Раздел II. Целые неотрицательные числа

Раздел II. Целые неотрицательные числа

Введение

Понятие числа является одним из основных в математике. Число служит орудием, при помощи которого математика и другие науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия " число" сложилось в результате длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

Было время, когда люди не умели считать. Число воспринималось ими как одно из свойств предметов, подлежащих перечислению. Решение практических задач, связанных со счетом, было сопряжено с огромными трудностями.

Шагом в развитии понятия числа явился счет с помощью определенных предметов, и в частности с помощью пальцев рук и ног. Возможно на этом этапе и определилась особая роль чисел " пять", " десять", " двадцать", появились названия некоторых чисел.

Числовой ряд возник не сразу. История его формирования длительная, запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постоянно.

И, конечно, не сразу люди поняли, что числовой ряд можно бесконечно продолжать. Идея бесконечности натурального ряда чисел появилась, вероятно, когда общество достигло достаточного уровня цивилизации. С ее развитием встречаемся в работе древнегреческого математика Архимеда, жившего в 3 в. до н.э. В своем сочинении " Исчисление песчинок" он показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно. Архимед изобрел способ, который позволял образовывать и словесно обозначать сколь угодно большие числа. В связи с этим он утверждал, что можно пересчитать не только песчинки на берегу моря, но и подсчитать их число в шаре достаточно большого радиуса.

В результате длительного процесса развития понятия числа человек научился записывать числа и выполнять действия над ними. С рождением математики были изучены свойства этих чисел и операций над ними.

Во второй половине 19 в. понятие о числе получило логическое обоснование. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказало создание в конце 19 в. теории множеств.

Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: " Сколько машин изображено на рисунке? ", они имеюм дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, оперируют порядковым натуральным числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли - как значение величины при выбранной единице величины, как мера величины. Много внимания уделяется в НКМ и еще одной роли числа - число как компонента вычислений. Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты учащимися начальных классов. Поэтому важнейшей задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражаются различные роли натурального числа в практической деятельности.

Одним из способов строгого логического обоснования натурального числа и операций над числами является аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Начав изучение чисел именно с этого подхода, рассмотрим затем теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, отношений между числами, операций над ними. Рассмотрим натуральное число как результат измерения величин; способы записи ЦНЧ, правила действий над многозначными числами в десятичной и других системах счисления; рассмотрим некоторые вопросы делимости ЦНЧ.

Лекция 1. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

Аксиоматический метод в математике.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.

Сложение натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел.

Свойства множества натуральных чисел

Вычитание и деление натуральных чисел.

Аксиоматический метод в математике

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.

2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.

3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.

4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Система аксиом должна быть:

а) непротиворечивой: мы должны быть уверены, что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;

б) независимой: никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.

в) полной, если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.

Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его " Началах" (3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.

В качестве основного(неопределяемого) понятия в некотором множестве N выбирается отношение «непосредственно следовать за», а также используются теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.

Отношения «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиомы Пеано:

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а .

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М ; 2) из того, что а содержится в М , следует, что и а' содержится в М.

Определение 1. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N . Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4,... Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует» , которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение 2. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств.

Сложение натуральных чисел

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отно­шение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное чис­ло» и «предшествующее число».

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а', непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а' и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3' =(2+3)'. В общем виде имеем, .

Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.

Определение 3. Сложениемнатуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) ;

2)

Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа а и b - слагаемыми.

Теорема 6

( а, b N) а + b ≠ b.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.

Теорема 13. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство (существования). Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.

Доказательство (единственности). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ≠ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ _: . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ _: и заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.▀

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила:

1) Дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое .

(а + b) - с = (a - с) + b.

2) Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

а - (b + с) = (а - b) - с

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение 7. Делениемнатуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b× с = а.

Число а: b называется частным чисел а и b, число а - д елимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда.

Теорема 14. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤ а. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство (необходимого условия существования). Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа справедливо неравенство 1 ≤ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤ bс. Но bс = а, следовательно, b ≤ а.

Доказательство единственности этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления:

1) правило деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

(а + b): с = а: с + b: с.

2) правило деления разности на число: для того , чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

(а - b): с = а: с - b: с.

3) Правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

(а × b): с = (а: с) × b.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16× 3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3.

Раздел II. Целые неотрицательные числа

Введение

Понятие числа является одним из основных в математике. Число служит орудием, при помощи которого математика и другие науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия " число" сложилось в результате длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

Было время, когда люди не умели считать. Число воспринималось ими как одно из свойств предметов, подлежащих перечислению. Решение практических задач, связанных со счетом, было сопряжено с огромными трудностями.

Шагом в развитии понятия числа явился счет с помощью определенных предметов, и в частности с помощью пальцев рук и ног. Возможно на этом этапе и определилась особая роль чисел " пять", " десять", " двадцать", появились названия некоторых чисел.

Числовой ряд возник не сразу. История его формирования длительная, запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постоянно.

И, конечно, не сразу люди поняли, что числовой ряд можно бесконечно продолжать. Идея бесконечности натурального ряда чисел появилась, вероятно, когда общество достигло достаточного уровня цивилизации. С ее развитием встречаемся в работе древнегреческого математика Архимеда, жившего в 3 в. до н.э. В своем сочинении " Исчисление песчинок" он показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно. Архимед изобрел способ, который позволял образовывать и словесно обозначать сколь угодно большие числа. В связи с этим он утверждал, что можно пересчитать не только песчинки на берегу моря, но и подсчитать их число в шаре достаточно большого радиуса.

В результате длительного процесса развития понятия числа человек научился записывать числа и выполнять действия над ними. С рождением математики были изучены свойства этих чисел и операций над ними.

Во второй половине 19 в. понятие о числе получило логическое обоснование. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказало создание в конце 19 в. теории множеств.

Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: " Сколько машин изображено на рисунке? ", они имеюм дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, оперируют порядковым натуральным числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли - как значение величины при выбранной единице величины, как мера величины. Много внимания уделяется в НКМ и еще одной роли числа - число как компонента вычислений. Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты учащимися начальных классов. Поэтому важнейшей задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражаются различные роли натурального числа в практической деятельности.

Одним из способов строгого логического обоснования натурального числа и операций над числами является аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Начав изучение чисел именно с этого подхода, рассмотрим затем теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, отношений между числами, операций над ними. Рассмотрим натуральное число как результат измерения величин; способы записи ЦНЧ, правила действий над многозначными числами в десятичной и других системах счисления; рассмотрим некоторые вопросы делимости ЦНЧ.

123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Более подробно о нелокальности и мнимых числах
2. В электроустановках напряжением до 1000В операции по установке и снятию заземлений разрешается выполнять одному работнику, имеющему группу III, из числа оперативного персонала.
3. Глава XIII. Память на числа, хронологию и цены.
4. Единовременные пособия для граждан из числа детей-сирот
5. Определение общего микробного числа
6. Погрешность интегрирования при уменьшении числа разбиений
7. Подклассы имен существительных по категории числа.
8. Построить зависимость числа итераций от заданной точности – n(E).
9. Представление синусоидальных величин вращающимися векторами и комплексными числами
10. Разбивка передаточного числа привода
11. Регулирование скорости ад изменением числа пар полюсов