ИЗУЧЕНИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

 

Цель работы: овладеть способами выбора уравнения нелинейной регрессии, выработать умения и навык расчета параметров уравнения.

Задача. Зависимость между ростом X (тыс. руб.) производительности труда на одного работающего и выпуском Y (тыс. руб.) товарной продукции ремонтного цеха машиностроительного завода характеризуется следующими данными (табл.2.18):

Таблица 2.18

X	1, 5	2, 9	3, 0	3, 1	3, 2	3, 4	3, 5	3, 6	4, 2	4, 3	4, 8
Y

Содержание работы: необходимо на основании данных:

1. Построить корреляционное поле и по расположению точек определить вид функции регрессии.

2. Записать необходимое уравнение регрессии.

3. Между рассматриваемыми признаками X и Y определить тесноту связи.

4. Найденное уравнение регрессии проверить на адекватность.

5. Изобразить полученную линию регрессии графически.

Выполнение работы

В декартовой системе координат отметим все корреляционные точки и получим корреляционное поле.

 

Рис. 2.8 Корреляционное поле

 

Если внимательно посмотреть на данное корреляционное поле, то можно предположить, что через данные точки можно провести ветвь гиперболы. А это значит, что, уравнение регрессии необходимо искать в виде или . Что бы определиться с выбором вида данного уравнения, необходимо проверить следующие условия, представленные в таблице (табл. 1.14).

Рассмотрим формулу . Для нее необходимо проверить следующее равенство: . После вычисления получим:

.

Так как значения 2, 28 в теоретических данных нет, то его необходимо найти. Применим для этого линейное интерполирование (ф.1.76):

.

.

Теперь необходимо вычислить отклонения и и проверить выполнение равенства .

Отклонение . Для формулы находим:

.

Так же как и в предыдущем случае находим значение применяя линейное интерполирование (ф.1.76):

 

.

Перейдем к вычислению отклонения : . Сравним полученные значения. Так как , то по методу необходимых условий необходимо выбирать следующую формулу:

 

.

 

Используем теперь метод конечных разностей и произведем выбор одной из выше рассматриваемых формул. Пусть . Необходимо свести эту зависимость к линейной . Применим следующие преобразования: , (табл. 1.14). Вычисляем отношения . Составляем расчетную табл. 2.19.

Рассмотрим теперь зависимость . Пользуясь теоретическим материалом (табл. 1.14), сводим нелинейную зависимость к линейной , где , .Для нахождения отношений составляем расчетную табл. 2.20.

 

Таблица 2.19

	1, 5	2, 9		3, 1	3, 2	3, 4	3, 5	3, 6	4, 2	4, 3	4, 8
		1792, 2			2118, 4	2376, 6	2509, 5		3301, 2
	922, 2	181, 8		41, 4	258, 2	132, 9	280, 5	511, 2	95, 8
	1, 4	0, 1	0, 1	0, 1	0, 2	0, 1	0, 1	0, 6	0, 1	0, 5
DY/DX	658, 7

 

Таблица 2.20

X = x	1, 5	2, 9		3, 1	3, 2	3, 4	3, 5	3, 6	4, 2	4, 3	4, 8
y
Y = 1/y	0, 0017	0, 0016	0, 0015	0, 0015	0, 0015	0, 0014	0, 0014	0, 0013	0, 0013	0, 0013	0, 0013
	-0, 000106	-0, 0001			-0, 0001		-0, 0001
	1, 4	0, 1	0, 1	0, 1	0, 2	0, 1	0, 1	0, 6	0, 1	0, 5
DY/DX	-0, 00008	-0, 00100			-0, 0005	0, 00000	-0, 00100

 

Отношения , полученные для формулы , мало отличаются друг от друга, чем для формулы . Поэтому по методу конечных разностей в качестве лучшей выбираем формулу . К такому же выводу мы пришли, применяя метод необходимых условий. Итак, зависимость между ростом X (тыс. руб.) производительности труда на одного работающего и выпуском Y (тыс. руб.) товарной продукции ремонтного цеха машиностроительного завода выражается формулой . Оценки и неизвестных параметров истинного уравнения регрессии находим, решая систему нормальных уравнений:

 

 

Для вычисления сумм, входящих в систему, составляем расчетную табл. 2.21.

 

Таблица 2.21

х
1, 5		0, 0017	0, 0026	2, 25
2, 9		0, 0016	0, 0047	8, 41
		0, 0015	0, 0046
3, 1		0, 0015	0, 0046	9, 61
3, 2		0, 0015	0, 0048	10, 24
3, 4		0, 0014	0, 0049	11, 56
3, 5		0, 0014	0, 0049	12, 25
3, 6		0, 0013	0, 0046	12, 96
4, 2		0, 0013	0, 0053	17, 64
4, 3		0, 0013	0, 0054	18, 49
4, 8		0, 0013	0, 0060	23, 04
37, 5		0, 0158	0, 0525	135, 45

 

Составляем и решаем систему

 

Решением является точка (а₀, а₁) = (0, 00204; -0, 00018). Поэтому уравнение регрессии примет вид:

.

 

Оценим силу корреляционной связи между ростом X (тыс. руб.) производительности труда на одного работающего и выпуском Y (тыс. руб.) товарной продукции. Вычислим индекс корреляции по формуле (ф.1.77):

 

,

 

где

,

 

(так как n=11> 50). Для нахождения и составляем расчетную табл. 2.20.

Тогда . Связь между ростом производительности труда на одного работающего и выпуском товарной продукции сильная.

 

Таблица 2.20

1, 1				91, 2025
1, 4	22, 7		22, 09	52, 5625
1, 7	22, 1	17, 2	24, 01	44, 2225
2, 1	19, 8	16, 2	12, 96	18, 9225
2, 6		15, 1	3, 61	2, 4025
4, 7	12, 3	11, 7	0, 36	9, 9225
6, 1	10, 7	10, 2	0, 25	22, 5625
7, 0		9, 4	0, 36	29, 7025
	8, 2	7, 5	0, 49	52, 5625
12, 8	6, 7	6, 3	0, 16	76, 5625
			100, 29	400, 0625

 

Проверяем адекватность полученного уравнения регрессии по критерию Фишера — Снедекора (ф.1.78). Находим статистику:

.

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора (приложение 7) находим

 

.

Так как

,

 

то модель адекватна. Следовательно, зависимость роста производительности труда на одного работающего и выпуском товарной продукции описывается уравнением .

Построение данной кривой в корреляционном поле предлагается выполнить самостоятельно.

 

Лабораторная работа № 5.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. Изучение нового материала
2. III. Изучение геологического строения месторождений и вещественного состава полезного ископаемого
3. III. Изучение геологического строения месторождения и вещественного состава руд
4. IV. Изучение технологических свойств руд.
5. V. Изучение гидрогеологических, инженерно-геологических, экологических и других природных условий месторождения
6. V2: Линейная модель множественной регрессии
7. V6: Нелинейные модели регрессии
8. Алмазно-расточный станок модели 2А78
9. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
10. Анализ полученных результатов моделирования.
11. Бальный метод выбора наиболее конкурентоспособной модели.
12. Бизнес-модели в медиабизнесе Республики Беларусь