Сравнительное изложение аффинной и евклидовой

Геометрий

Общее определение аффинного и аффинного евклидова пространства (в аксиоматике Вейля). Общее определение скалярного произведения векторов. Понятие системы координат в аффинном пространстве и прямоугольной системы координат в аффинном евклидовом пространстве. Координаты точек и формулы преобразования координат точек, геометрический смысл матрицы перехода. Длина отрезка в координатах в произвольной и прямоугольной системе координат.

Аффинные преобразования аффинного пространства. Движения евклидова пространства. Инварианты аффинных преобразований. Инварианты движений.

Алгебраические кривые 1 и 2 порядка в аффинных пространствах. Классификация кривых 2 порядка относительно группы аффинных преобразований и относительно группы движений.

Эрлангенская программа Клейна.

Построение проективного пространства

Центральное проектирование в аффинном пространстве. Введение несобственных элементов и построение проективного пространства. Общее определение проективного пространства.

Модели проективной прямой, проективной плоскости и трехмерного проективного пространства.

Некоторые свойства точек и прямых и их проверка в различных моделях проективной плоскости.

Принцип двойственности на проективной плоскости и в трехмерном проективном пространстве.

Проективные координаты точек, проективные системы координат

Введение проективных координат точек и проективных систем координат в различных моделях проективной прямой, проективной плоскости. Общее определение проективной системы координат в проективном пространстве.

Однородные координаты как частный случай проективных координат на проективной прямой и проективной плоскости в моделях пополненной прямой и пополненной плоскости соответственно. Связь между аффинными и однородными координатами для собственных точек пополненной прямой и пополненной плоскости.

Формулы преобразования проективных координат точек.

Линии 1 порядка на проективной плоскости

Уравнения прямой на проективной плоскости. Проективные координаты прямой. Обоснование принципа двойственности на проективной плоскости.

Двойное (сложное отношение) четырех точек, лежащих на одной прямой. Двойное (сложное отношение) четырех прямых, принадлежащих одному пучку.

Гармонические четверки точек и прямых.

Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник.

Теоремы Дезарга и Паппа.

Линии 2 порядка на проективной плоскости

Приведение уравнения линии 2 порядка к каноническому виду. Квадрики.

Некоторые свойства линий 2 порядка на проективной плоскости в модели пополненной плоскости.

Теоремы Паскаля и Брианшона.

6. Проективные преобразования проективных пространств

Перспективные соответствия проективных прямых, проективных плоскостей. Некоторые инварианты при перспективных соответствиях.

Проективные преобразования и отображения проективных пространств: различные определения и их эквивалентность. Проективные преобразования в координатах.

Группа проективных преобразований и ее подгруппы. Проективно-аффинные преобразования.

Проективная классификация линий 2 порядка относительно группы проективных преобразований. Связь с аффинной классификацией.

Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии

Схема решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии.

Примеры задач, решаемых методами проективной геометрии.

Практические задания с решениями

Решаемые задачи иллюстрируют лекционный курс, а также создают мотивацию к последующему изучению теоретического материала. Четкая запись условий задач, подробная, структурированная запись решения геометрических задач является основным требованием к работе как преподавателя, так и студентов, что необходимо для качественного объяснения и усвоения геометрического материала. Недопустимы «приблизительные» решения, а также их отсутствие (только чертеж), что создает иллюзию понимания.

Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий

Список необходимых сведений: определения аффинных преобразований и движений аффинного и евклидова пространства. Их свойства.

Практические задания

1. На плоскости относительно прямоугольной системы координат дано каноническое уравнение эллипса с параметрами a, b.Перевести аффинным преобразованием данный эллипсв единичную окружность с центром в начале координат.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса .

Перепишем его в виде .

Рассмотрим аффинное преобразование .

Оно переводит эллипс в единичную окружность с уравнением .

Штрихи над координатами x и y показывают, что единичная окружность является образом. После того как уравнение образа получено, то штрихи можно не писать.

2. На плоскости относительно прямоугольной системы координат даны две единичные окружности: с центром в начале координат и с центром в точке .Перевести одну окружность в другую аффинным преобразованием.

Решение.

Рассмотрим две единичные окружности

и .

Рассмотрим движение . Оно является параллельным переносом на вектор с координатами и переводит первую окружность во вторую.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒