Раздел 2. Анализ динамических свойств линейной стационарной системы

Раздел 2. Анализ динамических свойств линейной стационарной системы

Лекция 2.1.Устойчивость движения системы

Понятие устойчивости имеет широкий смысл и распространяется в общем случае на любые системы, а не только на системы управления. Впервые это понятие использовано в механике при оценке устойчивости положения (равновесия) и устойчивости движения.

Устойчивость есть категория, относящаяся к движению системы, определяемому внутренними свойствами системы и ненулевыми начальными условиями (начальными возмущениями), а не внешними воздействиями. Именно поэтому, устойчивость распространяется как на управляемые, так и неуправляемые процессы. Например, к неуправляемым процессам можно отнести процессы небесной механики.

Устойчивость связана с понятиями: невозмущенное движение, возмущенное движение. Невозмущенное движение – движение при отсутствии возмущений.

В теории автоматического управления понятие устойчивость рассматривается в отношении невозмущенного движения системы.

Невозмущенное движение считается устойчивым, если в результате возникновения возмущения и последующего снятия его, возмущенное движение, по истечении некоторого промежутка времени, оказывается в заданной области невозмущенного движения ( рис.)

Устойчивость линейной стационарной системы

Устойчивость движения линейной стационарной системы управления оценивается по характеру развития собственного (свободного от воздействий) движения системы, инициированного ненулевыми начальными условиями (часто их называют - начальными возмущениями). Если система линейна, то данное движения не зависит от величины начальных отклонений переменных (в отличие от нелинейной системы) и поэтому понятие " устойчивость движения" можно заменить равноценным понятием " устойчивость системы".

Движение линейной стационарной системы полностью описывается дифференциальным уравнением, решение которого содержит две составляющие: общее решение однородного уравнения и решение, определяемое правой частью уравнения при нулевых начальных условиях. Таким образом, именно общее решение определяет движение системы, порожденное ненулевыми начальными условиями (свободное движение) и, следовательно, определяет устойчивость системы. Вторая составляющая полного решения уравнения определяет вынужденное движение системы.

При оценке устойчивости линейной системы используют понятия: асимптотически устойчивая система, неустойчивая система, нейтрально-устойчивая система (на границе устойчивости), нейтральная система (устойчивая не асимптотически).

Рассмотрим эти понятия.

Система называется асимптотически устойчивой, если свободное движение со временем полностью прекращается (затухает).

Если сводное движение неограниченно развивается (либо монотонное изменение переменных, либо возрастание их амплитуды при колебательном процессе), то такая система неустойчива.

Система называется нейтрально-устойчивой, если свободное движение представляет незатухающие колебания с постоянной амплитудой. Заметим, что такое состояние в реальной линейной системе длительно существовать не может. Малейшие изменения параметров делают систему либо устойчивой, либо неустойчивой.

В случае нейтральной системы уравнение точно определяет затухание производной (производных)выходной переменной, а изменение самих переменных определяется начальными условиями ( система с нулевыми полюсами в передаточной функции).

В том случае, если ПФ не вырождена (не сокращены нули и полюса), об устойчивости системы можно судить по характеру изменения весовой и переходной функций.

Критерии устойчивости.

Критерии устойчивости - это правила, позволяющие оценить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Наличие таких правил существенно упрощает анализ устойчивости линейных систем. Различают две группы критериев: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии основаны на связи коэффициентов характеристического уравнения системы с его корнями.

Большую роль в решении этой задачи имеют работы швейцарских математиков Рауса Е.Д (1877 г.) и Гурвица (1882 г.), посвященные поиску условий существования отрицательности корней характеристического уравнениями, определяющих устойчивость решения дифференциального уравнения. С их именами связаны названия алгебраических критериев устойчивости линейной системы.

Для систем регулирования небольшого порядка (не более пятого) применяется алгебраический критерий Гурвица. Критерий Рауса в основном используется для систем высокого порядка, его алгоритм удобен для применения ЭВМ.

При анализе устойчивости систем управления на основе частотного метода (применение АФЧХ) основополагающими являются работы Найквиста (1932 г.), Михайлова А.В.(1936 г. Первое применение ЛЧХ для решения задач устойчивости связано с именами Боде, Никольса (1949-1951 г).

Общие критерии устойчивости нелинейных систем (вторая метода Ляпунова А.М) разработаны Ляпуновым А.М.(серия публикаций в 1892 г). Систематическое изложение теории появилось в 1935 г.(" Общая задача устойчивости движения".)

Большое значение для развития теории имели работы Жуковского Н.В.( статья в " Ученых записках Московского Университета" - " О прочности движения" )..В теории устойчивости нелинейных систем важны работы Крылова Н.М. Боголюбова (1932 г) посвященные устойчивости продольного движения аэроплана.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты от нуля до бесконечности, дополненная на участке разрыва дугой бесконечно-большого радиуса, не охватывала точку с координатами (-1, j0).

Дополнение дугой бесконечно-большого радиуса осуществляется по часовой стрелке от направления положительной вещественной полуоси на угол, определяемый произведением 90 градусов на число нулевых полюсов разомкнутой системы.

Для примера, рассмотрим наиболее типичный случай реальной системы с одним нулевым полюсом. АФЧХ разомкнутой системы приведена на Рис. Соответствующие ей ЛАЧХ и ФЧХ показаны на Рис.

На Рис. и Рис. показаны примеры устойчивой замкнутой системы при наличии двух и трех нулевых полюсов в ПФ разомкнутой системы.

Рассмотрим случай нейтрально-устойчивой разомкнутой системы (реально соответствует разомкнутой системе, содержащей звенья с очень малым демпфированием).

Пусть ПФ разомкнутой системы содержит пару мнимых полюсов. АФЧХ такой разомкнутой системы имеет разрыв, так как включает консервативное звено. Для использования критерия в известном виде, необходимо ликвидировать разрыв годографа, замкнув его дугой бесконечно-большого радиуса. Пример показан на Рис..для ПФ разомкнутой системы, имеющей вид:

При наличии нулевых полюсов в ПФ разомкнутой системы, разрывы АФЧХ при нулевой частоте ликвидируются с помощью дуги бесконечно-большого радиуса, проводимой от положительного направления действительной оси на число квадрантов, равное числу нулевых полюсов по часовой стрелке.

На Рис. показаны ЛАХ и АФЧХ характеристики разомкнутой условно-устойчивой системы, имеющей нулевой полюс. Дополнение дугой радиуса равного бесконечности дает сумму переходов равную нулю. Система с такой характеристикой устойчива. Это подтверждается формулировкой критерия для второго варианта.

На Рис. показаны характеристики устойчивой разомкнутой системы, содержащей слабодемпфированное звено. Система неустойчива.

На Рис. показаны характеристики разомкнутой системы, содержащей три нулевые полюса. Дополнение дугой радиуса равного бесконечности приводит к появлению еще одного перехода противоположного знака. Система устойчива.

Запасы по фазе и модулю

Запасы по фазе определяется величинами углов, отсчитываемых от отрицательного направления действительной оси до направлений радиусов-векторов, проходящих через ближайшие точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Запас по фазе обозначается символом -" ".

Запасы по модулю определяется длинами отрезков действительной оси от точки с координатами -1, j0 до ближайших точек АФЧХ лежащих на этой оси. Запас по модулю обозначается символом - " "

На Рис.. показана такая АФЧХ разомкнутой системы, для которой оценить запасы устойчивости можно одним значением запаса по фазе и одним значением запаса по модулю.

На Рис. приведена АФЧХ условно -устойчивая системы со слабодемпфированным звеном, в которой для определения запаса устойчивости требуются две оценки запаса по фазе и две оценки запаса по модулю.

При переход к ЛЧХ оценка запаса по модулю " " заменяется на оценку " ". Эту величину часто называют запасом по амплитуде. Оценки запасов устойчивости в координатах ЛЧХ для обоих примеров показаны соответственно на Рис. и Рис.

Достаточными считаются запасы устойчивости, оцениваемые значениями оценок ЛЧХ:

- запас по фазе - от 30 до 60 градусов;

- запас по амплитуде ( )-от -6 до-20 дБ.

Показатель колебательности

Как показано выше, при усложнении вида АФЧХ возникают определенные неудобства задания запаса устойчивости, вызванные большим количеством его оценок. Исправить этот недостаток позволяет переход к определению запаса устойчивости с помощью такого показателя, который одним своим значением позволяет определить границы запретной области АФЧХ разомкнутой системы. Такой интегрированный показатель носит название - показатель колебательности.

Показатель колебательности обозначается символом " M".

Данный показатель количественно определяется по АЧХ замкнутой системы (приведенной к структуре следящей системы) и равен максимальному значению этой характеристики. Рис.. При использовании ЛАХ он вычисляется по формуле:

М=

где

а - максимальное значение ЛАХ замкнутой системы в децибеллах.

При М=1, колебательный процесс исчезает, переходная функция имеет апериодический характер. Значение характеризует колебательные свойства системы. Переходная функция системы, у которой показатель колебательности больше единицы имеет вид Рис..

Такая переходная функция всегда имеет перерегулирование. Оно оцениваетсявыражением:

Таким образом, между перерегулированием и показателем колебательности существует соответствие. Такое соответствие оценивается следующими соотношениями:

М=1.1-1.2 -

М=1.3-1.5 30-40%

М=1.7-2 50%-55%

Связь показателя колебательности с частотными характеристиками разомкнутой системы.

Выявление такой связи представляет интерес при проектировании системы.

Выполним следующие построения:

-изобразим АЧХ замкнутой системы;

-проведем семейство прямых параллельных оси частот с уровнями M .

Используем следующий методический прием. Будем рассматривать данные прямые в качестве характеристик некоторых гипотетических замкнутых систем, имеющих бесконечную полосу пропускания и нулевой сдвиг по фазе Рис..

Построим, АФЧХ таких гипотетических систем в разомкнутом состоянии, рассматривая их как следящие системы.

Для этого используем формулу связи частотных характеристик разомкнутой и замкнутой следящей системы:

Для замкнутой системы с постоянным значением модуля и нулевым сдвигом по фазе справедливо выражение:

М= =

где

U и V являются функциями частоты.

Данная зависимость между функциями U и преобразуется к виду:

Вводя обозначения:

С= ; R =

Получаем уравнение связи функций U и V в виде смещенной окружности:

Параметр смещения окружности и величина ее радиуса зависит от значения варьируемой постоянной М, Рис..

В координатах АФЧХ разомкнутой системы, данная окружность разделяет две области возможных значений, соответствующих на графике АЧХ замкнутой системы областям лежащим выше прямой М и ниже ее. Внешняя область от окружности соответствует значениям меньшим М , а внутренняя область значениям большим М

С уменьшением М внутренняя область расширяется и величина смещения центра растет. В пределе, при М=1, окружность вырождается в прямую линию, параллельную мнимой оси.

Пусть некоторый уровень М , равен максимальному значения АЧХ замкнутой реальной системы (ее показатель колебательности). Тогда соответствующая окружность в координатах АФЧХ разомкнутой системы, будет иметь только одну общую точку с АФЧХ реальной системы. Если АЧХ реальной системы зайдет во внутреннюю область рассматриваемой окружности, то ей будет соответствовать больший показатель колебательности (окружность с меньшим радиусом).

В зависимости от наклонов асимптот желаемой ЛАХ разомкнутой системы слева и справа от диапазона средних частот запретной области параметры границы данной асимптоты и ее положение может быть различными.

Так, если ближайшие асимптоты(слева и справа) имеют одинаковые наклоны -2, то наиболее точная апроксимация запретной области обеспечивается при расположении частоты среза желаемой ЛАХ посередине единичной асимптоты. Тогда, параметры желаемой ЛАХ разомкнутой системы, в области средних частот, можно оценить соотношением:

h = ;

где

h- диапазон частот единичной асимптоты в окрестности частоты среза.

lg h- значение этого диапазона частот в долях декады.

В том случае, если ближайшая слева асимптота имеет наклон -3, а ближайшая справа -2, (условно-устойчивая система)то частота среза желаемой ЛАХ располагается несимметрично, а длина участка с наклоном -1, определяется соотношением:

h = .

При этом, низкочастотная граница асимптоты с наклоном -1 расположена относительно частоты среза на расстоянии (в долях декады) от частоты среза.

Получены соотношения, используемые при расчете параметров желаемой ЛАХ разомкнутой системы по требованию к показателю колебательности.

Структурный признак

Структурный способ определения порядка астатизма состоит в определении количества интегрирующих звеньев, расположенных в тракте передачи сигнала от координаты ошибки до рассматриваемого воздействия.

Выводы

1.Сравнение ЛАХ ошибки в рассмотренных примерах систем, показывает, что повышение порядка астатизма приводит к расширению всей низкочастотной области усиления ЛАХ разомкнутой системы, что увеличивает точность в установившемся движении, для воздействия произвольного вида, спектр которого ограничен этим частотным диапазоном.

2. Повышение порядка астатизма находится в конфликте с качеством динамики переходного движения.

Возможность разрешения конфликта – в применении ограниченного дополнительного интегрирования, повышающего порядок астатизма, при сохранении параметров желаемой ЛАХ разомкнутой системы в области средних частот (например, Рис.). Такое решение реализуется с помощью, так называемых « изодромных» блоков, построенных по схеме, показанной на рис. Выходные сигналы таких блоков содержат сумму «взвешенных» выходных сигналов: интегрирующего и пропорционального звена. Вариацией «весовых коэффициентов» этих составляющих добиваются необходимого компромиссного решения между динамической точностью установившегося движения и качеством переходного процесса.

3. Если в канале системы между ошибкой и воздействием имеется несколько воздействий, то для повышения астатизма относительно всех воздействий, такие дополнительные интегрирующие блоки необходимо вводить в структуру системы как можно ближе к источнику сигнала ошибки ( Рис.).

В том случае, если произвольное воздействие, согласно принятому определению, является медленно-изменяющимся, то вынужденную установившуюся ошибку системы, вызванную данным воздействием можно приближенно описать с помощью разложения в ряд.

Данное описание динамической ошибки следует из разложения в ряд передаточной функции ошибки в окрестности нуля ( при " s" ):

При этом изображение динамической ошибки также представляется в виде ряда:

Переходя к оригиналу, получаем:

Коэффициенты разложения в ряд установившейся ошибки системы называют коэффициентами ошибки. Необходимым условием такого описания установившейся ошибки является сходимость ряда ошибки, что соответствует условию достаточной медленности воздействия.

Рассматриваемое описание установившейся ошибки справедливо и для ряда произвольных воздействий, приложенных к системе, если их спектр " перекрывается" диапазоном " рабочих" частот контура системы, охватывающего их.

Для решения практических задач расчета при проектировании системы, важен не только факт сходимости ряда ошибки, но и быстрота его сходимости!

Сравнивая результаты для систем с различными типами ЛАХ разомкнутой системы замечаем, что с ростом «области усиления» ЛАХ ( область низких частот) скорость уменьшения коэффициентов ряда установившейся ошибки уменьшается и для ее оценки, при выполнении условия достаточности полосы пропускания, требуется большее количество слагаемых.

Назовем старшими коэффициентами ошибки те коэффициенты, скорость уменьшения которых зависит от частоты среза разомкнутой системы (либо непосредственно, либо косвенно - через частоту первого положительного излома ЛАХ). Остальные коэффициенты ошибки назовем младшими.

При проектировании системы быстрота сходимости ряда ошибки является существенной, так как позволяет, используя усеченный ряд ошибки, решить задачу расчета желаемых параметров характеристик системы. Быстрота сходимости ряда ошибки зависит не только от значения частоты среза, от близости частоты среза разомкнутой системы и максимальной частоты спектра воздействия. Это позволяет ввести понятие достаточности полосы пропускания контура ( по условию ограничения ряда ошибки).

Частоту среза разомкнутого контура системы будем считать достаточной (в смысле ее минимально-возможного значения), если установившаяся ошибка может быть с допустимой точностью оценки представлена ограниченным количеством членов ряда, определяемым с помощью нескольких первых (младших). коэффициентов ошибки.

Данное условие, как будет показано в дальнейшем, можно использовать в качестве первого шага при расчете минимально - необходимого значения частоты среза желаемой ЛАХ системы.

При использовании ЛАХ типа 1.1.1 при выполненииуказанного условия, установившаяся ошибка системы оценивается выражением:

При использовании ЛАХ типа 1.2.1:

При использовании ЛАХ типа 1.3.1:

Раздел 2. Анализ динамических свойств линейной стационарной системы

12 3 4 5 6 Следующая ⇒