоль сердечника то можно считать, что через сечения обеих катушек проходит один и тот же магнитный поток .

Этот поток охватывается первой катушкой раз, то есть

где - число витков в первой катушке, – полный магнитный поток, связанный с первой катушкой.

Полный магнитный поток, охватываемый второй катушкой будет соответственно равен

где - число витков второй катушки.

Напряженность поля, создаваемого первичной обмотки трансформатора, если рассматривать её как бесконечно длинный соленоид с сердечником будет равна

где l- длина сердечника трансформатора, то есть его периметр, взятый по осевой линии.

Так как линии магнитной индукции сосредоточены только внутри сердечника, то напряженность поля внутри сердечника, во всех его точках будет одинаковой, то есть .

Тогда

Полный магнитный поток через поперечное сечение сердечника будет равен B·S, то есть

Так как , то

Здесь - магнитная проницаемость сердечника.

Следовательно

Подставив это выражение в формулу для полного магнитного потока, охватываемого второй катушкой, получим

Сравним это выражение с формулой полного магнитного потока, охватываемого второй катушкой

Тогда

Проведя аналогичные вычисления для полного магнитного потока, охватываемого первой катушкой, в предположении, что по второй катушке течет ток можно прийти для L к такому же выражению.

Энергия магнитного поля

В явлениях взаимоиндукции во втором контуре наблюдается выделение энергии в виде теплоты. Согласно закону сохранения энергии это энергия может быть получена извне, так как в самом контуре не происходят изменения, которые могли бы служить источником энергии электрического тока в первом контуре. Следовательно, источником энергии второго контура является энергия электрического тока первого контура. Так как взаимодействие контуров осуществляется через магнитное поле, то это поле так же является носителем энергии, то есть от первого контура ко второму переходит энергия магнитного поля.

Для расчета энергии магнитного поля рассмотрим одиночный контур с индуктивностью L, сопротивлением R и ЭДС .

Замкнем индуктивность на ЭДС В цепи установится ток i, который создаст магнитное поле, сцепленное с витками соленоида.

Переключим соленоид на сопротивление R. В цепи потечет постепенно убывающий ток. Магнитный поток сцепленный с соленоидом изменится на величину .

Как было показано ранее при выводе формулы работы по перемещению контура с током в магнитном поле, для изменения магнитного потока на величину необходимо совершить работу

В данном случае перемещается не контур с током, а изменяется магнитное поле. Как было отмечено ранее формула остается прежней.

Так как соленоид состоит из N витков, то полная работа будет равна

Поскольку это равенство можно записать в следующем виде

При этом для всего соленоида полагаем i=const

С учетом того, что имеем

Так как ток в цепи убывает, то его изменения берем со знаком (-).

Следовательно

Откуда полная работа, совершаемая в цепи, за время в течении которого происходит исчезновение магнитного поля будет равна

где W – энергия магнитного поля.

Таким образом получим, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток i обладает энергией

Выражение для магнитной энергии контура с током очень напоминает выражение для кинетической энергии движущегося тела . Сопоставляя эти выражения видим, что роль скорости играет ток i, характеризующий интенсивность движения электрических зарядов. Роль массы играет индуктивность контура L. Как масса характеризует механическую инерцию тела, так и индуктивность характеризует электромагнитную инерцию контура.

Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. Энергия магнитного поля распределяется по всему пространству, окружающему контур с током. Поэтому можно найти связь между энергией, содержащейся в единице объема поля и напряженностью магнитного поля.

Эту связь можно установить рассмотрев любой проводник с током, для которого рассчитывается индуктивность L и напряженность поля Н. Наиболее удобен для этой цели бесконечно длинный соленоид или тороид.

Его индуктивность рана

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; V – его объем.

Напряженность магнитного поля соленоида . Откуда

Подставив эти значения L и i в формулу для энергии магнитного поля, после несложных преобразований получим

Как нам известно, магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия магнитного поля заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w.

Так как , то

плотность энергии магнитного поля.

Это выражение применимо и к полю, созданному проводниками любой формы, а так же к полю постоянных магнитов.

Полученное нами выражение для плотности энергии магнитного поля имеет вид аналогичный выражению для плотности энергии электрического поля с тем лишь отличием, что электрические величины в нем заменены магнитными.

⇐ Предыдущая 1 2 34