Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов равнялась нулю.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

При этом переходы подсчитываются на одном уровне ФЧХ, равном -180 градусов и в диапазонах частот, где ЛАХ лежит выше оси частот.

При наличии нулевых полюсов в ПФ разомкнутой системы, разрывы АФЧХ при нулевой частоте ликвидируются с помощью дуги бесконечно-большого радиуса, проводимой от положительного направления действительной оси на число квадрантов, равное числу нулевых полюсов по часовой стрелке.

На Рис. показаны ЛАХ и АФЧХ характеристики разомкнутой условно-устойчивой системы, имеющей нулевой полюс. Дополнение дугой радиуса равного бесконечности дает сумму переходов равную нулю. Система с такой характеристикой устойчива. Это подтверждается формулировкой критерия для второго варианта.

На Рис. показаны характеристики устойчивой разомкнутой системы, содержащей слабодемпфированное звено. Система неустойчива.

На Рис. показаны характеристики разомкнутой системы, содержащей три нулевые полюса. Дополнение дугой радиуса равного бесконечности приводит к появлению еще одного перехода противоположного знака. Система устойчива.

Лекция 2.3. Запас устойчивости и его показатели

Появление данного понятия вызвано следующими соображениями:

1. При разработке систем управления вопрос об устойчивости системы имеет практический смысл только при наличии достаточной гарантии сохранения устойчивостив процессе ее эксплуатации.

2. Близость системы к границе устойчивости, непосредственно влияет нахарактер и время затухания переходного процесса.

Удовлетворить данным требования позволяет выбор границ окрестности точки с координатами (-1, j0), в которую годограф (АФЧХ)_ разомкнутой системы не должен заходить (является запретной для АФЧХ). Такую запретную область связывают с понятием - запас устойчивости.

Границы этой области можно оценивать с помощью различных показателей. Рассмотрим эти показатели.

Запасы по фазе и модулю

Запасы по фазе определяется величинами углов, отсчитываемых от отрицательного направления действительной оси до направлений радиусов-векторов, проходящих через ближайшие точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Запас по фазе обозначается символом -" ".

Запасы по модулю определяется длинами отрезков действительной оси от точки с координатами -1, j0 до ближайших точек АФЧХ лежащих на этой оси. Запас по модулю обозначается символом - " "

На Рис.. показана такая АФЧХ разомкнутой системы, для которой оценить запасы устойчивости можно одним значением запаса по фазе и одним значением запаса по модулю.

На Рис. приведена АФЧХ условно -устойчивая системы со слабодемпфированным звеном, в которой для определения запаса устойчивости требуются две оценки запаса по фазе и две оценки запаса по модулю.

При переход к ЛЧХ оценка запаса по модулю " " заменяется на оценку " ". Эту величину часто называют запасом по амплитуде. Оценки запасов устойчивости в координатах ЛЧХ для обоих примеров показаны соответственно на Рис. и Рис.

Достаточными считаются запасы устойчивости, оцениваемые значениями оценок ЛЧХ:

- запас по фазе - от 30 до 60 градусов;

- запас по амплитуде ( )-от -6 до-20 дБ.

Показатель колебательности

Как показано выше, при усложнении вида АФЧХ возникают определенные неудобства задания запаса устойчивости, вызванные большим количеством его оценок. Исправить этот недостаток позволяет переход к определению запаса устойчивости с помощью такого показателя, который одним своим значением позволяет определить границы запретной области АФЧХ разомкнутой системы. Такой интегрированный показатель носит название - показатель колебательности.

Показатель колебательности обозначается символом " M".

Данный показатель количественно определяется по АЧХ замкнутой системы (приведенной к структуре следящей системы) и равен максимальному значению этой характеристики. Рис.. При использовании ЛАХ он вычисляется по формуле:

М=

где

а - максимальное значение ЛАХ замкнутой системы в децибеллах.

При М=1, колебательный процесс исчезает, переходная функция имеет апериодический характер. Значение характеризует колебательные свойства системы. Переходная функция системы, у которой показатель колебательности больше единицы имеет вид Рис..

Такая переходная функция всегда имеет перерегулирование. Оно оцениваетсявыражением:

Таким образом, между перерегулированием и показателем колебательности существует соответствие. Такое соответствие оценивается следующими соотношениями:

М=1.1-1.2 -

М=1.3-1.5 30-40%

М=1.7-2 50%-55%

Связь показателя колебательности с частотными характеристиками разомкнутой системы.

Выявление такой связи представляет интерес при проектировании системы.

Выполним следующие построения:

-изобразим АЧХ замкнутой системы;

-проведем семейство прямых параллельных оси частот с уровнями M .

Используем следующий методический прием. Будем рассматривать данные прямые в качестве характеристик некоторых гипотетических замкнутых систем, имеющих бесконечную полосу пропускания и нулевой сдвиг по фазе Рис..

Построим, АФЧХ таких гипотетических систем в разомкнутом состоянии, рассматривая их как следящие системы.

Для этого используем формулу связи частотных характеристик разомкнутой и замкнутой следящей системы:

Для замкнутой системы с постоянным значением модуля и нулевым сдвигом по фазе справедливо выражение:

М= =

где

U и V являются функциями частоты.

Данная зависимость между функциями U и преобразуется к виду:

Вводя обозначения:

С= ; R =

Получаем уравнение связи функций U и V в виде смещенной окружности:

Параметр смещения окружности и величина ее радиуса зависит от значения варьируемой постоянной М, Рис..

В координатах АФЧХ разомкнутой системы, данная окружность разделяет две области возможных значений, соответствующих на графике АЧХ замкнутой системы областям лежащим выше прямой М и ниже ее. Внешняя область от окружности соответствует значениям меньшим М , а внутренняя область значениям большим М

С уменьшением М внутренняя область расширяется и величина смещения центра растет. В пределе, при М=1, окружность вырождается в прямую линию, параллельную мнимой оси.

Пусть некоторый уровень М , равен максимальному значения АЧХ замкнутой реальной системы (ее показатель колебательности). Тогда соответствующая окружность в координатах АФЧХ разомкнутой системы, будет иметь только одну общую точку с АФЧХ реальной системы. Если АЧХ реальной системы зайдет во внутреннюю область рассматриваемой окружности, то ей будет соответствовать больший показатель колебательности (окружность с меньшим радиусом).

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒