Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Пусть функция непрерывна на отрезке . Такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при или . Если , то может быть критической точкой функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:

1.Найти критические точки функции на интервале .

2.Вычислить значения функции в найденных критических точках.

3.Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках и .

4.Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение (рис.8а).

Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом (рис.8б).

рис.8а рис.8б

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин (задачи оптимизации).

Пример 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Найдем критические точки данной функции:

при , и . Вычислим значения функции в найденных точках и на концах отрезка :

;

Итак, и .

Пример 13. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Решение. Обозначим через и искомые слагаемые, причем и . Тогда т.к. по условию , то .

Составим функцию, выражающую сумму кубов слагаемых:

Найдем наименьшее значение функции на отрезке . Т.к. , то при , кроме того . Поэтому точка – точка минимума. Т.к. функция имеет одну критическую точку, то при и функция принимает наименьшее значение .

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале , если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале.

График функции называется выпуклым вверх (выпуклым) на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба графика функции (рис.9).

рис.9

Определение интервалов выпуклости вниз и вверх графика функции: если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх; если же во всех точках интервала , то график функции выпуклый вниз.

Достаточное условие существования точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба (рис.10).

рис.10

Пример 14. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Данная функция и ее производные определены и непрерывны на всей числовой прямой. Найдем производную второго порядка:

;

Тогда при . Определим знаки слева и справа от точки (рис.11).

рис.11

При этом .

Следовательно, график функции выпуклый вверх при и выпуклый вниз (вогнутый) при . Точка есть точка перегиба графика функции.

Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции

Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 12).

Асимптоты графика функции могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или (рис. 12а).

рис. 12а рис.12б

рис.12в

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения , вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид , где , а (рис. 12б).

Наклонная асимптота существует, если указанные пределы существуют и значения и конечны. Если же хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то график функции наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если , а , то уравнение задает горизонтальную асимптоту графика функции (рис. 12в).

Асимптоты графика функции при и могут быть разными (в частности для трансцендентных функций – логарифмических, показательных, обратно тригонометрических). Поэтому следует рассматривать два случая: