Частотный критерий устойчивости Найквиста и его частные случаи

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

В 1932 году появилась работа американского инженера Найквиста, посвященная исследованию устойчивости операционных ламповых усилителей, где применен рассматриваемый критерий устойчивости.

Достоинства критерия:

- простота и наглядность оценки близости системы к границе устойчивости, связанная с тем, что решение получается на основе анализа частотной характеристики разомкнутой системы;

- удобство для синтеза, так как параметры ЧХ разомкнутой системы непосредственно связаны с параметрами динамики элементов системы, что позволяет быстро (при использовании ЛЧХ) оценить их влияние на устойчивость, и спроектировать регулятор, изменяющий эти параметры;

- оценка устойчивости малочувствительна к увеличению порядка уравнения системы.

Практическое применение критерия связывают с характером свободного движения разомкнутой системы (устойчивостью разомкнутой системы). При этом рассматривают три вида такой оценки (три случая):

1. Разомкнутая система устойчива (наиболее часто встречающийся случай);

2.Разомккнтая система нейтральна и нейтрально-устойчива;

3.Разомкнутая система неустойчива.

Первые два случая имеют наибольшее распространение

Оценка устойчивости в последнем случае дает обобщенное решение.

Рассмотрим первый случай применения критерия.

Поскольку разомкнутая система устойчива, то, следовательно, ее ПФ содержит только " левые" полюса. Если знаменатель ПФ разомкнутой системы содержит полином выше второго порядка (случай нулевых полюсов не рассматривается в этом варианте), то необходимо определить корни характеристического уравнения и убедится в том, что они " левые". В большинстве реальных систем этого делать не приходится, так как ПФ прямого тракта контура обычно получается как произведение простейших динамических звеньев не выше второго порядка.

Критерий формулируется в виде:

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности, не охватывала точку с координатами (-1, j0 ).

Докажем это на примере следящей системы

Пусть ПФ разомкнутой системы имеет вид:

где

полиномы аргумента «s».

характеристический полином разомкнутой системы.

Порядок характеристического полинома больше (или равен) порядку полинома числителя (что соответствует условию физически реальной системы).

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Рассмотрим аналитическую функцию , у которой в числителе находится характеристический полином замкнутой системы, а в знаменателе характеристический полином разомкнутой системы, имеющие одинаковый порядок. Определим изменение аргумента комплексной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности, приняв исходное условие критерия – разомкнутая и замкнутая системы устойчивы. Условие устойчивости требует, чтобы все корни полиномов содержали отрицательные действительные части. В этом случае полный угол поворота радиуса – вектора каждого полинома при изменении частоты от нуля до бесконечности равен числу корней умноженных на Так, как полиномы имеют одинаковый порядок то суммарный угол поворота радиуса-вектора функции должен быть равен нулю. Это возможно, если годограф этой функции не охватывает начало координат. Если от рассматриваемой функции перейти к функции , то выполнение полученного условия соответствует требованию «не охвата» точки с координатами .

На Рис. показан вид АФЧХ разомкнутой системы, при котором замкнутая система устойчива.

ЛАЧХ этой системы приведены на Рис. Они показывают, что в такой системе для устойчивости необходимо, чтобы в том диапазоне частот, где ЛАХW лежит выше оси частот, фазовая характеристика не должна располагаться ниже -180 градусов.

Очевидно, граничным условием устойчивости в этом случае будет пересечение ЛАХW оси частот в точке, где ФЧХ пересекает уровень -180 градусов. При этом модуль замкнутой системы равен бесконечности (неограниченный резонансный всплеск), указывающий на появление консервативного звена в ПФ замкнутой системы:

В отношении чувствительности линейной системы к изменению коэффициента передачи разомкнутой системы различают понятия: абсолютно устойчивая система, условно-устойчивая система. Понятие абсолютно устойчивой системы не следует путать с аналогичным названием для оценки устойчивости нелинейной системы при больших начальных отклонениях. Иллюстрация данных понятий приведена на Рис.

Как видно, абсолютно-устойчивая система устойчива при любых отклонениях коэффициента передачи (кроме значения равного бесконечности, при котором она находится на границе устойчивости).

Условно-устойчивая система устойчива только при значениях коэффициента передачи заключенных в некотором диапазоне.

Лекция 2.2 Частотный критерий Найквиста (разомкнутая система нейтральна, разомкнутая система неустойчива).

Пусть разомкнутая система нейтральна. ПФ разомкнутой системы в этом случае содержит некоторое количество нулевых полюсов, а все остальные полюса являются " левыми ". АФЧХ такой системы имеет разрыв при нулевой частоте

В этом случае критерий устойчивости формулируется так:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты от нуля до бесконечности, дополненная на участке разрыва дугой бесконечно-большого радиуса, не охватывала точку с координатами (-1, j0).

Дополнение дугой бесконечно-большого радиуса осуществляется по часовой стрелке от направления положительной вещественной полуоси на угол, определяемый произведением 90 градусов на число нулевых полюсов разомкнутой системы.

Для примера, рассмотрим наиболее типичный случай реальной системы с одним нулевым полюсом. АФЧХ разомкнутой системы приведена на Рис. Соответствующие ей ЛАЧХ и ФЧХ показаны на Рис.

На Рис. и Рис. показаны примеры устойчивой замкнутой системы при наличии двух и трех нулевых полюсов в ПФ разомкнутой системы.

Рассмотрим случай нейтрально-устойчивой разомкнутой системы (реально соответствует разомкнутой системе, содержащей звенья с очень малым демпфированием).

Пусть ПФ разомкнутой системы содержит пару мнимых полюсов. АФЧХ такой разомкнутой системы имеет разрыв, так как включает консервативное звено. Для использования критерия в известном виде, необходимо ликвидировать разрыв годографа, замкнув его дугой бесконечно-большого радиуса. Пример показан на Рис..для ПФ разомкнутой системы, имеющей вид:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒