Среднее число обслуживаемых заявок.

Среднее число заявок, находящихся в системе, определяется как сумма среднего числа заявок, ожидающих обслуживания и среднего числа заявок под обслуживанием.

L_s = L_q +

16. Формулы Литтла для определения времени нахождения заявки в очереди и в сиситеме.

Важнейшей характеристикой качества обслуживания является время пребывания заявки в системе, которое определяется формулой Литтла:

W_s₌ ; где L_s- среднее число заявок, находящихся в системе,

А-среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.

Определение максимина и минимакса на множестве чистых стратегий. Решение матричной игры в чистых стратегиях.

Пример: Найти нижнюю и верхнюю чистые цены и соответствующие им максиминную и минимаксную чистые стратегии в игре.

Решение: В последнем столбце выписаны минимальные по строкам выигрыши α i игрока А. Наибольшим из них является -2.

Итак, нижняя цена игры α =max min α ij = -2, это и есть максимин, он показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока В.

В последней строке той же таблицы приведены максимальные проигрыши β j игрока В для всех его чистых стратегий. Наименьшим из них будет 2.

Значит, верхняя чистая цена игры β =min max α ij = 2, -это минимакс, которое показывает, какой максимальный проигрыш может быть у игрока В при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока А.

Понятие доминируемой стратегии на основе парного сравнения чистых стратегий. Примеры.

Важным приёмом, позволяющим уменьшить размеры платёжной матрицы,

является так называемое правило доминирования. Оно основано на отбрасывании тех

чистых стратегий, которые не вносят никакого вклада в искомые оптимальные стратегии.

Один из приёмов снижения размеров матрицы заключается в сравнении её строк и

столбцов.

Стратегия Аi называется доминируемой стратегией Аj, а стратегия Аj –

доминирующей, если при любом варианте поведения противодействующего игрока

выполняются неравенства

a_i₁ < = a_j_1, a_i₂< = a_j_2, a_i₃ < = a_j_3,…a_im< = a_jm .

Считают, что игрок поступает разумно, если будет избегать доминируемых

стратегий.

В случае, если выполняется соотношение

a_i1 = a_j1, a_i2= a_j2, a_i3 = a_j3,…a_im= a_jm,

то говорят, что стратегии Аi и Аj дублируют друг друга.

Если в матрице игры одна из строк (столбцов) доминирует другую строку (другой

столбец) или две строки (два столбца) дублируют друг друга, то можно уменьшить

размеры матрицы путём исключения доминируемых строк (столбцов) и одной (одного) из

дублирующих.

Упрощение игры в процессе формирования платежной матрицы. Полное определение доминируемой стратегии. Пример.

Решение матричных игр тем сложнее, чем больше размерность платежной матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности отыскание оптимального решения можно упростить, если уменьшить их размерность путем исключения дублирующих и заведомо невыгодных (доминируемых) стратегий.

Определение 1. Если в платежной матрице игры все элементы строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующее этим строкам (столбцам) стратегии называются дублирующими.

Определение 2. Если в платежной матрице игры все элементы некоторой строки, определяющей стратегию Аi игрока А, не больше (меньше или некоторые равны) соответствующих элементов другой строки, то стратегия Аi называется доминируемой (заведомо невыгодной).

Определение 3. Если в платежной матрице игры все элементы некоторого столбца, определяющего стратегию Вi игрока В не меньше (больше или некоторые равны) соответствующих элементов другого столбца, то стратегия Вi называется доминируемой (заведомо невыгодной).

Правило. Решение матричной игры не изменится, если из платежной матрицы исключить строки и столбцы, соответствующие дублирующим и доминируемым стратегиям.

Упростить матричную игру, платежная матрица которой имеет вид:

Из платежной матрицы видно, что стратегия А2 дублирует стратегию А5, потому любую из них можно отбросить (отбросим стратегию А5). Сравнивая почленно стратегии А1 и А4, видим, что каждый элемент строки А4 не больше соответствующего элемента строки А1. Поэтому применение игроком А доминирующей над А4 стратегии А1 всегда обеспечивает выигрыш, не меньший того, который был бы получен при применении стратегии А4. Следовательно, стратегию А4 можно отбросить. Таким образом, имеем упрощенную матричную игру с платежной матрицей вида:

Из этой матрицы видно, что в ней некоторые стратегии игрока В доминируют над другими: В3 над В2, В4 и В5. Отбрасывая доминируемые стратегии В2, В4 и В5, получаем игру 3x2, имеющей платежную матрицу вида:

В этой матрице стратегия А3 доминируется как стратегией А1, так и стратегией А2. Отбрасывая стратегию А3, окончательно получаем игру 2x2 с платежной матрицей

Эту игру уже упростить нельзя, ее надо решать рассмотренным выше алгебраическим или геометрическим методом.

Необходимо отметить, что отбрасывая дублируемые и доминируемые стратегии в игре с седловой точкой, мы все равно придем к игре с седловой точкой, т.е. к решению в чистых стратегиях. Но лучше сразу проверить, не обладает ли игра седловой точкой - это проще, чем сравнивать почленно все строки и все столбцы платежной матрицы.

Алгебраические методы решения матричных игр иногда производить проще, если использовать также следующие свойства матричных игр.

Свойство 1. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить (вычесть) одно и тоже число С, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а только цена игры увеличится (уменьшится) на это число С.

Свойство 2. Если каждый элемент платежной матрицы умножить на положительное число k, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а цена игры умножится на k.

Отметим, что эти свойства верны и для игр, имеющих седловую точку. Эти два свойства матричных игр применяются в следующих случаях:

1) если матрица игры наряду с положительными имеет и отрицательные элементы, то ко всем ее элементам прибавляют такое число, чтобы исключить отрицательные числа в матрице;

2) если матрица игры имеет дробные числа, то для удобства вычислений элементы этой матрицы следует умножить на такое число, чтобы все выигрыши были целыми числами.

24 Критерии решения матричной игры с природой в случае однократного принятия решения в условиях риска (Лапласа, Байеса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица).

Критерий Лапласа: оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш статистика при равенстве всех априорных вероятностях.

Критерий Байеса: в качестве оптимальной принимается чистая стратегия А_j, при кот. максимизируется средний выигрыш статистика.

Критерий Вальда: это максиминный критерий, и его можно сформулировать как для чистых, так и для смешанных стратегий. Этот критерий является критерием крайнего пессимизма, т.к здесь статистик исходит из предположения, что природа «действует» против него наихудшим образом, т.е реализует такие состояния П_j_,при кот. Величина его выигрыша принимает наименьшее значение. Исходя из этого статистик выбирает такую чистую стратегию А_j_,при кот. Наименьший выигрыш будет максимальным. Говоря иначе, оптимальной будет его максиминная чистая стратегия, а максимальным выигрышем – нижняя чистая цена игры а(альфа). Для смешанных стратегий: оптимальной смешанной стратегией считается та, при кот. его минимальный средний выигрыш максимизируется.

Критерий Сэвиджа: как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, ибо здесь статистик исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию А_j_,при кот. минимизируется величина максимального риска.

Критерий Гурвица: критерий пессимизма-оптимизма, рекомендует рассчитывать на нечто среднее.