|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Свойства множества натуральных чисел ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Рассматриваемая теория натуральных чисел является теорией порядковых натуральных чисел. Идея порядка заложена в отношении " непосредственно следовать за", которое, однако, затрагивает лишь соседние элементы. Сравнить два натуральных числа, не являющихся соседними, при помощи отношения " непосредственно следовать за" невозможно. Упорядочить множество натуральных чисел можно, задав на нем отношение «меньше». Определение 5. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b. При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а. Свойства отношения " меньше": 1. Для любого натурального числа а справедливо а < а , . 2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b. 3. Если а < b и b < с, то а < с. 4. Если а < b, то неверно, что b < а. Свойство монотонности сложения 1) а < b Свойство монотонности умножения 1) а < b 2) а > b 7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b; существует такое натуральное число n, что пb> а. Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства: 1) Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а< п< а + 1. Это свойство называется свойством дискретностимножества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними. 2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа. 3) Если М- непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа. С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3». Вычитание и деление натуральных чисел Вычитание При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению. Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а. Число а - bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым. Теорема 13. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна. Доказательство (существования). Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а. Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует. Доказательство (единственности). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ≠ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ : . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ : и заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.▀ Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила: 1) Дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое. (а + b) - с = (a - с) + b. 2) Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим. а - (b + с) = (а - b) - с Для того чтобы вычесть из числа разность двух чисел, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое и из полученного числа вычесть уменьшаемое. а - (b - с) = (а + с) - b Деление При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению. Определение 7. Делениемнатуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b× с = а. Число а: b называется частнымчисел а и b, число а - делимым, число b - делителем. Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда. Теорема 14. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤ а. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно. Доказательство (необходимого условия существования). Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа справедливо неравенство 1 ≤ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤ bс. Но bс = а, следовательно, b ≤ а. Доказательство единственности этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел. Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления: 1) правило деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. (а + b): с = а: с + b: с. 2) правило деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе. (а - b): с = а: с - b: с. 3) Правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель. (а × b): с = (а: с) × b. В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16× 3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-03; Просмотров: 7123; Нарушение авторского права страницы
a + c < b + c; 2) а > b