Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпали грани с одинаковым числом очков?

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)

Методические указания к

выполнению контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

Псков

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: событие А₁ - выпадение “шестерки” при одном броске игральной кости (кубика с занумерованными гранями).

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Пример: событие А₂ - при одном броске игральной кости число выпавших очков меньше 7. Обозначим достоверное событие буквой W.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности событий S. Пример: событие А₃ - при одном броске игральной кости число выпавших очков дробно. Невозможное событие обозначим символом Æ.

События W и Æ будем рассматривать как частные (“крайние”) случаи случайных событий, хотя они не являются таковыми.

Два или более событий назовем несовместными, если в результате осуществления условий S (или, по-другому, в результате испытания) невозможно их совместное осуществление, т.е. появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Пример: событие А₄ - при броске игральной кости выпало нечетное число очков - несовместно с событием А₁(выпала “шестерка”).

§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОПЕРАЦИИ

Сумма событий А+В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А₁ и А₄ из §1 А₁+ А₄= {выпало 1, 3, 5 или 6 очков}.

Произведение событий А·В - это совместное осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В = {при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}. Тогда В · А₄ = {выпала грань с 3 очками}.

Для несовместных событий А и В их произведение А·В=Æ . В частности, для последнего примера можно записать А₁·А₄= Æ.

Событие называется противоположным к А (т.е. состоит в том, что “ достоверное событие W происходит, а событие А не происходит”).

Если события Н₁, Н₂, ..., Н_n попарно несовместны (Н_i·H_j=Æ при i ¹ j ), а их сумма - достоверное событие (H₁+H₂+...+H_n= W ), то говорят, что {H₁, H₂, ..., H_n} - полная группа несовместных событий или разбиение W. В частности, {A, } - полная группа несовместных событий для любого А.

§3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность события А - это число Р(А), которое вводится для количественного описания степени объективной возможности наступления А.

В этом параграфе рассмотрим испытания, в которых множество W представляет собой конечное число равновозможных исходов. Например, если бросить игральную кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней. Достоверное событие W здесь состоит в том, что выпала одна из шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае двух бросков симметричной монеты - 4 различных исхода: “орел-орел” (О, О), “орел-решка”(О, Р), а также Р, О и Р, Р; их также считают равновозможными. Все они вместе образуют достоверное событие W для данного испытания. В первом случае вероятность каждого из элементарных исходов равна 1/6, а во втором 1/4.

В общем случае, если число всех элементарных исходов N(W) равно n, то вероятность каждого из них 1/n. Пусть число благоприятствующих исходов для А или, иначе, число элементарных исходов испытания, входящих в событие А (N(A)), равно m, тогда вероятность

( 1 )

Это формула классической вероятности.

В примерах из §1 шесть элементарных исходов: выпала цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие А₁ включает в себя ровно 1 элементарный исход, А₂ (достоверное) - все 6, А₃(невозможное) - 0, А₄ - 3. Поэтому

, ,

Еще примеры. При двух бросках симметричной монеты событие С = {выпал хотя бы один “орел”} включает в себя три элементарных исхода из четырех, поэтому .

Событию D = {при трех бросках монеты выпало ровно два ”орла”} благоприятствуют 3 из 8 возможных элементарных исходов, поэтому .

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА КЛАССИЧЕСКУЮ

ВЕРОЯТНОСТНУЮ СХЕМУ

О СТАТИСТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

ВЕРОЯТНОСТЯХ

Относительная частота события А - это отношение числа испытаний, в которых событие фактически появилось (благоприятствующих А) к общему числу проведенных испытаний: .

Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота - после опыта. Конечно, при увеличении количества испытаний в серии на 1 W(A) меняется - хотя бы потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не менее, с увеличением n величина W(A) приближается к некоторому числу, которое называют статистической вероятностью события А.

Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность поражения стрелком мишени равна 0, 7”, то речь идет о вероятности, вычисленной статистически.

§6. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для классического, статистического и геометрического определений вероятности выполняются следующие аксиомы:

Р(А) ³ 0 для любого наблюдаемого события А;

Р(W ) = 1;

Если события А и В несовместны (А · В = Æ ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Из аксиом можно вывести следующие свойства:

1. Р(Æ ) = 0, откуда следует, что если А и В несовместны (А · В = Æ ), то Р(А · В) = 0.

2. Р( ) = 1 - Р(А).

3. Р(А) £ 1.

4. Если А Ì В (А влечет за собой В), то Р(А) £ Р(В).

5. Если А = B (т.е. А Ì В и В Ì А), то Р(А) = Р(В).

6. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А · В), формула сложения вероятностей. В частности, если А и В несовместны (А · В = Æ ), то получим аксиому III.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если F(x) = P(X < x), то функция F(x) называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины Х, т.е. функция распределения в точке “х” - это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного числа х.

Из определения сразу следуют несколько свойств F(x):

F(- ¥ ) = 0, F(+ ¥ ) = 1;

F(x) - неубывающая функция (т.е. если x₁< x₂, то F(x₁) £ F(x₂) ).

Функция распределения для случайной величины дискретного типа имеет “ступенчатый” график. Для случайной величины Х₁ из §13 F(x) запишется так:

Обратите внимание, что левые концы «ступенек» - выколотые, а правые - нет. Например, F(1) = P(X₁ < 1) = P(X₁ =0) = 0, 25;

F(1, 1) = P(X₁< 1, 1) = P(X₁ = 0) + P(X₁ = 1) = 0, 75. «Высоты» «ступенек» равны очередным вероятностям, взятым из таблицы: сначала 0, 25, затем еще +0, 5, и наконец еще +0, 25.

Аналогичный график и для другого примера – про домино – только там будет не 2, а 12 «ступенек».

Справедлива формула: P(a £ X < b) = F(b) - F(a).

ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНОГО ТИПА

Математическое ожидание - важнейшая “характеристика положения” случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле

М(Х) = x_{1 ·}p₁+ x_{2 ·}p₂+... + x_{k ·}p_k(+...) = ,

где x₁, x₂, ..., x_k, ... - возможные значения случайной величины (верхняя строка таблицы), p₁, p₂, ..., p_k, ... - их вероятности (нижняя строка).

Математическое ожидание - это число, которое выражает среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение по распределению). Для примера из §13

М(Х₁) = 0 · 0, 25 + 1 · 0, 5 + 2 · 0, 25 = 1.

Здесь Х₁ - число “орлов”, выпавших при 2 бросках симметричной монеты. М(Х₁) - среднее число “орлов”, выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число равно 1.

Для другого примера из §13 М(Х₂) = 6.

Отметим два простейших свойства математического ожидания:

1. М (С) = С

2. М (С · Х) = С · М(Х) ( С - постоянная ).

В дальнейшем нам придется вычислять математическое ожидание случайной величины Х². Если случайная величина Х задается таблицей

X	x₁	x₂	...	x_k
P	p₁	p₂	...	p_k

то случайная величина Х² получится после возведения в квадрат возможных значений случайной величины Х, при этом Р(Х = х_к)= = Р(Х² = х_к²) = p_k:

X²	x₁²	x₂²	...	x_k²
P	p₁	p₂	...	p_k

Поэтому М(Х²) = x₁² · p₁+ x₂² · p₂+... + x_k² · p_k = .

В частности, для примера из §13

X²	0²	1²	2²
P	0, 25	0, 5	0, 25

и М(Х²) = 0^{2 ·} 0, 25 + 1² · 0, 5 + 2² · 0, 25 = 1, 5

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле

, - ¥ < x < +¥

Числа а Î R и s > 0 называются параметрами нормального закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается N(a, s).

При а = 0 функция f(x) четная ( f(-x) = f(x) ), ее график симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение М(Х) = 0. График f(x) для закона N(a, s) получается из графика f(x) для N(0, s) сдвигом на а единиц вправо ( это известно из курса средней школы ), поэтому в общем случае М(Х) = а для нормального закона.

Дисперсия же вычисляется по формуле D(X) =s².

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

Найти А, М (Х), D(X), P(-3< X< 3).

Т. к. , то

Показатель экспоненты приравняем к , откуда а = 2, s = 1. Числовой коэффициент должен быть равен А, следовательно,

, M (X) = a = 2, D(X) = s ² = 1.

P (-3 < X < 3) = F(3) - F(-3) = =

Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение можно найти по таблицам.

В большинстве учебников имеются таблицы для вычисления функций

Ф(х) = или Ф₁(х) = = + Ф(х)

Ф(х) - нечетная функция, т.е. Ф(-х) = - Ф(х). В общем случае

Р(x₁< X < x₂) = ,

где а и s - параметры нормального закона. Следовательно, для данного примера

P(|X| < 3) = Ф₁(1) - Ф₁(-5) = Ф(1) - Ф(-5) = Ф(1) + Ф(5) =

= 0, 3413 + 0, 5 = 0, 8413.