Понятие моделирования. Основные методы и приемы моделирования

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 12Следующая ⇒

Моделирование — это имитация поведения исследуемой системы (в данном примере — дробилки) с помощью устройства, называемого моделью.

Моделирование является одним из наиболее распространенных способов изучения различных процессов и явлений. Оно основано на способности человека абстрагировать сходные признаки или свойства различных объектов и устанавливать между ними отдельные соответствия. Во многих практических случаях исследование модели проще, удобнее и дешевле, чем реального объекта. Например, трудно исследовать процессы измельчения материала в камере молотковой дробилки, в то время как на модели они легко воспроизводятся.

Модель — аналог действительной системы, который может быть создан и исследован до построения самой системы. Модель можно описать словесно, изобразить в виде макета либо представить в виде физического, математического или символьного аналога. Модели называются математическими, если они формализованы средствами аппарата и языка математики. В свою очередь, математические модели могут быть геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и пр., если они отражают соответствующие свойства объектов.

Наибольшие трудности возникают при создании моделей слабоструктурированных систем. Здесь значительное внимание уделяется экспертным методам. В теории систем сформулированы общие рекомендации по подбору экспертов при разработке модели, организации экспертизы, по обработке полученных результатов.

При исследовании задач системного анализа используются многочисленные методы и приемы моделирования. Основные из них — логическое, геометрическое, физическое и математическое моделирование.

Логическое (описательное) моделирование. На основе аналогов определенных физических данных создается представление об изучаемом явлении. К логическим моделям можно отнести модель атома, модель нервной системы, аналитически составленные в соответствии с уравнениями схемы замещения генераторов, трансформаторов и т. д.

Геометрическое (изобразительное) моделирование. Основой геометрических моделей является принцип геометрического подобия, т. е. изменение масштабов сооружений без сохранения подобия физической сути явлений. В животноводстве примером могут служить макеты новых ферм и комплексов, машин и установок для приготовления корма и т. п. Они наглядны и полезны при обучении.

Физическое моделирование. Модель воспроизводит изучаемый процесс с сохранением его физической природы. Физические модели отражают подобие между оригиналом и моделью не только с точки зрения их формы и геометрических соотношений, но и с точки зрения происходящих в них основных физических процессов. Эти модели имеют более ограниченную сферу применения, чем математические.

Математическое моделирование. Это способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.

Математические модели можно разделить на предметно-математические и логико-математические. Предметно-математическое моделирование — это разновидность физического моделирования, при котором предполагается лишь тождественность математического описания процессов в оригинале и модели.

Например, известно, что:

1) прямолинейное движение твердого тела с трением описывается линейным дифференциальным уравнением

(1)

где m — масса тела, S — пройденный путь, r — коэффициент трения, F(t) — внешняя сила, приложенная к телу;

2) вращательное движение тела вокруг неподвижной оси описывается уравнением

(2)

где I — момент инерций, φ — угловое смещение, К — коэффициент демпфирования, M(t) — вращательный момент внешней силы;

3) процесс в электрической цепи, содержащей последовательно включенные индуктивность и активное сопротивление, описывается уравнением

(3)

где L — индуктивность, q — количество электричества, R — активное сопротивление, U(t) — напряжение в цепи.

Сравнивая линейные дифференциальные уравнения (1), (2) и (3), видим, что все они имеют одинаковую структуру

(4)

Последнее уравнение (4) представляет собой предметно-математическую модель перечисленных процессов.

Логико-математические модели — абстрактные описания объектов с помощью знаков. Это может быть некоторая совокупность уравнений или неравенств, таблицы, матрицы и другие способы математического описания тех или иных явлений и процессов.

Итак, математической моделью (ММ) реальной системы называется совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т. д.), определяющих характеристики состояний системы (а через них и входные сигналы) в зависимости от ее параметров, входных сигналов, начальных условий и времени.

Математические модели могут быть символическими и численными. При использовании символических моделей оперируют не значениями величин, а их символическими обозначениями (идентификаторами). Численные модели могут быть аналитическими, т. е. их можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров Y от параметров внутренних X и внешних Q, или алгоритмическими, в которых связь Y, X и Q задана неявно в виде алгоритма моделирования. Важнейший частный случай алгоритмических моделей — имитационные, они отображают процессы в системе при наличии внешних воздействий на нее. Другими словами, имитационная модель — это алгоритмическая поведенческая модель.

Под математической моделью технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении ММ используют различные математические средства описания объекта: теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и др.

К математическим моделям предъявляют требования высокой точности, экономичности и универсальности. Экономичность ММ определяется затратами машинного времени (работы ЭВМ). Степень универсальности ММ определяется возможностью их использования для анализа большего числа технологических процессов и их элементов. Требования к точности, экономичности и степени универсальности ММ противоречивы, поэтому необходимо находить оптимальное компромиссное решение.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Однако ММ отражает лишь некоторые свойства. Так, большинство ММ используют при функциональном проектировании, например при нахождении оптимальных режимов резания, расчете производительности и др. При этом не всегда требуется, чтобы ММ описывала все свойства объекта, как, например, геометрическую форму составляющих его элементов.

Точность ММ оценивают степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Адекватность ММ — это способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных — области адекватности математической модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти на ее реализацию).

В зависимости от сложности задачи используют различные принципы построения моделей. Зачастую возникает необходимость разработки модели менее точной, но более полезной для практических целей. При этом, с одной стороны, нужно разработать модель, на которой проще всего получать численное решение, с другой — обеспечить максимально возможную точность модели. С целью упрощения модели используются такие приемы, как исключение переменных, изменение их характера, изменение функциональных соотношений между переменными (например, линейная аппроксимация), изменение ограничений (модификация, постепенный ввод ограничений в условие задачи). Являясь эффективным средством исследования структуры задачи, модели позволяют обнаружить принципиально новые стратегии.

Пример. Представим, что экспериментальное изучение явления Ф дает кривую g (рис. 1), описываемую уравнением y = g(x). Чтобы объяснить явление Ф, теоретик может обратиться к теориям Q₁ и Q₂. Эти теории дают соответственно кривые y = g₁(x) и y = g₂(x). Ни одна из них не совпадает с экспериментальной кривой g. Кривая g_l ближе количественно — в том смысле, что в рассматриваемом интервале интеграл разности меньше, чем . Но кривая y = g₂(x) имеет ту же форму и вид, что и экспериментальная кривая g. В этом случае теоретик с большей долей вероятности предпочтет обратиться к теории Q₂, чем к Q_l Несмотря на более значительную количественную погрешность, можно считать, что теория Q₂, которая дает кривую того же вида, что и экспериментальная, больше говорит о механизме, лежащем в основе явления Ф, чем теория Q₁, количественно более точная. Этот пример не имеет доказательной силы, но иллюстрирует естественную тенденцию разума придавать форме кривой собственную значимость.

При моделировании сложных производственных процессов выделяют различные уровни (2). На первом, наиболее низком уровне проводят исследования, расчет и конструирование рабочих органов, определение кинематических параметров, усилий и размеров.

Рисунок 2. Уровни моделирования технологических процессов

На втором уровне рассматривают работу сложных узлов и механизмов или целых единиц оборудования. На основании математического описания процессов, явлений, уравнений баланса тепла, массы и других факторов составляется математическая модель функционирования механизма. Часто при этом используются данные экспериментальных исследований. Результатом решения на втором уровне может быть определение оптимальных схем движения, соединение в один агрегат узлов и механизмов.

При рассмотрении третьего уровня моделирования выделяются самостоятельные участки технологической линии. Разрабатываются структурные и математические модели, определяются критерии оптимальности. На этом уровне выбирается вариант технологического участка (линии), типа и порядка размещения различных машин и оборудования.

Модель общей схемы технологического процесса (линии) составляется на четвертом уровне моделирования на основании ранее полученных моделей отдельных участков.

На пятом уровне рассматриваются технико-экономические показатели и определяется эффективность функционирования всего предприятия (цеха, завода).

Предлагаемое деление процесса моделирования не является строгим и не обязательно должно включать пять уровней. Количество иерархических уровней зависит от сложности объекта, целей и задач, ставящихся при его рассмотрении.

На основе аналитических математических моделей осуществляются процедуры оптимизации, посредством которых производится поиск лучших вариантов условий функционирования производственных систем. В результате решения оптимизационной задачи отыскивается такой вариант, который при заданных условиях обеспечивает достижение экстремального значения выбранного показателя, отражающего реализацию поставленной цели. Этот показатель называют критерием оптимальности. Математический критерий оптимальности формируется в виде некоторой целевой функции.

Математическая модель оптимизационной задачи включает следующие основные элементы:

1) переменные, или управляемые, параметры процесса — набор неизвестных величин, численные значения которых определяются в ходе решения и дают достаточно конкретные и детализированные указания по рациональной организации процесса;

2) ограничения задачи, представляющие собой символическую запись обязательных условий организации данного процесса. Как правило, ограничения имеют вид линейных уравнений или неравенств. Ограничений в задаче может быть множество: по каждому виду материалов, топлива, энергии, оборудования, численности работников, финансового ресурса, мощности предприятий и т. д.

Для моделирования производства сельскохозяйственной продукции лучше других подходят линейные модели, с помощью которых возможен выбор оптимального варианта из множества. Кроме того, данный вид модели легко можно обработать на компьютере при использовании программ, разработанных на основе симплекс-метода.

Одним из важнейших разделов математической теории управления и планирования является линейное программирование. Методы линейного программирования позволяют решать оптимизационные задачи распределения ресурсов и минимизации затрат. Задачи такого рода возникают при планировании загрузки технологического оборудования, разработке методов управления в производственной системе, планировании последовательности запуска отдельных составляющих.

Задача линейного программирования формулируется следующим образом. Требуется определить экстремум некоторой целевой функции переменных X =(x₁, …….., x_n)

(5)

при следующих ограничениях, наложенных на переменные (запись в векторной форме):

(6)

бец ограничений задачи.

Векторы A_; в совокупности образуют матрицу А = |a_ji| условий задачи.

Если хотя бы один из коэффициентов c_i в (5) равен нулю, то целевая функция не ограничена в пространстве X, и задача о максимуме такой функции без ограничений смысла не имеет.

Другие варианты задач с линейной целевой функцией и линейными условиями можно записать в следующей форме.

1. Неравенство

можно привести к форме (6), изменив знак обеих его частей

и обозначив a_i_j = -P_ij b_j = -d.

2. Условие в форме равенства можно переписать в виде двух неравенств:

3. Условие Y_i > d_i, введя замену x_i = Y_i - d_i, можно переписать в следующем виде: х_i > 0.

4. Замена задачи на минимум задачей на максимум проводится изменением знака L.

Сложность решения задач линейного программирования состоит в том, что прямой путь решения — построение системы возможных вариантов и выделение из них оптимального — практически неосуществим с увеличением числа переменных X_i (с увеличением i). В этом случае возникает необходимость в значительном количестве операций, что требует недопустимо большого машинного времени, даже с учетом использования современных компьютеров. Поэтому в каждом случае необходимо рассматривать возможность применения тех или иных методов линейного программирования исходя из размерности задачи.

Оптимизация производственной структуры сельскохозяйственных предприятий в большинстве случаев требует стохастического подхода, так как сельскохозяйственное производство в значительной степени подвержено воздействию случайных нерегулируемых природных факторов (количества осадков и их распределения по периодам, количества тепла и т. д.).

В моделях, описывающих структуру производства, за детерминированные величины принимаются объемы производственных ресурсов хозяйства; коэффициенты при переменных в ограничениях по структуре посевных площадей, воспроизводству стада, потребности в кормах и продуктивность животных; другие технико-экономические коэффициенты, не зависящие от колебаний урожайности. Случайными величинами в модели являются урожайность культур и непосредственно с ней связанные коэффициенты.

На начальных этапах технологического проектирования часто используют метод динамического программирования. Для каждого производственного задания определяют оптимальный маршрут его прохождения по рабочим местам без учета влияния других производственных заданий. При этом затраты на возможную первую операцию составят

которое позволяет из нескольких возможных вариантов выполнения ТП, заданных с помощью структурной модели, выбрать оптимальный на основе анализа с помощью целевой функции. Реализация используемых математических методов ввиду их высокой трудоемкости должна осуществляться средствами автоматизированного комплекса.

Автоматизированный комплекс строится в рамках интегрированной программно-аппаратной среды интегральной проектно-производственной системы или как автономное образование соответствующих подразделений на основе интеграции программного и технологического обеспечения и средств обеспечения качества технологических процессов и изделий с использованием вычислительной техники.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒