Электростатическое поле в вакууме.

Тема 1. Вопрос 1.

Электрический заряд – это свойство некоторых частиц, характеризующее их способность к особому типу взаимодействия, называемому электромагнитным взаимодействием. Что нам известно об электрических зарядах?

1) Различают заряды двух типов – положительные и отрицательные.

2) Разноименные заряды притягиваются, одноименные – отталкиваются.

3) Наименьший отрицательный заряд – это заряд электрона (е = 1, 6× 10^-¹⁹Кл), положительный - протона (+е). Заряды любых тел всегда дискретны и кратны заряду электрона. Так как число заряженных частиц в телах огромно, а размеры частиц очень малы, в большинстве случаев можно говорить о непрерывном распределении зарядов в телах.

4) З акон сохранения электрического заряда: «В замкнутой (электрически изолированной) системе суммарный заряд остается постоянным».

5)Электрический заряд является инвариантом, иначе говоря, величина заряда остается одной и той же, независимо от того, движется он в какой либо системе отсчета или покоится.

Электростатическое поле в вакууме.

Закон Кулона: сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными сферами (шарами) прямо пропорциональна величинам их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. В общем случае кулоновская сила – это двойной векторный интеграл, который можно взять только в некоторых простейших случаях.

	Кулоновская (электростатическая) сила. В таком виде закон Кулона применим только для двух точечных зарядов, сфер (шаров), r – расстояние между центрами сфер (шаров).
	векторная форма, знак силы (±) зависит от выбора направления радиус-вектора
	называется «коэффициент в СИ в законе Кулона», e_о» 8, 85× 10^-¹² (Кл²/Н.м²) – электрическая постоянная

Тема 1. Вопрос 2.

(Н/Кл=В/м)

напряженность (вектор)– силовая характеристика электрического поля, по смыслу – это сила, действующая на единичный положительный пробный заряд в данной точке поля.

Используя закон Кулона, можно найти напряженность поля точечного заряда; q заряд, создающий поле, q_o - пробный заряд, вносимый в это поле.

Тема 1. Вопрос 3.

Работа по переносу заряда в электростатическом поле.

Сила, действующая на заряд в электрическом поле. Это выражение может быть использовано всегда, тогда как формула

применима только для точечных зарядов, сфер и шаров.

Пусть точечный заряд q переносится в поле, создаваемом другим точечным зарядом q_о. Найдем работу, необходимую для переноса q из положения с радиус-вектором r₁ в положение с радиус-вектором r₂. (см. рис.).

	полная работа по переносу заряда q в электрическом поле, a - угол между вектором Е и вектором перемещения dl
	Сведем подынтегральное выражение к одной переменной r, используя выражение для напряженности поля заряда q_о и связь между перемещением dl и приращением радиус-вектора dr. Интегрируя, найдем выражение для работы.

	Из этой формулы следует очень важный вывод: работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением переносимого заряда.
	Работа в электростатическом поле по замкнутому пути равна нулю

Из механики известно, что силовое поле, работа в котором определяется только начальным и конечным положениями тела, называется консервативным. Следовательно, электростатическое поле является консервативным или чаще говорят, потенциальным Линейный интеграл по замкнутому контуру L называется циркуляцией. Отсюда следует:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. Это является условием потенциальности поля.

Тема 1. Вопрос 4.

Работа консервативных (потенциальных) сил равна убыли потенциальной энергии тела. Следовательно, можно ввести еще одну характеристику электростатического поля – потенциал j.

(В = Дж/Кл)

потенциал(скаляр) – энергетическая характеристика электростатического поля - по смыслу это: 1) потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля или 2) работа, которую надо совершить, чтобы перенести единичный положительный заряд из данной точки 1 в бесконечность (¥ ).

разность потенциалов – это работа, которую надо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки 1 в точку 2

Найдем связь между напряженностью и потенциалом.

	работа в потенциальном (консервативном) поле равна убыли потенциальной энергии
dx, - перемещение	выразим элементарную работу через напряженность и разность потенциалов; сократим на q, обозначим проекцию вектора Е на направление х как Е_х, получим:
	связь между Е и j в дифференциальной формедля одномерного случая, когда потенциал зависит только от координаты х - j (х)

	В трехмерном случае, когда потенциал является функцией j (х, y, z), запишем формулы для каждой проекции и, объединяя их в одно выражение, найдем (учитывая, что Е - вектор):
Ñ («набла») - другое обозначение градиента (модуль вектора Е)	Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции (в нашем случае - потенциала). В одномерном случае градиент напряженности dj / dx приобретает простой физический смысл: он показывает, на сколько изменяется потенциал на единице длины.

«-» в правой части формул означает, что вектор напряженности Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Из приведенных выражений, зная j (х, y, z), можно, дифференцируя, найти напряженность поля. Производя обратную операцию – интегрирование, можно при известной напряженности найти потенциал. Рассмотрим случай зависимости

Е и j только от одной переменной х. Из формулы находим:

Связь разности потенциалов с напряженностью в интегральной форме для одномерного случая, когда Е(х)

Тема 1. Вопрос 5.

Тема 1. Вопрос 6.

Принцип суперпозиции.

На основе опытных данных был получен принципа суперпозиции ( наложения ) полей: «Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то напряженность и потенциал результирующего поля складываются независимо, т.е. не влияя друг на друга». При дискретном распределении зарядов напряженность результирующего поля равна векторной сумме, а потенциал алгебраической (с учетом знака) сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. При непрерывном распределении заряда в теле векторные суммы заменяется на интегралы, где dE и dj– напряженность и потенциал поля элементарного (точечного) заряда, выделенного в теле. Математически принцип суперпозиции можно записать так.

		при дискретном распределении зарядов	принцип суперпозиции
		при непрерывном распределении зарядов

Тема 2. Вопрос 1.

Теорема Гаусса.

Сначала введем понятие « поток вектора » - это скалярная величина

(Н× м²/Кл = В× м)	элементарный поток вектора напряженности Е, n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Е_n – проекция вектора Е на направление нормали n
	поток вектора напряженности через конечную площадку S
	-² - -² - -² -через замкнутую поверхность S

	при дискретном распределении зарядов	Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e_о» (e_о – электрическая постоянная)
	при непрерывном распределении зарядов

1) Сфера, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м²)

Рассмотрим области: 1) вне сферы ( ) и внутри ее ( ). Выберем поверхности: 1) S₁и 2) S₂ – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.

(¨ ) Потоки вектора Е через S₁ ( ) и S₂. ( ) E^n, a = 0, cosa = 1.

(¨ ¨ ) по теореме Гаусса; F₂= 0, т.к. S₂ не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из (¨ ) и (¨ ¨ ), найдем E(r).

q = s× 2pR² – полный заряд сферы Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности.

Тема 2. Вопрос 2.

Теорема Гаусса.

	при дискретном распределении зарядов	Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e_о» (e_о – электрическая постоянная)
	при непрерывном распределении зарядов

2)Тонкая длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда t (Кл/м)

В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l.

Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.

	Разобьем поверхность цилиндра на боковую и две торцевых. Для боковой - cosa = 1, для торцевых - cosa = 0.
	по теореме Гаусса; охватываемый заряд – это отрезок нити длиной l. Приравнивая и сокращая, получим E(r).

Тема 2. Вопрос 3.

Теорема Гаусса.

	при дискретном распределении зарядов	Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e_о» (e_о – электрическая постоянная)
	при непрерывном распределении зарядов

3) Тонкостенный длинный цилиндр, заряженный:

1) с линейной плотностью заряда t или

2) с поверхностной плотностью заряда s.

Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности t получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (s× 2p× R× l) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.

Тема 2. Вопрос 4.

Теорема Гаусса.

	при дискретном распределении зарядов	Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e_о» (e_о – электрическая постоянная)
	при непрерывном распределении зарядов

4) Плоскость, бесконечно протяженная, заряженная с поверхностной плотностью заряда s.

Выберем гауссову поверхность S в виде цилиндра, перпендикулярного заряженной плоскости. Высота цилиндра (2× х/2). Разобьем поверхность на боковую и две торцевых.

	поток через S_бок = 0, т.к.× E^n, a = 90^о и cosa = 0
	S_{заштрих} – площадка с зарядом, охватываемым цилиндром

	S _{заштрих} = S _торц, т.к. образующие цилиндра перпендикулярны заряженной плоскости. Поле протяженной плоскости – однородное и не зависит от расстояния

5) Две плоскости, параллельные, разноименно заряженные ( плоский конденсатор ). В этом случае напряженность поля можно найти по принципу суперпозиции, зная напряженность поля одной плоскости:


A) Е_А = Е₂ - Е₁ = 0 B) Е_В = Е₂ + Е₁ =s /e_о C) Е_С = Е₁ - Е₂ =0
Поле плоского конденсатора можно считать однородным с достаточной степенью точности, если расстояние между пластинами значительно больше размеров пластин.

Тема 3. Вопрос 1.

Точечный заряд.

Подставим в формулу  в выражение для напряженности поля точечного заряда. 1 и 2 – любые две точки на радиальной оси координат r. Примем j ₁ = 0 при r₁ ®¥, заменим j ₂ ® j, r₂ ®r получим j (r).


(при j_¥ = 0)

Тема 3. Вопрос 2.

Тема 3. Вопрос 3.

Тема 3. Вопрос 4.

Тема 4. Вопрос 1.

Тема 4. Вопрос 2.

Тема 4. Вопрос 3.

Тема 5. Вопрос 1.

Электроемкость.

Все проводники обладают свойством накапливать электрические заряды. Это свойство называется электроемкостью. Количественная характеристика этого свойства также называется электроемкостью и обозначается С. Различают электроемкость уединенного проводника (собственная емкость), находящегося вдали от других проводников, и взаимную емкость системы из двух и более проводников.

(фарада) (Ф = Кл/В)	емкость уединенного проводника (собственная емкость)– численно она равна тому заряду, который нужно сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу
	взаимная емкость конденсатора (состоящего из 2-х обкладок)- численно она равна тому заряду, который нужно сообщить конденсатору, чтобы изменить разность потенциалов между обкладками на единицу

Фарада – единица измерения емкости в СИ - является чрезвычайно большой величиной. Так, емкость земного шара примерно 7× 10^-⁴Ф, поэтому обычно пользуются микро-, нано- и пикофарадами.

Собственная емкость зависит только от формы и размеров проводника и от диэлектрических свойств окружающей среды (вакуум, воздух, керосин, …) и не зависит ни от материала проводника (Fe, Cu, Al, …), ни от того, заряжен он или нет. Каждый уединенный проводник обладает «своей» емкостью, если, например, изогнуть кусок проволоки или сделать вмятину в шарике, их емкость изменится.

Вычисление емкости представляет собой сложную математическую задачу, и если проводник имеет сложную конфигурацию, то аналитически эта задача не решается.

Вычислим электроемкость уединенной сферы (шара).

	потенциал заряженной сферы (шара); подставим в , получим:
	емкость сферы (шара); в вакууме зависит только от радиуса сферы (шара)

При наличии диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e во всех формулах надо заменить

e₀ ® ee₀

Тема 5. Вопрос 2.

Электроемкость.

Взаимная емкость также зависит от формы и размеров проводников и, кроме того, от их взаимного расположения. Система из двух проводников называется конденсатором в том случае, когда расстояние между ними достаточно мало, и электрическое поле (когда они заряжены) сосредоточено в основном между проводниками. Сами проводники при этом называют обкладками. Вычислить емкость такой системы можно для обкладок простей формы: плоских, сферических и цилиндрических (без учета краевых эффектов).

Вычислим емкость плоского конденсатора – это две металлические параллельные пластины (обкладки) одинаковых размеров, разделенные слоем диэлектрика (вакуум, воздух и др.). Если расстояние между пластинами значительно меньше размеров пластин: d < < L, H, поле между пластинами можно считать однородным. В действительности вблизи краев пластин поле неоднородно (см. рис., на котором показана половина плоского конденсатора, линии со стрелками – это силовые линии, без стрелок – эквипотенциальные поверхности). Учесть эти краевые эффекты трудно.

	q - заряд на обкладке конденсатора; Dj - разность потенциалов для однородного поля; S – площадь пластин. Подставим в:
	емкость плоского конденсатора

При наличии диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e во всех формулах надо заменить

e₀ ® ee₀

Тема 5. Вопрос 3.

Электроемкость.

Цилиндрический конденсатор. Это два соосных металлических цилиндра, в промежутке между которыми – диэлектрик (вакуум, воздух и др.). Длина цилиндров-обкладок l, радиусы R и r (см. рис.). Если сообщить внутренней обкладке заряд +q, на внешней обкладке индуцируются заряды -q и +q, положительный заряд с внешней поверхности наружной обкладки уводится в землю. Поле конденсатора в основном сосредоточено между обкладками, если расстояние между ними (R - r) < < l. Краевые эффекты не учитываем.

	разность потенциалов между обкладками, t - линейная плотность заряда, q – заряд на всей длине l. Подставив в , получим:
	емкость цилиндрического конденсатора длиной l

При наличии диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e во всех формулах надо заменить

e₀ ® ee₀

Тема 5. Вопрос 4.

Электроемкость.

Сферический конденсатор. Это две металлические концентрические сферы, разделенные сферическим слоем диэлектрика. Если внутренней обкладке сообщить заряд +q, на внутренней поверхности внешней обкладки индуцируется заряд -q, а на внешней ее поверхности +q. Этот заряд отводится в землю за счет заземления (см. рис.). Поле такого конденсатора сосредоточено только между обкладками.

	разность потенциалом между обкладками. Подставив в , получим:
	емкость сферического конденсатора

При наличии диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e во всех формулах надо заменить

e₀ ® ee₀

Тема 5. Вопрос 5.

Электроемкость.

Соединения конденсаторов.

Конденсаторы можно соединять параллельно или последовательно, или смешанным образом: часть параллельно, часть последовательно. При параллельном соединении емкость системы увеличивается и становится равной сумме емкостей. При последовательном соединении емкость системы всегда уменьшается. Последовательное соединение применяют не для уменьшения емкости, а главным образом для уменьшения разности потенциалов на каждом конденсаторе, чтобы не было пробоя конденсатора.

Введем более простое обозначение для разности потенциалов. Иногда U называют напряжением, это устаревший термин. Напряжение U = IR – это произведение силы тока на сопротивление (см. ниже – ток), а через конденсатор ток идти не должен. Если происходит пробой диэлектрика, конденсатор приходится выбрасывать.
	запишем формулу для каждого конденсатора и для всей системы (заменив Dj®U); подставляя q в последнюю формулу, получим: С _паралл=С₁ + С₂ Обобщим на случай 3-х и более конденсаторов	параллельное соединение
	емкость системы при параллельном соединении конденсаторов(i=1, 2, …, n) n - число конденсаторов

	Заряды на всех обкладках по величине одинаковые. Запишем формулы аналогично предыдущему случаю, произведем те же действия и найдем	последовательное соединение
	для 2-х конденсаторов
	емкость системы при последовательном соединении конденсаторов

Тема 6. Вопрос 1.

Диполь, его поле.

Диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по величине, но различных по знаку зарядов q, расположенных на определенном расстоянии l друг от друга. Если это расстояние не меняется, диполь называют жестким. Если расстояние меняется пропорционально напряженности внешнего поля, диполь называют упругим.

Изучение поля диполя и его поведения во внешнем электрическом поле имеет большое значение, так как диполь может служить моделью молекул. На легких частицах, оказавшихся в электрическом поле, возникают индуцированные заряды, и частицы становятся диполями. С помощью достаточно большого количества таких частиц можно наблюдать силовые линии поля, т.к. частички-диполи будут располагаться по силовым линиям поля.

Диполь характеризуют дипольным (электрическим) моментом (см. рис.):

дипольный (электрический) момент диполя – это вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному

Для определения потенциала j и напряженности Е поля диполя можно воспользоваться принципом суперпозиции:

	Электростатическое поле диполя имеет сложный вид (см. рис.): a) эквипотенциальные поверхности, b) силовые линии (половина поля)

- расстояния от точки поля 0, для которой определяются j и Е, до зарядов, - единичные векторы, взятые в этих направлениях (см. рис. ниже).

Не обязательно:

при r > > l

потенциал и напряженность поля диполя на больших расстояниях от него

Тема 6. Вопрос 2.

Тема 6. Вопрос 3.

Тема 6. Вопрос 4.

Поляризация диэлектриков называется процесс ориентации диполей или появление под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей. Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации:

- деформационная поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;

- ориентационная поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю;

- ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных - против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

- Поляризуемость молекул полярного и неполярного диэлектриков

Центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

Центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. При отсутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированны в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Тема 6. Вопрос 5.

Часть 1.

Поляризация диэлектриков характеризуется физической величиной, называемой вектором поляризации (Р):

(Кл/м²)

Здесь: p_i – дипольный момент молекулы, V – объем диэлектрика. Вектор поляризации по смыслу представляет собой векторную сумму дипольных моментов всех молекул в единице объема диэлектрика.

Из опыта следует, что для многих диэлектриков при не очень сильных полях, вектор поляризации прямо пропорционален напряженности внешнего поля;

c - коэффициент пропорциональности - называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика, она зависит от плотности диэлектрика и температуры (c - греческая буква «хи»).

e = 1 – вакуум e @ 1 – воздух, газы e > 1 - для всех диэлектриков

- диэлектрическая проницаемость – безразмерная величина, показывающая, во сколько раз уменьшается напряженность поля внутри диэлектрика по сравнению с вакуумом.

Электрическое поле в диэлектриках характеризуют также вспомогательным вектором D:

вектор электрической индукции (электрического смещения)

Вектор D физического смысла не имеет, но он удобен в случае, когда линии напряженности внешнего поля перпендикулярны поверхности диэлектрика. В этом случае D в вакууме и в диэлектрике имеет одно и то же значение: D = D _0..

Векторы напряженности E, электрической индукции D и поляризации P связаны между собой соотношением:

Диэлектрическая проницаемость e это макрохарактеристика диэлектрика, она зависит от структуры и свойств его молекул и от температуры диэлектрика. Экспериментально определить e легко. Для этого нужно поместить диэлектрик в конденсатор и измерить емкость с диэлектриком и без него: e = С/С₀. Исследуя зависимость диэлектрической проницаемости e от температуры Т, можно получить сведения о свойствах молекул. Для этого нужно иметь формулу зависимости e (Т), в которую входили бы характеристики молекул. Сложность в получении такой формулы состоит в том, что средняя напряженность поля внутри диэлектрика и поля, окружающего данную молекулу, отличаются друг от друга. Разными учеными теоретически были получены различные формулы. Наиболее универсальной формулой является:

где n – концентрация молекул, a - поляризуемость молекулы, р₀ - дипольный момент молекулы, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, e₀ – электрическая постояннная

Тема 6. Вопрос 5.

Часть 2.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒