Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей различных видов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называются основными. Неопределенности вида , , , , сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1.Пусть , при . Тогда можно применить преобразования:

;

2.Пусть , при . Тогда можно поступить следующим образом:

3.Пусть или , , или , , или , при . В этом случае можно работать по схеме:

где .

Пример 10. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) Имеем неопределенность вида . Представим произведение в виде частного, а затем, получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

2) В этом случае неопределенность вида . Приведем дроби к общему знаменателю и, получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

3) Имеем неопределенность вида . Выполним следующие преобразования:

Вычислим . Здесь неопределенность вида . Представим произведение в виде частного, а затем, получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

Тогда искомый предел равен:

4.4. Формула Тейлора

Теорема Тейлора. Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка . Пусть – любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками и найдется точка такая, что справедлива формула:

Эта формула называется формулой Тейлора, а слагаемое – остаточным членом в форме Лагранжа.

заключено между и и его можно представить в форме:

где – число, отвечающее условию ; тогда форма остаточного члена примет вид:

Формула Тейлора преобразуется к виду:

Формула Маклорена. Формула Маклорена – формула Тейлора при :

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Исследование функции на монотонность

(условия возрастания и убывания функции)

Необходимые условия монотонности: если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то ( ) для .

Геометрический смысл этих условий: касательные к графику возрастающей (убывающей) дифференцируемой функции образуют острые (тупые) углы с положительным направлением оси Ox или в некоторых точках параллельны оси Ox.

Достаточные условия монотонности: если функция дифференцируема на интервале и ( ) для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Экстремум функции

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности, т.е. при условии , выполняется неравенство (на рис.5 – точки и ).

рис.5

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности, т.е. при условии , выполняется неравенство (рис.5 – точки и ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом ( минимумом ) функции. Максимум и минимумом функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума – точкамиэкстремума.

Экстремум функции имеет локальный характер, т.е. характеризует поведение функции в некоторой малой окрестности точки. Функция может иметь экстремум только во внутренних точках области определения.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Обратное утверждение неверно. Если , то точка может быть точкой экстремума, а может и не быть.

Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Критические точки могут быть точками экстремума функции.

Первое достаточное условие экстремума: если непрерывная функция дифференцируема в некоторой – окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то – точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума: если в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля ( ), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

Алгоритм исследования функции на экстремум:

1.Найти область определения функции .

2.Вычислить производную и найти критические точки функции .

3.Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.

4.Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек (рис.6).

рис.6

5. В соответствии с первым достаточным условием экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Пример 11. Найти промежутки монотонности и экстремум функции .

Решение. Функция определена и дифференцируема в области . Производная функции равна:

Найдем критические точки функции.

Производная не существует в точке . Поэтому точка не является критической точкой.

Производная равна нулю в точке . Точка может быть точкой экстремума.

Отметим найденные точки на числовой оси с учетом области определения функции (рис.7) и определим знаки производной и поведение функции.

рис.7

Согласно первому достаточному условию экстремума, точка является точкой максимума, при этом максимум функции равен:

Функция возрастает при и убывает при .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒