Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.

Решение.

Пусть проективная однородная система координат на пополненной плоскости задана так: R={E1, E2, E3, E}, где E1, E2 - несобственные точки пополненной плоскости.

Тогда несобственная прямая имеет уравнение .

В самом деле, несобственные точки плоскости и только они порождаются векторами с координатами относительно базиса

e 1, e 2, e3, причем векторы e i порождают точки Ei , а вектор e 1 + e 2 + e3 - точку E. Следовательно, несобственные точки имеют координаты .

 

Задание. Пусть проективная однородная система координат на пополненной плоскости задана так: R={E1, E2, E3, E}, где E2, E3 или E1, E -- несобственные точки пополненной плоскости. Какое уравнение будет иметь несобственная прямая?

Решение задач на формулы связи аффинных и однородных проективных координат точек. Уметь находить однородные координаты точек по их аффинным координатам и, наоборот, по аффинным координатам проективные координаты на прямой.

Решение.

Пусть на пополненной плоскости даны аффинная система координат O e 1 e 2 и проективная однородная система координат R={E1, E2, E3, E}, где O = E3, а точки E1, E2 порождаются векторами e 1, e 2. Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами .

1) Рассмотрим точку с аффинными координатами и найдем ее однородные координаты . Если точка имеет аффинные координаты, то она не является несобственной. Следовательно, .

Так как проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности, то .

2) Рассмотрим точку с однородными координатами и найдем ее аффинные координаты .

Если , то точка является несобственной и не имеет аффинных координат.

Если , то аффинные координаты точки находятся по формулам связи .

3. На плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2 дано общее уравнение прямой. Написать уравнение этой прямой в однородных координатах относительно проективной системы координат R={E1, E2, E3, E}, где O = E3, а точки E1, E2 порождаются векторами e1, e2.

Какие однородные координаты имеет бесконечно удаленная точка этой прямой?

Решение.

Общее уравнение прямой имеет вид , где - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат O e 1 e 2.

Пополним плоскость несобственными точками и на пополненной плоскости рассмотрим проективную однородную систему координат R={E1, E2, E3, E}, где O = E3, а точки E1, E2 порождаются векторами e 1, e 2. При этом прямая пополнится ровно одной несобственной точкой с однородными координатами , остальные точки прямой будут иметь координаты .

Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами . Подставим в общее уравнение прямой: .

Умножив уравнение на , получим Это уравнение пополненной прямой.

4. На плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2 написать общее уравнение прямой, если дано уравнение этой прямой в однородных координатах относительно проективной системы координат R={E1, E2, E3, E}, где O = E3, а точки E1, E2 порождаются векторами e1, e2.

Решение

Общее уравнение прямой на пополненной плоскости имеет вид , где - координаты точек относительно проективной системы координат R={E1, E2, E3, E}, E1, E2 - несобственные точки пополненной плоскости. Рассмотрим аффинную систему координат O e 1 e 2, где O = E3, а точки E1, E2 порождаются векторами e 1, e 2.

На конечной части плоскости . Разделим общее уравнение на : . Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами . Получим , где - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат O e 1 e 2.

В следующих задачах связь между аффинными и однородными координатами считается как в задачах 2, 3.

Найти однородные координаты точки пересечения прямых

2x – 3y + 5 =0, 5x + 2y – 1 = 0.

Решение.

Решим систему уравнений

и найдем аффинные координаты точки пересечения прямых.

Мы предполагаем, что система имеет решение. В противном случае прямые не пересекаются на аффинной плоскости.

Найдем однородные координаты точки пересечения. Так как для конечных точек плоскости , то . Мы воспользовались формулами связи между аффинными и проективными координатами точек.

Итак, однородные координаты точки пересечения прямых имеют вид

Замечание. Если система не имеет решения, то прямые параллельны на аффинной плоскости. В этом случае их уравнения пропорциональны и можно считать, что прямые задаются уравнениями На пополненной плоскости они пересекаются в общей несобственной точке .

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. D.3. Системы эконометрических уравнений
2. I.Расчет подающих трубопроводов системы горячего водоснабжения при отсутствии циркуляции.
3. III. Системы теплоснабжения и отопления
4. IV. Движение поездов при неисправности электрожезловой системы и порядок регулировки количества жезлов в жезловых аппаратах
5. V1: 2. Основные этапы становления и развития финансовой системы России
6. V2: 2.1 Становление и развитие финансовой системы России до сер. ХIХ в
7. VII. Системы программирования
8. А. Терминология и терминологические системы родства
9. Абсолютная чувствительность сенсорной системы
10. Автоматизированные диагностические системы
11. Автоматизированные информационные поисковые системы.
12. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА РАЗНЫХ УРОВНЯХ УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИЕЙ