Представление синусоидальных величин вращающимися векторами и комплексными числами

· Представление синусоидальных функций вращающимися векторами

Расчет переменных токов и напряжений с помощью алгебраических операций их мгновенных значений по исходным выражениям (1.1а) − (1.1в) весьма неудобен из-за громоздких вычислений. Графическое представление синусоидальных величин (см. рис.1.3) достаточно наглядно для одной, двух синусоид, но для сложных цепей практически не используется, ввиду трудности построения и анализа нескольких синусоидальных величин.

Представления синусоидальных функций при помощи вращающихся векторов ( векторных диаграмм ), как показано на рис 1.4, позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между разными напряжениями, токами и широко используется при объяснении процессов в цепях переменного тока.

Мгновенное значение синусоидальной функции времени t или угла поворота wtможно представить в виде изменяющейся проекции на вертикальную ось вращающегося с угловой скоростью w вектора, как показано на рис 1.4. Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, обозначаются, как и комплексные величины, точками вверху. Сравнивая рисунки 1.4, а и 1.4, б, можно видеть что длины векторов и равны амплитудам напряжения U_m и тока I_m синусоидальных функций напряжения uи тока i.

а) б)

Рис.1.4. Соответствие синусоидальных функций u, i
и вращающихся векторов и

а) – графики мгновенных значений синусоидальных величин напряжения и тока; б)–вращающиеся с угловой скоростью ω векторы и

Проекции вращающихся с угловой скоростью ω векторов и на ось ординат У (рис. 1.4, б) равны мгновенным значениям синусоидальных функций напряжения uи тока i (рис. 1.4, а)

u = U_msin(wt – y_u); i = I_msin(wt + y_i). (1.4)

Углы наклона к оси абсцисс Х векторов и изменяются с угловой скоростью wи для момента времени t = t₁соответствуют фазам y_u1 и y_i1, поскольку для этого момента:

y_u1= wt₁ – y_u; y_i1= wt₁+ y_i.

Начальные фазы y_u и y_i будут соответствовать углам наклона векторов и к оси Хв начальный момент времени t = 0 (рис. 1.4, б). Легко убедится, что векторы и , вращающиеся с одной угловой скоростью w, будут взаимно неподвижнымии для любого момента времени сохраняют неизменным сдвиг фаз между напряжением и током:

j = y_i – y_u = const.

Так как фазовые сдвиги между напряжениями, токами и ЭДС одной частоты w остаются неизменными в течение времени, то от системы вращающихся векторов можно перейти к эквивалентной системе неподвижных векторов для момента времени t = 0.

В электротехнике принято оперировать действующими значениями величин напряжений U, ЭДС Е и токов I. Поэтому длины векторов на векторных диаграммах соответствуют не амплитудным, а действующим значениям, которые, как было выше сказано в раз меньше амплитудных значений.

Углы наклона векторов напряжения и тока к оси абсцисс (рис. 1.4, б) равны начальным фазам y_u и y_i (см. рис. 1.4, а). Таким образом, неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальной величины: действующее значение и начальную фазу. Третий параметр – угловая частота w должен быть заранее известен.

За положительное направление вращения векторов с угловой скоростьюw принято направление вращения против часовой стрелки (см. рис 1.4, б). Первый по вращению вектор считается опережающим следующий за ним вектор нафазовый угол j, который, в свою очередь, считается отстающим на тот же угол j относительно первого вектора. Например, на рис. 1.4, а вектор напряжения опережает вектор тока на фазовый угол j или наоборот, можно считать, что вектор тока отстает относительно вектора на тот же угол j.

Если для синусоидальных величин одной частоты начальные фазы одинаковы, то векторы этих величин направлены в одну сторону, фазовый угол между ними равен нулю (j=0) и говорят, что эти величины совпадают по фазе ( синфазны ). Когда для синусоидальных величин разность фаз j = ±p, то векторы этих величин направлены в противоположные стороны и говорят, что эти величины противоположны по фазе или находятся в противофазе.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, относящиеся к одной цепи, называют векторной диаграммой .

Применение векторных диаграмм делает наглядным анализ электрический цепи. В этом методе сложение и вычитание мгновенных значений синусоидальных величин можно заменить геометрическим сложением и вычитанием их векторов, по правилам, представленным в Приложении 4.

· Представление синусоидальных функций комплексными числами

Применение векторных диаграмм для анализа цепей переменного тока, несмотря на простоту и наглядность, не всегда дает достаточную точность при расчетах. Метод представления синусоидальных функций комплексными величинами и оперирование с ними как с комплексными числами, называемый комплексным методом [1], объединяет в себе простоту векторных диаграмм с возможностью производить расчеты с любой заданной степенью точности.

Комплексный метод основан на представлении векторов из декартовой системы координат (рис. 1.5, а) в комплексной плоскости (см. рис. 1.5, б) и на записи их комплексными числами. Это позволяет для цепей синусоидального тока применять законы Ома и Кирхгофа и методы расчета этих цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока, конечно с учетом специфики оперирования с комплексными величинами.

а) б)

Рис. 1.5. Соответствие векторов и комплексных чисел

а) – векторы действующих значений тока I и напряжения U на векторной диаграмме;

б) – представление векторов тока и напряжения на комплексной плоскости

Синусоидальную функцию тока или напряжения можно однозначно изобразить соответствующим вектором в декартовых координатах (см. рис. 1.5, а) или на комплексной плоскости (рис. 1.5, б). В свою очередь, каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое можно записать в алгебраической, тригонометрической или показательной форме. Например, комплексы тока и напряжения на рис. 1.5, б, соответствующие векторам тока и напряжения на векторной диаграмме рис. 1.5, а, можно представить в алгебраической форме:

в тригонометрической форме:

и показательной форме:

где и – модули комплексов тока и напряжения, равные длинам векторов этих величин, которые определяют действующие значения соответствующего тока и напряжения;
y_i = arctgI_р/I_а и y_u= arctgU_р/U_а – аргументы комплексовтока и напряжения, равные их начальным фазам; – формула Эйлера, связывающая алгебраическую и показательную формы записи комплексных чисел; е – основание натурального логорифма; – мнимая единица.

Примечание В электротехнике мнимая единица обозначается буквой j, в отличие от математики, где мнимая единица – i(а в электротехнике i– это принятое обозначение тока).

Таким образом, комплексное число или просто комплекс тока или напряжения в любой из выше перечисленных форм записи является отображением соответствующей синусоидальной функции тока или напряжения.

· Правила операций с векторами и комплексными величинами

Если исходный вектор повернуть на комплексной плоскости из положения 1 в положение 2 против часовой стрелки на угол β (см. рис. 1.6), то в комплексной форме это запишется как .

Рис. 1.6. Операция поворота вектора на комплексной плоскости

Следовательно, умножение комплексного числа на множитель типа соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ± b, причем угол +b откладывается против часовой стрелки, а (-b) – по ходу часовой стрелки.

Если угол b = p/2= 90°, то из формулы Эйлера следует:

То есть умножение комплексного числа на мнимую единицу ±j соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ± p/2.

Если взять, например, комплекс в алгебраической форме , изображенный вектором в положении 1 (см. рис. 1.6), то, умножив его +j, получим , что при его графическом построении на комплексной плоскости соответствует повороту исходного вектора на угол p/2 в положительном направлении (против часовой стрелки) из положения 1 в положение 3.

Считая угол поворотного множителя функцией времени, когда b = wt, получаем множитель или оператор вращения . В этом случае вектор станет радиусом-вектором, вращающимся относительно начала координат на комплексной плоскости с угловой скоростью w против часовой стрелки, что записывается в виде: . Это выражение называют комплексной функцией времени или комплексным мгновенным значением.

Комплексное число будетдействительным числом А, когда сомножитель b при мнимой единице будет равен нулю, при этом аргумент комплексного числа – угол α будет равен нулю или π, а на комплексной плоскости этому действительному числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль оси действительных чисел вправо от нуля (при угле α = 0 ) или влево от нуля (отрицательные числа при угле α = π ). Комплексное число называется мнимым, когда действительное число а = 0, а аргумент комплексного числа – угол α будет равен ±π / 2. На комплексной плоскости этому мнимому числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль вертикальной оси мнимых чисел ±j.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления синусоидальных функций времени производят путем тех же алгебраических действий с соответствующими комплексными числами или векторами на комплексной плоскости. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме, и наоборот, соответствует переходу от декартовых координат к полярным и от полярных координат – к декартовым. При этом операции алгебраического сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, заменяются эквивалентными операциями геометрического сложения и вычитания соответствующих комплекс-векторов, записанных в показательной форме. Выбор той или иной формы записи комплексных чисел определяется простотой и удобством оперирования для определенной математической операции. Так, при сложении и вычитании комплексных чисел более удобна алгебраическая форма записи, а при умножении и делении – показательная.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒