ПЕРЕВОД ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Пусть известна запись числа А в системе счисления p.

(переписать понятие Аp формулой в тетради)

A_p=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₀+a_-1p^-1+…+a_-mp^-m

Требуется найти запись этого же числа в системе счисления с основанием t.

Ограничимся случаем положительных чисел, так как перевод любого числа сводится к переводу его модуля и приписыванию числу нового знака. При переводе из p-чной в d-чную нужно учитывать, средствами какой арифметики будет осуществлен перевод, то есть в какой системе счисления (p или d –чной) должны быть выполнены все необходимые для перевода операции.

Пусть этот перевод осуществляется средствами d-чной арифметики. Тогда перевод А_p в А_d выполняется по правилу замещения, которое предусматривает вычисление полинома для p-ичной системы в d-ичной системе счисления. То есть, для получения d-ичного изображения п-ичного полинома необходимо все цифры a_i и число p заменить d-ичными изображениями и выполнить арифметические операции в d-ичной системе счисления. Чаще всего правило замещения используют для преобразования чисел из любой системы счисления в десятичную.

Конкретизируем это правило. Перевод в десятичную систему числа А, записанного в p-ичной системе счисления сводится к вычислению многочлена средствами десятичной арифметики. При переводе следует придерживаться правила сохранения точности изображения числа в разных системах счисления. Здесь под точностью понимается значение единицы самого младшего разряда, который используется в записи числа. Для перевода А_p в А_d средствами p-чной арифметики используется правило деления для целой части и умножения для дробной.

Перевод целых чисел

A_р=a_npⁿ+…+a₀

А_d=b_ndⁿ+…+b₀

Так как А_p = А_d, то можно записать:

A_р =b_ndⁿ+…+b₀

Нам необходимо найти цифры b_i в d –чной системе счисления. Для определения b₀ разделим равенство на b, причем в левой части выражения пользуемся правилами p-чной арифметики, так как запись числа Аp в p-чной системе известно. Выделим целую и дробную часть от деления

A_p / d = {A_p / d}_цел+ {A_p / d}_дроб

Дробная часть равна

{A_p / d}_дроб = остаток / d

Перепишем правую часть выражения следующим образом

A_p = b_nd^n-1+ b_n-1d^n-2+ … + b₀/ d

Отсюда видно, что остаток от деления будет равен

остаток / d = b₀ / d b₀ является остатком от деления.

Обозначим {А_p/d}_цел = А_р^*, которое будет равно A_p^* = b_ndⁿ^-2+ b_n_-1dⁿ^-3+ … + b₁/ d

и применим к этому выражению ту же самую процедуру, в результате чего найдем b₁, и так далее. Этот процесс продолжается до тех пор, пока целая часть от деления не станет равной нулю.

{A_pⁱ}_цел = 0

Так как все операции осуществляются в системе счисления с основанием p, то в этой же системе будут получены искомые коэффициенты b_i_,поэтому и необходимо записать в d-чной системе счисления.

Правило деления чаще всего используется для перевода целых чисел из десятичной в любую другую систему счисления.

Еще раз сформулируем это правило: Для перевода целого числа А_p из p-чной в d-чную систему необходимо разделить А_p нацело или с остатком на число d, записанное в той же системе счисления. Затем с неполным частным выполняется та же операция и так далее, пока последнее неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа А_p в d-чной системе будет последовательность остатков от деления, изображенных d-чной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Пример:

75₁₀ {? }₁₆

75/16=4(11) 4/16=0(4) 75₁₀=4B₁₆

Перевод правильных дробей

В этом случае выражение для А_p и А_d будут выглядеть:

A_p= a_-1p^-1 + a_-2p^-2 + … + a_-mp^-m

A_d= b_-1d^-1 + b_-2d^-2 + … + b_-_md^-^m

где a_i и b_i – цифры p-чной и d-чной систем.

Приравняем выражения. A_d = A_p = b_-1d^-1 + b_-2d^-2 + … + b_-_md^-^m

Для определения b_-1 умножим обе части равенства на число d, при этом в левой части пользуемся p-чной арифметикой. A_p*d

Выделим в А_p*d целую и дробную часть. Учитывая, что b_i меньше или равна d-1 и больше или равна 0, приравняем между собой целые и дробные части. В результате чего получим:

{A_p*d}_цел= b_-1

К оставшейся правой дробной части применим тот же алгоритм, в результате него найдем b_-2, и так далее, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в d-чной системе счисления.

Так как все операции выполняются в p-чной системе, то в этой же системе будут найдены коэффициенты b_i, поэтому их необходимо будет записать d-чной цифрой. Чаще всего это правило используется для преобразования правильных дробей из десятичной в любую другую СС. Таким образом, представление дробной части числа А_p в d-чной системе будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных d-чной цифрой. Если требуемая точность перевода числа А_p составляет j знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность равняется выражению 3)

Пример.

Перевести 0.2 в двоичную систему счисления.

0.2*2=0.4 (0)

0.4*2=0.8 (0)

0.8*2=1.6 (1)

0.6*2=1.2 (1)

И так далее.

Если десятичная дробь является точным числом, то в результате перевода в двоичную систему получаем периодическую дробь. (0.0011)₂ здесь в скобках указан период дроби.

Перевести 0.36 в 8-чную.

0.36*8=2.88 (2)

0.88*8=7.04 (7)

0.04*8=0.32 (0)

А₈=0.270 с заданной точностью.

Особое внимание заслуживает случай перевода из p-чной в d-чную, когда основание связаны равенством p=d^k, где к – положительное число.

Правила перевода:

В исходной d-чной записи числа переводим из d-чной в p-чную, разряды объединяются вправо и влево от точки в группы длиной k. Если нужно левее старшей и правее младшей значащих цифр добавляем нужное кол-во нулей. И каждая группа записывается одной p-чной цифрой.

Обратный перевод из p в d: каждая цифра из p-чной заменяется ее d-чным изображением.

(01 21 21 12)₄ = 1996₁₆

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒