Метод простой интерации и Зейделя для решения систем нелинейных уравнений

Метод Зейделя

Выберем начальное приближение

Интерацию будем проводить по след формулам

Достаточное условие сходимости и условие остановки метода Зейделя полностью совпадают с аналогичным условиями метода Якоби

Метод простой итерации

1) Нелинейное уравнение необходимо привести к виду .

2) Принять функцию , где N ‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации .

3) Определить N:

или .

4) Начальное приближение корня , подставляя в правую часть уравнения , получаем новое приближение.

5) Далее подставляя каждый раз новое значение корня получаем последовательность значений.

6) Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е..

Геометрическая интерпретация метода простой итерации.Построим графики функций и . Корнем уравнения является абсцисса пересечения кривой с прямой Взяв в качестве начальной точки , строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня .

Function F(X)

F = X ^ 3...

End Function

Sub MPI()

a = Cells(1, 2)

n = Cells(2, 2)

e = Cells(3, 2)

X = X - F(X) / n

Loop Until Abs(F(X) / n) < e

Cells(4, 2) = X

Cells(5, 2) = F(X)

End Sub

Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений

Алгоритм Ньютона

50. Задачи Коши и краевые задачи. Методы их решений. Методы конечных разностей. Зада́ ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным). Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при . От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач. Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений Точка задаёт начальные условия. Краевая задача — задача об отыскании решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.Методы решений задачи Коши Метод Эйлера Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величиныO(h3 ) вместо O(h2)в обычном методе Метод Рунге-Кутта Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Методы решений краевых задач Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных. Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом. Метод конечных элементов (МКЭ) — это численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики.

Метод Рунге-Кутта.

Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка следующего вида:

которые имеют решение:

где t - независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. - искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. - заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент. Одно диф. уравнение - частный случай системы с одним элементом. Поэтому, далее речь пойдет для определенности о системе уравнений. Метод может быть полезен и для решения диф. уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они могут быть представлены системой диф. уравнений первого порядка/ Метод Рунге-Кутта заключается в рекурентном применении следующих формул:

⇐ Предыдущая 1 2 3 45