Реализация математических моделей на компьютере

Совокупность задач, возникающих в связи с исследованием сложных систем, разбивается на два класса:

1) задачи анализа, связанные с изучением поведения и свойств системы в зависимости от ее структуры и значений параметров;

2) задачи синтеза, сводящиеся к выбору ее оптимальных внутренних параметров при заданных характеристиках внешней среды с учетом ограничений, накладываемых на систему (или к отысканию таких внутренних параметров, которые придают заданное значение критерию эффективности).

Исследование систем в задачах анализа и синтеза включает несколько этапов.

1. Формулировка задачи, в которой раскрывается цель исследования и основные условия решения задачи.

Основные цели создания модели:

■ понять, как устроен объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

■ научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

■ прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

Естественно, прежде чем формулировать цель исследования, необходимо всесторонне изучить структуру моделируемого объекта (процесса).

Так как математическая модель является результатом формализации процесса и формально определяет зависимость характеристик состояний системы от ее параметров, то на первом этапе необходимо решить вопрос о выборе оптимальной совокупности параметров и характеристик состояний.

Корректность постановки задачи является важным моментом, так как от нее в значительной степени зависят все последующие действия. Ошибки, допущенные на этом этапе, даже при безупречном выполнении последующих, могут привести к тому, что разработанный программный продукт не будет соответствовать требованиям конечного потребителя.

2. Содержательное описание и точная постановка задачи (математическая четкость: что дано, что требуется найти). Содержательное описание включает сведения о физической природе и количественных характеристиках явлений процесса, их взаимодействиях; исходные данные, необходимые для исследования: числовые значения известных характеристик и параметров процесса (в виде таблиц, графиков и т. д.) и значения начальных условий. Содержательное описание служит основой для построения общей формализованной схемы, которая является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью.

На этом этапе дается точная математическая формулировка задачи с указанием характеристик и зависимостей между ними. Все сведения о процессе, которые возможно почерпнуть из эксперимента или технической документации, должны быть использованы для построения формализованной схемы.

Задача может считаться поставленной точно, если используемая для решения информация является полной и непротиворечивой. На этом же этапе осуществляется выбор критерия для оценки эффективности исследуемой системы.

3. Формализация задачи, при которой разрабатывается модель системы и аналитически представляется выбранный критерий эффективности.

Разработка модели системы — ответственный этап проработки задачи, так как к модели предъявляются противоречивые по своей сути требования содержательности и дедуктивности. Действительно, удовлетворяя требование содержательности, в модели необходимо как можно точнее учесть большое количество факторов реального процесса. При этом модель усложняется, что затрудняет ее исследование и получение содержательных результатов. В то же время желание получить результат возможно более простым путем приводит к необходимости упрощения модели, что снижает ее содержательность.

На этом этапе формализованная схема преобразуется в математическую модель, которая представляет собой систему соотношений, связывающую характеристики процесса с его параметрами и начальными условиями. При этом используются соответствующие математические схемы (система массового обслуживания, случайное событие и др.), чтобы записывать в аналитической форме все соотношения; логические условия выражаются в виде систем неравенств; таблицы и графики употребляются в виде аппроксимирующих выражений, удобных для вычислений (например, вместо таблиц частот для случайных значений применяются функции плотности соответствующих законов распределения).

4. Исследование разрешимости задачи, устанавливающее, имеются ли среди средств и методов научной области такие, с использованием которых возможно получение результата.

Выбор метода решения занимает принципиальное место в общей схеме анализа задачи и зависит прежде всего от того, детерминированной или стохастической является модель изучаемой системы. Чаще других применяются методы теории массового обслуживания, математического программирования, вариационное исчисление, теория статистических решений. При выборе метода решения задачи следует учесть, что если входная информация является заведомо неполной, то использование точных методов для решения нецелесообразно.

Само по себе математическое описание в большинстве случаев трудно перевести на машинный язык. Для некоторых классов математических задач существуют точные методы решения, которые можно представить в виде последовательности арифметических и логических действий. Но для многих задач (алгебраические уравнения и системы уравнений, вычисление интегралов, дифференциальные уравнения и т. д.) точные методы решения неизвестны или слишком громоздки. Поэтому были разработаны специальные численные методы, позволяющие получить приближенное решение с требуемой точностью. Такие методы можно найти практически для любых задач. В этих случаях приближенные методы решения обеспечивают удовлетворительные результаты, преимущество которых перед точными состоит в существенно большей простоте реализации. В связи с этим возникает проблема изучения эффективности приближенных методов решения, особенно задач оптимального управления, обеспечивающих решение, близкое к оптимальному.

Далее рассматривается вопрос о целесообразности решения. Решение задачи нецелесообразно, если его результат к моменту получения не устраивает и использование не имеет смысла.

5. Разработка алгоритма решения задачи. Алгоритм представляет собой конечный упорядоченный набор точных правил, указывающих, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить, чтобы после определенного числа шагов получить решение.

Разработка алгоритма заключается в разложении вычислительного процесса на составные части, установлении порядка их следования, описании содержания каждой из частей в той или иной форме.

К основным способам описания алгоритмов можно отнести следующие:

■ словесный (на естественном языке); недостаток — отсутствие строгой формализации и наглядности представления вычислительного процесса;

■ формульно-словесный — основан на задании инструкций выполнения конкретных действий с использованием математических символов и выражений в сочетании со словесными пояснениями;

■ табличный — предполагает представление алгоритма в виде таблицы решений и обычно носит вспомогательный характер;

■ графический — использует элементы блок-схем.

Блок-схемой называется графическое изображение структуры алгоритма, в котором каждый этап процесса переработки данных представляется в виде геометрических фигур (блоков), имеющих определенную конфигурацию в зависимости от характера выполняемых при этом операций. При блок-схемном описании алгоритм изображается геометрическими фигурами (блоками), связанными по управлению линиями со стрелками (направлениями потока). В блоках записывается последовательность действий. Это наглядный и простой способ записи алгоритмов.

6. Реализация разработанного алгоритма. На данном этапе производятся следующие действия: выбор языка программирования; уточнение способов организации данных; запись алгоритма на выбранном языке; отладка и анализ результатов тестирования; совершенствование программы.

На этапе составления программы алгоритм записывают на каком-либо из известных языков программирования. При разработке программы всю задачу стараются разбить на более простые подзадачи, которые оформляются как самостоятельные процедуры (программные модули). Это облегчает процесс разработки, так как, во-первых, решение сложной задачи сводится к решению более простых подзадач; во-вторых, появляется возможность использовать готовые программные модули, если какую-то подзадачу удается свести к уже решенной задаче; в-третьих, каждый участник группы разработчиков может сконцентрировать усилия на создании отдельного программного модуля.

Разработка алгоритма и составление компьютерной программы — творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время достаточно распространенным подходом к программированию остается структурный подход, основными приемами которого являются модульность, использование только базовых алгоритмических структур, разработка алгоритма «сверху вниз» с дальнейшей пошаговой детализацией. Другим не менее популярным подходом является объектно-ориентированное программирование. Относительная простота изучения и «кнопочная» технология, когда создание интерфейса программы значительно ускоряется, делают эти средства привлекательными для разработки демонстрационных программ. В некоторых случаях расчеты удобно провести, используя готовые программные продукты, например электронные таблицы, или специальные математические пакеты.

Разработанный алгоритм программно реализуется на компьютере, после чего анализируются полученные результаты. Когда программа закончена, она поступает на тестирование. Тестированием называется проверка правильности работы программы в целом либо ее составных частей. Отладка — это процесс поиска и устранения ошибок (синтаксических и логических) в программе после ее выполнения на компьютере. Нередки случаи, когда новые входные данные приводят к отказу или неверным результатам работы программы, которая считалась полностью отлаженной.

В современных системах программирования отладка часто осуществляется с использованием специальных программных средств, называемых отладчиками. На этом этапе легче всего вскрываются недостатки проработки задачи на предыдущих этапах. Если полученные результаты удовлетворяют требованиям, то переходят к этапу использования результатов; если же они неудовлетворительны, то следует вернуться к одному из предыдущих этапов проработки.

7. Использование результатов решения задачи (заключительный этап).

На основе анализа результатов делается заключение об их практическом значении и необходимости корректировки исходных данных или модели.

По окончании компьютерного эксперимента с математической моделью накопленные результаты (чаще всего численные) обрабатываются тем или иным способом (опять же с помощью компьютера) и интерпретируются. Удобной для восприятия формой представления результатов, как правило, являются не таблицы значений, а графики, диаграммы. Иногда численные значения заменяют аналитически заданной функцией, вид которой определяет экспериментатор.

Рассмотренные этапы компьютерного эксперимента можно представить в виде схемы (см. рис. 5).

Рисунок 5. Основные этапы численного моделирования

Пример. Модель процесса брикетирования кормовых смесей. Для составления математической модели процесса прессования должны быть рассмотрены наиболее существенные факторы: количество исходного продукта, подаваемого в матрицу за одно прессование; влажность сырья; величина измельчения компонентов; скорость прессования; размеры поперечного сечения; размеры на входе и выходе; длина прессовальной камеры.

Кроме того, на процесс формирования брикетов влияют свойства исходного материала и связующего вещества, конструктивные особенности матрицы, состояние окружающей среды и др. Процесс брикетирования можно характеризовать и такими параметрами, как плотность и крошимость готовых брикетов, удельный расход энергии на их образование, производительность установки. Кроме этого, материал характеризуется и субъективными показателями — запахом, цветом и др. Процесс брикетирования с точки зрения теории управления можно представить в виде параметрической схемы (рис. 6), где x₁, x₂, x_i, x_n — параметры управления, y₁, y₂, y_i, y_n — параметры состояния, z₁, z₂, z_i, z_n — параметры возмущения, f₁, f₂, f_i, f_n — параметры наблюдения.

В общем случае параметры управления и возмущения относятся к входным, а состояния и наблюдения — к выходным. К входным параметрам процесса брикетирования можно отнести влажность исходного сырья W, длину резки l, величину порции корма на одно прессование σ, относительное сужение выходного отверстия камеры έ (сечение камеры на выходе S = b х h, длина L, диаметр d или сечение b х h).

К выходным параметрам обычно относятся плотность брикетов γ, удельный расход энергии на их образование Е_уд, производительность Q, крошимость K и др.

На стадии исследования к параметрам управления можно отнести W, l, G и Е, а к параметрам возмущения — остальные входные. К параметрам состояния относятся плотность γ и удельный расход энергии Е_уд, остальные из выходных — к параметрам наблюдения.

Экспериментальные исследования процесса прессования были проведены на опытной установке. Методом экспертных оценок и поисковыми опытами установлено, что на процесс брикетирования наибольшее влияние оказывают: влажность прессуемой массы W; вес порции корма G; величина измельчения компонентов l; сечение камеры на выходе b х h. В процессе исследования входные параметры варьировались в следующих пределах: W = 13-29%; G = 10-30 г; l = 3-11 см; S = b х h = 12, 8-15, 8 см².

В результате обработки экспериментальных данных получена следующая многофакторная зависимость плотности брикетов от параметров управления:

j = (0, 32 • W5 - 150W2 - 540W + 570) • (0, 06 • sin l + 0, 04S + 0, 98).

Полученная математическая модель служит основой для разработки автоматического регулятора плотности любого штемпельного пресса.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 Следующая ⇒