Дифференциалы высших порядков

Свойства дифференциала

Используя связь дифференциала и производной функции, т.е. формулу , и правила дифференцирования, можно получить формулы, определяющие свойства дифференциала:

1. , где (постоянная);

2. ;

3. ;

;

4. ;

5. Свойство инвариантности (неизменности) формы дифференциала: дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента, т.е. если – сложная функция, то .

Таблица дифференциалов.

1. ;

2. ;

; ; ;

3. ;

;

4. ;

;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16.

Пример 3. Найти дифференциал функции .

Решение.

1 способ. Используя свойства дифференциала функции, получим:

2 способ. Используя формулу и правило дифференцирования частного, получим:

Пример 4. Найти дифференциал функции .

Решение.

1 способ. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, получим:

2 способ.

Дифференциалы высших порядков

Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент – независимая переменная. Тогда дифференциал называется дифференциалом первого порядка (первым дифференциалом), который также является функцией переменной .

Дифференциал от первого дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) и обозначается или . Для вычисления дифференциала второго порядка используется формула

(символ читается « два », – « дважды»).

Аналогично определяются и находятся дифференциалы более высокого порядка:

– дифференциал третьего порядка;

– дифференциал n-го порядка.

Если функция , причем – функция независимой переменной , то дифференциал второго порядка определяется по формуле

, где .

Пример 5. Найти дифференциал второго порядка функции .

Решение. Найдем производную второго порядка:

;

Тогда дифференциал второго порядка равен:

Пример 6. Найти дифференциал второго порядка функции , если , где – независимая переменная.

Решение.

1 способ. Т.к. функция , где , – сложная, то для определения дифференциала второго порядка используем формулу

, где .

Имеем:

; ;

; .

Тогда получим:

2 способ. Т.к. , , то – функция независимой переменной . Тогда дифференциал второго порядка можно найти по формуле:

Учитывая, что

;

получим:

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть дифференцируемая функция. Тогда ее приращение можно представить в виде

где при .

При достаточно малом приращении аргумента, т.е. при , получаем приближенное равенство

, или .

Абсолютная погрешность приближения равна .

С другой стороны, приращение функции определяется по формуле

Следовательно,

откуда получим формулу для вычислений приближенных значений функций:

Пример 7. Вычислить приближенно .

Решение. Преобразуем число

Рассмотрим функцию . Тогда

По формуле будем иметь:

Т.к. , то при и получим:

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и . Пусть в окрестности точки . Если существует предел , то , т.е. предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания:

1.Правило Лопиталя можно применять и в случае, когда функции и не определены при , но .

2.Правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда .

3.Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и , правило Лопиталя можно применить еще раз:

Пример 8. Найти предел ;.

Решение. Т.к. , имеем неопределенность вида . Тогда по правилу Лопиталя получим:

Ответ: 0

Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , . Если существует предел , то , т.е. предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Пример 9. Найти предел .

Решение. При функции и являются бесконечно большими функциями. Тогда дважды используя правило Лопиталя, имеем:

Ответ: 0.

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Экстремум функции

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности, т.е. при условии , выполняется неравенство (на рис.5 – точки и ).

рис.5

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности, т.е. при условии , выполняется неравенство (рис.5 – точки и ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом ( минимумом ) функции. Максимум и минимумом функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума – точкамиэкстремума.

Экстремум функции имеет локальный характер, т.е. характеризует поведение функции в некоторой малой окрестности точки. Функция может иметь экстремум только во внутренних точках области определения.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Обратное утверждение неверно. Если , то точка может быть точкой экстремума, а может и не быть.

Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Критические точки могут быть точками экстремума функции.

Первое достаточное условие экстремума: если непрерывная функция дифференцируема в некоторой – окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то – точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума: если в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля ( ), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

Алгоритм исследования функции на экстремум:

1.Найти область определения функции .

2.Вычислить производную и найти критические точки функции .

3.Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.

4.Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек (рис.6).

рис.6

5. В соответствии с первым достаточным условием экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Пример 11. Найти промежутки монотонности и экстремум функции .

Решение. Функция определена и дифференцируема в области . Производная функции равна:

Найдем критические точки функции.

Производная не существует в точке . Поэтому точка не является критической точкой.

Производная равна нулю в точке . Точка может быть точкой экстремума.

Отметим найденные точки на числовой оси с учетом области определения функции (рис.7) и определим знаки производной и поведение функции.

рис.7

Согласно первому достаточному условию экстремума, точка является точкой максимума, при этом максимум функции равен:

Функция возрастает при и убывает при .

Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 12).

Асимптоты графика функции могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или (рис. 12а).

рис. 12а рис.12б

рис.12в

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения , вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид , где , а (рис. 12б).

Наклонная асимптота существует, если указанные пределы существуют и значения и конечны. Если же хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то график функции наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если , а , то уравнение задает горизонтальную асимптоту графика функции (рис. 12в).

Асимптоты графика функции при и могут быть разными (в частности для трансцендентных функций – логарифмических, показательных, обратно тригонометрических). Поэтому следует рассматривать два случая:

; .

Пример 15. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция имеет точку разрыва второго рода . Действительно, односторонние пределы функции равны:

; .

Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем уравнение наклонной асимптоты:

;

Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции.

4.10. Общая схема исследования функции и построение графика

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.

2. Найти множество значений функции.

3. Найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ).

5. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида, периодической или непериодической.

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Построить график функции.

Свойства дифференциала

1. , где (постоянная);

2. ;

3. ;

;

4. ;

Таблица дифференциалов.

1. ;

2. ;

; ; ;

3. ;

;

4. ;

;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16.

Пример 3. Найти дифференциал функции .

Решение.

1 способ. Используя свойства дифференциала функции, получим:

2 способ. Используя формулу и правило дифференцирования частного, получим:

Пример 4. Найти дифференциал функции .

Решение.

1 способ. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, получим:

2 способ.

Дифференциалы высших порядков

(символ читается « два », – « дважды»).

Аналогично определяются и находятся дифференциалы более высокого порядка:

– дифференциал третьего порядка;

– дифференциал n-го порядка.

, где .

Пример 5. Найти дифференциал второго порядка функции .

Решение. Найдем производную второго порядка:

;

Тогда дифференциал второго порядка равен:

Пример 6. Найти дифференциал второго порядка функции , если , где – независимая переменная.

Решение.

1 способ. Т.к. функция , где , – сложная, то для определения дифференциала второго порядка используем формулу

, где .

Имеем:

; ;

; .

Тогда получим:

Учитывая, что

;

получим:

12 3 Следующая ⇒