Формулы численного интегрирования. Формула Симпсона. Правило Рунге.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Метод парабол (Симпсона).

Интервал разделим на отрезков. Группируя узлы тройками , на каждом отрезке интерполируемфункцию полиномом 2-й степени

По формуле Лагранжа:

Интегрируя на отрезке , получим:

Суммируяформулу по всем отрезкам, получаем формулу для приближенного интегрирования:

Программа вычисления интеграла методом парабол (Симпсона):

в программе заменить отмеченные строки на следующие:

1 s = s + (f(x) + 4*f(x + h) + f(x + 2*h))*h/3

x = x + 2*h

Правило Рунге (Оценка точности вычисления определенного интеграла).

Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов , равном , определяется по формуле Рунге:

-значения интеграла при числе шагов, равном

- порядок точности, равный для формулы левых (правых) прямоугольников, 2 для формулы трапеций и 4 для формулы Симпсона.

Таким образом, интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) для последовательных значений числа шагов , , , и т.д. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие , где ε ‑ заданная точность.

Пример 5.1. Вычислить определенный интеграл методами прямоугольников, трапеций и парабол:

Решение. Выберем на отрезке интегрирования различных узлов

Шаг разбиения для равноотстоящих узлов определяем по формуле

Сравнивая формулы, обратим внимание, что определенный интеграл приближенно можно вычислять по формуле

где - числовые коэффициенты, на которые умножаются значения функции в узлах :

- для метода левых прямоугольников;

- для метода правых прямоугольников;

- для метода трапеций;

- для метода парабол

Вычислим значения функции в узлах (табл. 5.3).

		0, 125	0, 25	0, 375	0, 5	0, 625	0, 75	0, 875
	1, 000	1, 016	1, 061	1, 132	1, 225	1, 335	1, 458	1, 591	1, 732

Таблица 5.3

Вычислим интеграл:

По формуле левых прямоугольников

По формуле правых прямоугольников

По формуле трапеций

По формуле парабол

Численное дифференцирование

Дифференциальными называются уравнения, в которых неизвестными являются функции, которые входят в уравнения вместе со своими производными.

Если в уравнение входит неизвестная функция только одной переменной, уравнение называется обыкновенным. Если нескольких – уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Решить дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию , подстановка которой в уравнение обращала бы его в тождество.

Чтобы из уравнения -го порядка получить функцию, необходимо выполнить интегрирований, что дает произвольных постоянных.

Общее решение - решение, выражающее функцию в явном виде.

Частным решение - общее решение, для которого указаны конкретные значения произвольных постоянных. Для определения произвольных постоянных необходимо задать столько условий, сколько постоянных, т.е. каков порядок уравнения. Эти условия обычно включают задание значений функции и ее производных в определенной точке, их называют начальными условиями,

или значений функции в нескольких точках, т.е. краевых условий.

Задача Коши - Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Краевая задача - Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданных краевых условиях.

Метод конечных разностей. Включает следующие этапы

1) Замена области непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек, называемых узлами сетки;

2) Аппроксимация производных в узлах конечно-разностными аналогами;

3) Аппроксимация дифференциального уравнения системой линейных или нелинейных разностных уравнений;

4) Решение полученной системы разностных уравнений.

Разностные методы позволяют находить только частное решение. Результат численного решения дифференциального уравнения представляется в виде таблицы . Аналитический вид решения может быть получен аппроксимацией.

55) Математические системы. Mathcad.

Mathcad – это многофункциональная интерактивная вычислительная система для аналитического и численного решения разнообразных математических задач и документирования результатов работы. Она включает следующие функциональные компоненты.

Компоненты Mathcad

1. Текстовый редактор для ввода и редактирования текста и формул.

2. Вычислительный процессор для быстрых расчетов согласно введеным формулам.

3. Символьный процессор для символьных вычислений и получения аналитического результата.

4. Редактор графиков для построения двумерных и трехмерных графиков

различных типов.

5. Основные и математические панели инструментов.

Документ программы Mathcad называется рабочим листом. Он содержит объекты:

формулы и текстовые блоки. В ходе расчетов формулы обрабатываются последовательно, слева направо и сверху вниз, а текстовые блоки игнорируются.

Ввод информации осуществляется в месте расположения курсора. Программа

Mathcad использует три вида курсоров. Если ни один объект не выбран, используется

крестообразный курсор определяющий место создания следующего объекта.

При вводе формул используется уголковый курсору указывающий текущий элемент

выражения. При вводе данных в текстовый блок применяется текстовый курсор в

виде вертикальной черты.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒