Глава 3. Расчет параметров сетевых графиков

Глава 3. Расчет параметров сетевых графиков

Рис. 3.1. Кривая распределения вероятности времени выполнения работ

Математические исследования позволили получить на основе > яда допущений весьма простую зависимость для статистического усреднения времени.

При системе с тремя оценками ожидаемое время (t_ож), которое я вводится в сетевой график, определяется по формуле:

(3.2)

В формуле (3.2) t_ожпредставляет собой математическое ожидание или статистическое среднее значение трех оценок (а, m, b) продолжительности выполнения данной работы.

Положение точки t_ож на кривой распределения может быть различным в зависимости от числовых значений трех оценок (рис. 3.2). Оно может быть равно, больше или меньше величины m, но в любом случае перпендикуляр, опущенный из этой точки на ось времени, делит площадь под кривой распределения вероятности на две равные части (S ₁=S₂)

Рис.3.2 положение ожидаемого времени на кривой распределения.

При системе с двумя оценками t_ожопределяется по формуле:

(3.3)

В стохастических сетевых графиках помимо математического ожидания продолжительности выполнения работ определяют еще и величину дисперсии , т.е. меру неопределенности, связанную с этой продолжительностью.

Неопределенность характеризуется размахом кривой распределения от а до b (рис. 3.3). Чем больше этот размах, тем больше неопределенность, и наоборот. Например, кривая распределения a₁mb₁, имеющая больший размах по сравнению с кривой аmb, обладает большей неопределенностью.

Дисперсия вычисляется по одной из формул в зависимости от принятой системы оценок ожидания:

· при трех оценках времени

(3.4)

Рис 3.3 Размах кривых распределения

· при двух оценках времени

(3.5)

Эти две величины — математическое ожидание времени выполнения данной работы и его дисперсия — являются важнейшими характеристиками стохастического сетевого графика и вычисляется в первую очередь. На основе этих характеристик осуществляется контроль сети путем выявления работ с большей неопределенностью. Например, имеются работы (i-j) и (i-k) со следующими временными характеристиками: (i-j) 3; 5; 13 недель и (i-k) — 2; 6; 10 недель. В обоих случаях расчетное ожидаемое время выполнения будет одинаковым:

В отношении длительности выполнения по работе (i-j) имеется большая неопределенность, чем по работе (i-k) поскольку у первой среднеквадратическое отклонение и, следовательно, величина дисперсии больше:

Чем больше неопределенность по каждой работе в отдельности, тем больше неопределенность и по сетевому трафику в целом, так как дисперсия сроков наступления событий по мере продвижения по сети к завершающему событию накапливается. Чем больше объем сети и чем больше работ входит в ее состав и лежит на критическом пути, тем более неопределенной становится оценка срока окончания разработки.

Сетевой график, в котором при расчете параметров используются ожидаемые продолжительности выполнения работ, рассматривается как детерминированный. Однако следует помнить, что величина t_ожпредставляет собой математическое ожидание случайной величины, обладающее неопределенностью или, другими словами, это некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Поэтому эта величина не может дать точного значения ни времени выполнения отдельной работы, ни срока свершения завершающего события.

Для более точного определения вероятности свершения завершающего события сетевого графика вычисляется сумма дисперсий продолжительности работ, лежащих на критическом пути.

Обратимся к нашему примеру (см. рис. 1.2): работы, лежащие на критическом пути, приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

Аналитический метод расчёта

Этот метод расчета параметров сетевого графика, подразумевает расчет параметров по формулам. Для наглядности рассмотрим сетевой график, состоящий из четырех событий с буквенными обозначениями h j i и трех работ, заключенных между ними: (h-j), (i-j), (j-k).

Предшествующая Данная Последующая

рис. 3.4.

Обычно принимается следующая очередность расчета: сначала определяют наиболее ранние и наиболее поздние сроки свершения событий и резервы времени событий ( t^p_i; t^П_i; R_i₎ начиная от исходного события и заканчивая завершающим, а затем наиболее ранние сроки начала и окончания работ ( ), наиболее поздние сроки начала и окончания работ ( ) резервы времени (i-j), работы (R₍_i-_j); r`₍_i-_j); r``₍_i-_j)) резервы времени путей (R_L_п) и коэффициент напряженности работ(K^H₍_i-_j))

1. Наиболее ранний срок свершения события — наибольшая суммарная продолжительность работ от начального события до рассчитываемого. Каждому событию, кроме исходного, в логической цепи предшествует одно или несколько других событий, следовательно:

• наиболее ранний срок свершения исходного события А принимается равным нулю, т.е.

t^P_H=0 (3.7)

• наиболее ранний срок свершения /-го события равен продолжительности (h-i) работы, если в i-е событие входит только одна (h-i) работа. Если в i-е событие входит несколько работ, то выбирается максимальная по продолжительности, т.е.

t^P_i=t_(h-i)или t^p_i= max t_(h-i) (3.8)

• наиболее ранний срок свершения j-го события равен сумме максимальной величины наиболее раннего срока свершения i-го события и продолжительности (i-j) работы

t^p_j=max(t^p_i+t_(i-j)) (3.9)

2. Наиболее поздний срок свершения события — это наибольшая суммарная продолжительность работ от завершающего события до рассчитываемого. Определяется наиболее поздний срок свершения каждого i-го события как минимальная величина разности между поздним сроком свершения i-го события и продолжительностью (i-j) работы, т.е.

T^П_i=min(t^p_j-t_(i-j)) (3.10)

Для завершающего события сетевого графика t^п и t^p равны, так как это событие находится на критическом пути, где ранние и поздние сроки свершения всех событий совпадают.

Параметры t^п_i и t^p_i наряду с временной оценкой длительности (t_ож(_i_-_j₎) являются исходными для всех последующих расчетов и определяются непосредственно на графике; все остальные параметры являются производными.

3. Резерв времени события — допустимая задержка в свершении любого события, не вызывающая срыва срока свершения завершающего события; определяется как разность между поздним и ранним сроками свершения данного события.

R_i = t^п_i - t^p_i (3.11)

4. Наиболее ранний срок начала работы — наибольшая суммарная продолжительность работ от исходного события (работы) до определяемой работы. Наиболее раннее начало работы, выходящей из исходного события h, принимается равным нулю, следовательно:

• наиболее раннее начало ( h-i ) работы равно нулю

(3.12)

• наиболее раннее начало (i-j) работы равно максимальному значению из всех ранних окончаний предшествующих работы

(3-13)

5. Наиболее ранний срок окончания работы — наибольшая суммарная продолжительность работ (включая искомую) от начального события, следовательно:

• наиболее раннее окончание исходной работы (h-i) будет равно ее продолжительности

(3-14)

• наиболее раннее окончание (i.-j) работы равно сумме наиболее раннего ее начала и продолжительности самой работы

или (3-15)

• максимальное значение раннего окончания какой-либо из работ, входящих в завершающее событие, определяет одновременно и ее позднее окончание, а также продолжительность критического пути( t_kp )

(3.16)

После того как определено позднее окончание последующих работ, входящих в завершающее событие, определяются поздние сроки начала и окончания всех остальных работ.

6. Наиболее поздний срок начала работы— наибольшая суммарная продолжительность работ от завершающего события до начала искомой работы, следовательно:

• наиболее позднее начало (j-к) работы равно разности между поздним окончанием работы (j-к) и ее продолжительностью

(3.17)

• наиболее позднее начало (i-j) работы определяется как разность ее позднего окончания и продолжительности

или (3.18)

7. Наиболее поздний срок окончания работы — это наибольшая суммарная продолжительность работ от завершающего события до окончания определяемой работы, следовательно, наиболее позднее окончание (i -j) работы равно наиболее позднему началу последующей работы (j-к)

или (3.19)

Если за данной (i-j) работой следует не одна, а несколько работ, то ее позднее окончание будет равно минимальному значению из всех поздних начал последующих работ

(3.20)

Для работ, находящихся на критическом пути, наиболее ранние и наиболее поздние сроки начала и окончания всегда равны

; (3.21)

Работа считается критической, если соблюдается следующее условие:

; (3.22)

8. Общий (полный) резерв времени работы — максимально допустимая задержка выполнения любой работы, не вызывающая срыва срока позднего свершения завершающего эту работу события и не изменяющая длину критического пути; определяется 2 способами:

• как разность между поздним сроком свершения конечного события данной работы и суммой продолжительности работы и раннего срока свершения начального для данной работы события

(3.23)

• как разность между поздним и ранним сроком окончания или начала работы

или (3.24)

9. Свободный резерв времени работы — это допустимая задержка в выполнении любой работы при условии свершения начального и конечного событий в наиболее ранние сроки; определяется как разность между ранним сроком свершения завершающего работу события и суммой продолжительности работы и позднего срока свершения предшествующего ей события

(3.25)

10. Частный резерв времени первого вида — это часть полного резерва времени работы, которая может быть использована, не затрагивая резервов времени всех предшествующих работ. Определяется величина этого резерва как разность между поздним сроком свершения j-го события , поздним сроком свершения i-го события данной работы и временем выполнения данной (i-j) работы

(3.26)

11. Частный резерв времени второго вида — это часть полного резерва времени работы, которая может быть использована на

увеличение продолжительности данной работы, не вызывая сокращения резервов времени ни одной из последующих работ. Величина этого резерва времени может быть определена:

• как разность между наиболее ранним временем наступления j-го события , наиболее ранним наступлением i-го события и временем выполнения данной (i-j) работы

(3-27)

• как разность между ранним началом последующей работы и ранним окончанием данной работы или по разности ранних начал последующей и данной работ и продолжительности самой работы

(3.28)

(3.29)

12. Резерв пути— это разница между продолжительностью критического пути t _кр и продолжительностью любого другого пути t_L_П сетевого графика:

(3.30)

Чем короче путь по сравнению с критическим, тем больше у него полный резерв времени, который показывает, насколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути, без существенного изменения общего срока выполнения всего комплекса работ.

13. Коэффициент напряженности работы дает полное представление о степени срочности выполнения работы данного пути; определяется по формуле

(3.31)

где ( — продолжительность исследуемого пути, для которого определяется коэффициент напряженности работ; — продолжительность части критических работ, по которым частично проходит рассматриваемый путь; t_кр — продолжительность критического пути.

Чем выше коэффициент напряженности, тем более жесткие сроки имеются на этом пути и, следовательно, тем больше внимания необходимо уделять работам этого пути.

Величина коэффициента напряженности лежит в пределах 0<

Рис. 3.5. Сетевой график выполнения ОКР по созданию

Нового образца телевизора

Таблица для расчета параметров сетевого графика состоит из 12 вертикальных, граф (табл. 3.4). Помимо расчетных параметров графика в таблице проставляются: коды работ (графы 1, 2), количество работ, предшествующих данной работе (графа 0), календарные даты наиболее раннего начала и окончания работ (графа 11). Запись кодированных работ производится в опреде-8-ленной последовательности. Сначала записываются все работы, ^выходящие их исходного события, затем из первого, второго и т.д. строго по возрастанию вплоть до завершающей работы (графа 1), в графе 2 также сохраняется возрастание кодов по всем работам. Например, из события 1 (рис. 3.5) выходят 3 работы, поэтому в графе 2 записываются коды этих работ по возрастанию: 2; 3; 5.

Таблица 3.3

Рис. 3.6. Сетевой график выполнения ОКР по созданию нового образца

Телевизора

Расчет наиболее ранних сроков свершения событий ведется слева направо, начиная с исходного события, и заканчивается завершающим событием.

Ранний срок свершения исходного события принимается равным нулю ( =0)

Ранний срок свершения j-го события определяется прибавлением продолжительности работы , ведущей к событию, к раннему сроку предшествующего ему i-го события . Это при условии, если в j-e событие входит одна работа (например, для события 2 =3+3 = 6). Если событию предшествует несколько работ, то находятся величины ранних сроков выполнения каждой из этих работ и из них выбирается максимальная по абсолютной величине и записывается в левом секторе события =max : Например, ( ) =3+5=8; ( )=7 + 5 = 12; ( ) =9 + 2 = 11 выбирается максимальное значение 12 и записывается в левом секторе события 5.

Таким образом расчет ведется до завершающего события.

Расчет наиболее поздних сроков свершения событий ведется справа налево, начиная с завершающего события и заканчивается исходным.

Поздний срок свершения завершающего события принимается равным раннему сроку этого события ( = ). Например, = =30. Это значение записывается в правом секторе завершающего события.

Наиболее поздний срок свершения i-го события определяется как разность между сроком свершений последующего j-го события, записанным в правом секторе, и продолжительностью работы, ведущей из i-го события к j-му. Это значение записывается в правом секторе i-го события, если из этого события выходит одна работа. Если из i-го События выходит несколько работ, то выбирается минимальное значение и записывается в правом секторе i-го события, это и будет поздним сроком свершения i-го события.

Расчет резервов времени на свершение событий. Резерв времени /-го события определяется непосредственно на сетевом графике путем вычитания величины раннего срока свершения i-го события из величины позднего срока свершения i-го

события из величины позднего срока свершения i-го события ( R_i=t^П_i-t^p_i )

Следует отметить, что все события, которые не имеют резервов времени, лежат на критическом пути, однако этого недостаточно, чтобы выделить Лежащие на критическом пути работы. Например, работа (5—7), у которой и ранние, и поздние сроки свершения событий равны, не лежит на критическом пути. Для выделения критических работ необходимо, чтобы

Для работы (5-7) 22 - 12 = 10, t _(5-7) =4, следовательно, работа имеет резерв и поэтому не является критической. Критический путь пошел по работам (0-1) (1-3), (3-5), (5-6), (6-7), (7-8), (8—9) и его длительность составила 30 недель.

2. Методы расчета сети с использованием квадрата и овала, числителя и знаменателя. Сложность предыдущего способа расчета параметров сетевого графика заключается в необходимости вычерчивать новый сетевой график с кружками большого диаметра и делить их на сектора. Для сетей сравнительно больших объемов работ это занимает много времени. Поэтому большим признанием пользуются методы, позволяющие вести расчет на самом графике, не перечерчивая его. К числу таких методов относится расчет по способу квадрата и овала.

На заданном сетевом графике около каждого события вычерчиваются небольшой квадрат и овал (рис. 3.7).

В квадратах записывают наиболее ранние сроки начала выходящих из данного события работ, в овалах — наиболее поздние сроки. Сначала слева направо заполняют все квадраты, затем справа налево — овалы (аналогично правым и левым секторам). Расчет самих параметров сетевого графика производится так же, как в предыдущем способе. Если по окончании расчета обнаружатся попарно квадраты и овалы с одинаковыми числами, это означает, что события, около которых они расположены, относятся к критическим. Для расчета общих ( ) и частных второго вида ( ) резервов времени используют следующие формулы:

Рис 3.7. Сетевой график выполнения ОКР по созданию нового образца телевизора

Иногда взамен квадратов и овалов на сетевом графике наиболее ранние и наиболее поздние сроки изображаются в виде дроби, в числителе которой ставят ранние сроки начала работ, выходящих из данного события, а в заменителе — поздние сроки. Сначала проставляют все числители, а затем -~( знаменатели. У событий, лежащих на критическом пути, числители и знаменатели равны между собой.

3. Метод расчета сети с применением масштабного сетевого графика. Сетевые графики часто выполняются в масштабе времени. В этом случае сначала вычерчивается шкала времени с нанесением на нее рабочих и календарных дней. Затем на этой шкале строится масштабный сетевой график. Работы-стрелки изображаются на графике чаще всего горизонтально, и их длина, считая между центрами событий, соответствует установленной продолжительности работ. При наклонном положении стрелки продолжительность работы отсчитывается по проекции стрелки на ось времени.

При вычерчивании сети за основу принимаются работы наибольшей длительности, которые в конечном счете оказываются критическими или подкритическими. Резервы времени изображаются на графике волнистыми линиями, являющимися продолжением сплошных, и их проекция на шкалу времени показывает величину частного резерва времени работы (рис. 3.8). Если график построен по наиболее ранним срокам свершения событий — это частный резерв времени второго вида (рис. 3.8, а), если по наиболее поздним — это частный резерв времени первого вида (рис. 3.8, б).

При данном способе расчет частных резервов времени отпадает.

Критический путь на графике определяется как непрерывная цепь работ от исходного события до завершающего без резервов времени.

Рассмотрим более подробно частные резервы времени второго вида, так как они наиболее широко используются в практической деятельности. Например, известно, что временная оценка работы (2-7) равна 4 недели, а ранние сроки свершения событий = 6 недель и ( = 22 недели, тогда частный резерв времени второго вида для данной работы составит 12 недель (22-6-4). На графике (рис. 3.8, а) величина этого резерва хорошо прослеживается. Аналогично можно проследить величину частного резерва

времени второго порядка и по всем остальным работам, лежащим на некритическом пути.

Величина этих резервов времени показывает, на сколько может быть увеличена продолжительность выполнения каждой работы, принадлежащей тому или иному пути, или на какую величину может быть передвинуто ее начало. Например, продолжительность выполнения работы (1—5) может быть увеличена на 4 недели или на 4 недели может быть передвинуто ее начало, и это не повлияет на величину критического пути.

Кроме того, величина этих резервов показывает, на какую величину можно сократить продолжительность работ критического пути. Например, работы (5—6) и (6—7) можно сократить на 6 недель, т.е. не больше чем на величину r" (5_7), а работы (1-3) и (3—5) также можно сократить не больше чем на величину r" (4_5). • Сокращение работ критического пути возможно только на величину минимального частного резерва времени второго вида работ, заканчивающихся в событиях критического пути. В противном случае критический путь переместится на другие работы, а продолжительность его может не достигнуть намеченной цели.

Эти качественные стороны параметра являются необходимыми при оптимизации графика как по времени выполнения работ, так и по распределению ресурсов (людских, стоимостных и др.).

На рис. 3.8, б работы связаны с наиболее поздними сроками свершения их событий. Следовательно, резервы времени, которые можно проследить на примере нашего графика, относятся к частным резервам времени первого вида. Их величина отличается от величины частных резервов второго вида.

Например, работа (1-2) имеет резервы =1 неделя, =0, работа (2-7) — =11 недель, а =12 недель.

На наш взгляд, наиболее приемлемым вариантом построения сетевых графиков на шкале времени является тот, в котором события располагаются по их раннему времени выполнения. В этом случае почти все исходные работы не имеют резервов времени, а все завершающие работы, кроме критических, имеют резервы. Эти резервы, как правило, и предотвращают срыв завершающего события.

На практике, особенно при выполнении проектных работ, при ремонтах оборудования, чаще всего пользуются графиками, события которых расположены по их раннему времени наступления.

а)

б)

Рис. 3.8. Сетевой график выполнения ОКР по созданию нового образца телевизора, построенный по наиболее ранним (а), наиболее поздним (6) и допустимым (в) срокам свершения событий (окончание см. на с. 60)

Рис.3.8. Окончание (начало см. на стр. 58-59)

Однако следует отметить, что и первый и второй варианты построения сетевых графиков не всегда удовлетворяют запросы исполнителей из-за отсутствия резервов времени на большом количестве работ (в первом случае резервы отсутствуют у большинства исходных работ, во втором — у большинства завершающих). Чтобы резервами времени обладало большинство работ и располагались эти резервы равномерно по всему сетевому графику, достаточно пересчитать все резервы времени свершения событий и рассчитать несколько новых параметров, в частности:

• допустимый срок свершения i-го события

• допустимый резерв времени на свершение i-го события

• допустимый срок начала (i-j) работы ;

• допустимый срок окончания (i-j) работы

• допустимый резерв времени (i-j) работы

Опыт работы с применением сетевых графиков показывает, что допустимый резерв времени свершения событий, равный 40 % полного резерва, вполне достаточен:

=0.4=0.4( - ) (3.32)

Это равенство применимо для всех событий, кроме критических, для которых всегда равно нулю. Вместе с тем

= - (3.33)

Следовательно

=0.6 +0.4 (3.34)

Соответственно, для значений ; ; получаем

= - (3.35)

= (3.36)

= - - (3.37)

или

= - (3.38)

Расчет визуальной части допустимого резерва времени работ ведется по формуле

= - - (3.39)

Рассчитав эти параметры, сетевой график строят уже по значениям допустимого времени наступления событий (рис. 3.8, в).

В нашем примере наиболее ранние и наиболее поздние сроки свершения событий определены на самом графике (см. рис. 3.6).

Расчет допустимого срока свершения событий ( )

Наиболее ранние начала и ранние окончания работ, а также полный резерв времени работ были представлены в табл. 3.4.

Расчет допустимого резерва времени работ

Расчет визуальной части допустимого резерва времени работ:

Как показывает расчет, значение всех событий, кроме критических, лежит в интервале

< < (3.40)

На данном сетевом графике величина резервов времени работ стала иной, чем на сетевых графиках с расположением событий по раннему и позднему сроку свершения событий. Например, произошло распределение резерва, равного одной неделе, между работами (1—2) и (4—5). Исключением является лишь номинальная величина резервов работ, лежащих между критическими событиями. Таким образом, на сетевом графике визуальный резерв времени получают большинство работ некритической зоны, следовательно, их исполнители могут эффективно использовать эти резервы.

Все вышесказанное подчеркивает очевидные преимущества сетевых графиков, выполненных по значениям допустимого времени наступления событий.

Глава 3. Расчет параметров сетевых графиков

12 3 4 5 Следующая ⇒