ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

(СЛУЧАЙ НЕСГРУППИРОВАННЫХ ДАННЫХ)

Цель работы: овладеть способами построения моделей линейной регрессии, и выработать умения и навыки оценки надежности коэффициента корреляции, уравнения регрессии и его коэффициентов.

Задача. Найти эмпирическую формулу, устанавливающую зависимость между коэффициентами сменности техники Y и её средним возрастом X по предприятию ПМК-7 объединения Сибкомплектмонтаж на основании следующих данных:

Таблица 2.8

Y	1, 18	1, 21	1, 25	1, 26	1, 3	1, 32	1, 33	0, 69	0, 72	0, 8
X	6, 31	5, 8	5, 1	5, 6	6, 1	6, 5	6, 55	3, 8	3, 41

 

Содержание работы: на основании данных необходимо:

1. Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек в корреляционном поле определить общий вид регрессии.

2. Вычислить основные характеристики , , , , , , необходимые для построения модели регрессии.

3. Определить коэффициент корреляции , найти уровень егозначимости и доверительный интервал (степень надежности определяется самостоятельно).

4. Написать эмпирические уравнения линий регрессий на и на .

5. Вычислить коэффициент детерминации и объяснить полученное значение.

6. Проверить адекватность уравнения регрессии.

7. Провести оценку величины погрешности уравнения регрессии на и его коэффициентов.

8. Построить уравнение регрессии на в первоначальной системе координат.

Выполнение работы

На основании, анализа взаимосвязи коэффициента сменности техники от ее среднего возраста следует, что за факторный признак Х следует принять средний возраст техники, а коэффициент сменности за результативный признак Y.

1. Для определения формы связи между признаками X и Y строим на координатной плоскости точки (x_i.y_i), пользуясь табл. 2.8. Около построенных точек проводим так называемую линию тренда (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Линейная регрессия y на x — прямая a с уравнением

y = 0, 185 x + 0, 122 и линейная регрессия x на y — прямая b с уравнением x = 3, 81 y + 1, 1. Пунктированная прямая с проведена «от руки».

2. Произведем расчет статистик , , S_x, S_y, r, которые войдут в уравнения линий регрессий. Составим расчетную табл. 2.9.

 

Таблица 2.9

xi	xi-ẍ	(xi-ẍ )2	yi	yi-ỹ	(yi-ỹ )2	x2	xy
6, 31	0, 993	0, 986049	1, 18	0, 074	0, 005476	39, 8161	7, 4458
5, 8	0, 483	0, 233289	1, 21	0, 104	0, 010816	33, 64	7, 018
5, 1	-0, 217	0, 047089	1, 25	0, 144	0, 020736	26, 01	6, 375
5, 6	0, 283	0, 080089	1, 26	0, 154	0, 023716	31, 36	7, 056
6, 1	0, 783	0, 613089	1, 3	0, 194	0, 037636	37, 21	7, 93
6, 5	1, 183	1, 399489	1, 32	0, 214	0, 045796	42, 25	8, 58
6, 55	1, 233	1, 520289	1, 33	0, 224	0, 050176	42, 9025	8, 7115
3, 8	-1, 517	2, 301289	0, 69	-0, 416	0, 173056	14, 44	2, 622
3, 41	-1, 907	3, 636649	0, 72	-0, 386	0, 148996	11, 6281	2, 4552
	-1, 317	1, 734489	0, 8	-0, 306	0, 093636		3, 2
53, 17		12, 55181	11, 06		0, 61004	295, 2567	61, 3935

Теперь найдем средний возраст техники и средний коэффициент сменности.

— средний возраст техники

— средний коэффициент сменности.

Рассчитаем следующие числовые характеристики:

Þ ,

Þ ,

,

Подставим найденные значения в формулу для нахождения коэффициента корреляции (1.61).

.

Коэффициент корреляции получился достаточно большим, его значение близко к единице. Следовательно, между признаками существует достаточно тесная связь.

3. Теперьпроверим значимость коэффициента корреляции. Вычислим статистику t_p по формуле:

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости и числу степеней свободы находим . Так как , то выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, средний коэффициент сменности Y и средним возрастом X коррелированны.

Находим доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции с надежностью . Так как объем выборки , то доверительный интервал находим по формуле: .

Так как по условию надежность (доверительная вероятность) равна , то по таблице функции Лапласа (приложение 6) находим . Вычисляем среднюю квадратичную ошибку по формуле:

.

 

Записываем доверительный интервал:

 

или ϵ [0, 64; 1].

 

Следовательно, с вероятностью 0, 64 линейный коэффициент корреляции генеральной совокупности находится в пределах от 0, 64 до 1. По имеющейся выборке следует ожидать влияние среднего возраста техники на коэффициент сменности не менее чем на 64%.

4. Найдем эмпирические линейные уравнения регрессии y на x и x на y, которые являются приближенными уравнениями для истинных уравнений регрессий.

ẏ _x=0, 185*x+0, 122

ẋ _y=3, 81*y+1, 1

 

Контроль вычислений:

a₁b₁=0, 185*3, 81=0, 705

r²=0, 84*0, 84=0, 705

 

Получили, что a₁b₁= r², а это значит, что вычисления выполнены верно.

Из уравнения ẏ _x=0.185*x+0.122 следует, что при уменьшении коэффициента сменности на 1 средний возраст техники вырастет на 0, 185

5. Найдем коэффициент детерминации. Для линейной регрессии при вычисленном коэффициенте r он равен r²= 0, 705 0, 71. Это означает, что коэффициент сменности техники зависит от ее возраста на 71%, и только 29% рассеивания среднего показателя коэффициента сменности остались необъяснимыми.

6. Проверим адекватность уравнений линейной регрессии y на x по критерию Фишера-Снедекора. Для этого вычислим статистику F_н по формуле (ф.1.67):

 

 

где R² определяем по формуле (ф.1.62) используя расчетную табл. 2.10:

 

.

Таблица 2.10

yi	ẏ x	yi-ẏ x	(yi-ẏ x)2
1, 18	1, 289	-0, 109	0, 012
1, 21	1, 195	0, 015	0, 000
1, 25	1, 066	0, 185	0, 034
1, 26	1, 158	0, 102	0, 010
1, 3	1, 251	0, 050	0, 002
1, 32	1, 325	-0, 004	0, 000
1, 33	1, 334	-0, 004	0, 000
0, 69	0, 825	-0, 135	0, 018
0, 72	0, 753	-0, 033	0, 001
0, 8	0, 862	-0, 062	0, 004
Сумма			0, 082

 

При уровне значимости α =0, 05 и числах степеней свободы k₁=1, k₂=10-2=8 по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (приложение 7) находим F_Т=5, 32.

Так как Fн=51.3< 5, 32, то заключаем, что уравнение линейной регрессии ẏ _х=0, 185*x+0, 122 статистически значимо описывает результаты эксперимента.

7. Теперьнайдем оценку величины погрешности уравнения регрессии на и его коэффициентов. Для этого составим табл. 2.11.

 

Таблица 2.11

ui	ui-u	(ui-u)2
-0, 109	-0, 11758	0, 013824
0, 015	0, 006774	4, 59E-05
0, 185	0, 176274	0, 031073
0, 102	0, 093774	0, 008794
0, 050	0, 041274	0, 001704
-0, 004	-0, 01273	0, 000162
-0, 004	-0, 01198	0, 000143
-0, 135	-0, 14323	0, 020514
-0, 033	-0, 04108	0, 001687
-0, 062	-0, 07023	0, 004932
		0, 082878

Проведем оценку величины погрешности уравнения регрессии ẏ _x=0, 185*x+0, 122.

Найдем относительную погрешность уравнения по формуле:

 

 

где , ,

Так как , то . Для нахождения суммы используем табл. 2.11.

Тогда , . Так как величина достаточно мала, то уравнение линейной регрессии ẏ _x= 0, 185*x+0, 122 описывает опытные данные.

Оценим коэффициенты уравнения регрессии. У нас , . Для нахождения отношений и вычислим средние квадратические ошибки коэффициентов по формулам:

, , .

 

По табл. 2.9 находим: , . Учитывая, что , и , находим:

 

Коэффициенты считаются значимыми, если выполняется условие: .

 

Проверяя это условие для коэффициентов и получим, что коэффициент значим, а коэффициент не значим. Следует отметить, что это легко можно устранить увеличивая объем выборки. Графиками найденных регрессий являются прямые a, b, представленные на рис. 2.5. Таким образом, полученное уравнение может быть принято для практического руководства.

Лабораторная работа № 3.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V2: Линейная модель множественной регрессии
2. V6: Нелинейные модели регрессии
3. Алмазно-расточный станок модели 2А78
4. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
5. Анализ полученных результатов моделирования.
6. Бальный метод выбора наиболее конкурентоспособной модели.
7. Бизнес-модели в медиабизнесе Республики Беларусь
8. Бизнес-процесс «построение учебного процесса»
9. В.1. Ознакомление с системой моделирования MATLAB
10. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
11. Взаимосвязь инфляции и безработицы. Построение кривой Филлипса.
12. Взаимосвязь модели AD—AS и кейнсианской модели совокупных доходов и совокупных расходов.