Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Теорема 7. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда на . Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.

Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.

Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку и поставим различных задач Коши: .

По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим - решение 1-й задачи, - решение 2-й задачи, …, - решение -ной задачи. Мы получили - решения уравнения (2). Найдем для этих функций: . Следовательно, по теореме 7, функции образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).

Теорема 9. Пусть - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решения этого уравнения существуют постоянные такие, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных : (11). Определитель этой системы не равен 0, т.к. - фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение . Рассмотрим теперь функцию . По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядка включительно в точке совпадают со значениями и ее последовательных производных в точке . По теореме 1 о единственности решения задачи Коши , .

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства

Система линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли без доказательства.

Системой линейных алебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

, где чила , , называются коэффициентами системы, числа - свободными членами. Системы лу удобно записывать в виде матрицы.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если имеет более одного решения. Частным решением системы называется каждое решение неопределённой системы. Общим решением называется совокупность всех частных решений системы. Система лу называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Тривиальным называется решение, когда все неизвестные раны нулю.

Теорема: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Теоремы: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг её основной матрицы был меньше числа неизвестных. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и лостаточно, чтобы её определитель был равен нулю.

Векторы, линейные операции над векторами, их свойства. {определение …}

Вектор – направленный отрезок, который можно передвигать параллельно самому себе.

Два вектора называются равными, если при параллельном переносе, совмещающим начала, совмещаются и концы.

Модулем вектора называется длина вектора (равная корню из суммы квадратов координат). Если модуль вектора равен 1, то вектор единичный.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных или совпадающих прямых.

Три вектора называются компланарными, если при их параллельном переносе, совмещающим начала, они оказываются лежащими в одной плоскости.

Углом между двумя векторами называется угол, полученный при параллельном переносе векторов в общее начало.

ω =0– векторы сонаправлены ω =p - противонаправлены ω =p/2 – перпендикулярны

Суммой двух векторов является вектор идущий из начала первого вектора в конец второго, если конец первого и начало второго совмещены параллельным переносом.

Суммой двух векторов называется вектор, являющийся диагональю в параллелограмме, стороны которого образованны параллельным переносом векторов в общее начало, и исходящий из точки совмещения.

Разностью двух векторов является вектор идущий из конца второго вектора в конец первого, если их начала совмещены параллельным переносом.

Произведением вектора на число называется вектор, коллинеарный данному, длина которого равна произведению длины данного вектора на число. Если число < 0, то вектор, полученный произведением данного вектора на число, будет противонаправлен данному вектору.

1 + = +

2 +( + )=( + )+

3 + =

4 – + =

5 l* =

6 a(b )=(ab) , " a, b Î R

7 a( + )= a +a , " a Î R

8 (a+b) =a +b " a, b Î R

Проекция и координаты вектора {опр., св-ва}

Осью называется прямая с выбранным направлением, началом и единицей длины.

Проекцией точки А на прямую е называется точка А’, в которой пересекается прямая е с плоскостью, перпендикулярной е и проходящей через точку А’.

Проекцией вектора AB на прямую е называется вектор A’B’, где A’ и B’ соответственно проекции точек A и B на прямую е.

Числовая проекция вектора а на прямую е есть длина проекции а на прямую е или произведение длины вектора а на cos угла между вектором а и прямой е.

1) =0 или ω =p/2, то пр₂ =0

2) ¹ 0 0< ω < p/2, то пр₂ > 0

3) ¹ 0 p/2< ω < 0, то пр₂ < 0

свойства проекций

1. пр_e =| |*cosω

2. пр₂ +пр₂ =пр₂( + )

3. пр_е( *a)=aпр_е

Док-во 3-го св-ва: при a> 0 имеем пр_е(a* )=|a |*cosω =a*| |*cosω = aпр_е

при a< 0: пр_е(a* )=|a |*cos(p-ω )= -a*| |*(-cosω )= aпр_е

a=0 a* = пр₂ =0 пр₂(a* )= a

Разложение вектора по ортам координатных осей

, модуль ;

Координаты вектора – числовые проекции на координатные оси.

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Скалярное произведение двух векторов, его свойства. Условия перпендикулярности векторов. Неравенство Буняковского.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Св-ва скалярного произведения:

1.Переместительное Док-во:

а т.к. и = то

2. Сочетательное т.к

3. Распределительное

т.к.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины , т.к.

5. Если два ненулевых вектора взаимо перепендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (т.к. косинус 90⁰ равен нулю).

Неравенство Буняковского.

или

Скалярное произвкдкние векторов в коорднинатной форме

Пусть заданы два вектора и

найдём скалярное произведение, используя таблицу скалярного произведени векторов : получится .

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённыйх координат

Векторное произведение двух векторов. Условие коллинеарносити двух векторов. Антикоммутативность векторного произведения. Векторное произведение в координатной форме.

Векторным призведением вектора на вектор называестя вектор , который:

1) перпендикулярен векторам и , т.е и

2) имеет длину, численно равную площади параллелонрамма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

3) векторы , и образуют правую тройку.

Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю.

Вектороное произведение в координатной форме

, если заданы два вектора и

Смешанное произведение векторов. Условие компланарности трёх векторов. Смешанное произведение в координатной форме.

Смешанным произведением векторов , и называют векторно-скалярное произведение . Смешанное произведение есть число, равное объёму параллелипипеда, построенного этих векторах, взятому с +, если эти вектора образуют правую тройку, и с -, если левую.

Св-ва смешанного произведения:

1) не меняется при циклической перестановке сомножителей, т.е.

2) не меняется при перемене мест знаков векторного и скалярного умножения

3) меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е.

, ,

4) смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Выражение смешанного произведения черкз коорлинаты:

Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую заданный нормальный вектор. Общее уравнение плоскости.

Пусть плоскость Q задана в пространстве точкой M₀(x₀, y₀, z₀) и вектором , перпендикулярным этой плоскости. Возьмём на плоскости точку M(x, y, z) и составим вектор При любом расположении точки M на плоскоти Q векторы и перендикулярны, поэтому их скалярное произведение рано нулю, т.е

Общее уравнение плоскости:

Геометрическое значение коэффициентов A, B, и С в общкм уравнении плоскости Ах+By+Cz+D=0

Состоит в том что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектораб перпендикулярного этой плоскости.

Положение прямой на плоскости может быть задано одним из следующих способов:

· прямая l проходит через точку параллельно вектору

· прямая l проходит через точки и

· прямая l проходит через точку перпендикулярно вектору

· прямая l проходит через точку и составляет с вектором угол α (см. рис. 11.5.1).

Рисунок 11.5.1.

Любой вектор параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой. Любой вектор перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором прямой. Если взять на прямой какие-либо две фиксированные точки и то вектор в частности, будет направляющим вектором прямой

Пусть прямая l задана точкой и направляющим вектором (см. рис. 11.5.2). Пусть M – произвольная точка прямой.

Рисунок 11.5.2.

Рисунок 11.5.3.

Обозначим и радиус-векторы точек и M соответственно. Вектор параллелен прямой, и, следовательно, вектору тогда и только тогда, когда M лежит на прямой. Так как то

Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.

Если ввести систему координат то уравнение можно записать в виде

где и – координаты точек и M, а – координаты вектора Отсюда следует, что

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пусть и тогда из уравнений следует, что и, окончательно, уравнение которое называется каноническим уравнением прямой, с направляющим вектором

Если то параметрическое уравнение примет вид

Это уравнение задает прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку Каноническое уравнение прямой имеет вид Аналогично, если то прямая, задаваемая системой

проходит через точку параллельно оси Ox. Ее каноническое уравнение имеет вид

Как было отмечено ранее, направляющим вектором прямой можно выбрать вектор где и – произвольные две точки прямой. Тогда, подставив координаты вектора в каноническое уравнение, получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через две точки и первая из которых лежит на оси Ox и имеет, следовательно, координаты а вторая лежит на оси Oy и имеет координаты Подставляя их в уравнение, получим

или

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Пусть – некоторая точка прямой, – вектор, перпендикулярный прямой, а – произвольная точка этой прямой (см. рис. 11.5.3). Тогда M лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: Введя радиус-векторы и точек и M, это уравнение можно записать в виде Это – нормальное векторное уравнение прямой, а – нормальный вектор прямой. Если переписать его через координаты точек M и вектор в ортогональной декартовой системе координат, получим

Это уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору Обозначив окончательно имеем

Ax + By + C = 0.

В § 11.4 было показано, что любая прямая может быть задана этим уравнением при условии Назовем это уравнение общим уравнением прямой. Следовательно, для любой прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, можно считать, что вектор перпендикулярен прямой, а вектор параллелен ей. Действительно, так как векторы и взаимно ортогональны, а поскольку – нормальный вектор к прямой, то параллелен ей. Тогда – направляющий вектор прямой.

При рассмотрении векторно-параметрического уравнения прямой мы показали, как перейти к каноническому уравнению, из которого легко получить общее уравнение прямой. Аналогично, из нормального векторного уравнения так же легко перейти к общему уравнению прямой. Покажем теперь, как из общего уравнения прямой получить ее векторные уравнения.

Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда мы знаем, что вектор – направляющий вектор прямой, – ее нормальный вектор. Так как предположим для определенности, что A ≠ 0. Тогда точка принадлежит прямой. В этом легко убедиться, подставив координаты точки в уравнение прямой. Приведенных данных достаточно, чтобы получить векторные уравнения прямой. Действительно,

– векторно-параметрическое уравнение;

– векторное нормальное уравнение.

Понятие о линейном пространстве. Единственность нулевого и противоположного элементов.

Определение. Арифметическим вектором называятся упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством рифметических векторовRⁿ.

Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противопо

противоположным вектором для вектора .

Для любых , , из Rⁿ и любых чисел α , β справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. , сложение ассоциативно;

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме

Линейные подпространства в Rⁿ, размерность подпространства, базис в подпространстве

Определение. Множество L векторов из Rⁿ, такое, что для любых и из L и любого числа a справедливо , называется линейным подпространством в Rⁿ.

Пример. Множество L арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rⁿ:

Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, еслив L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы; обозначаем dimL=k.

Определение. Любая линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис линейного подпространства L.

Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы из L линейно независимы, то для любого существует единственный набор чисел таких, что

Примеры линейных пространств.

1). Пространства и , состоящие из всевозможных (упорядоченных) наборов из n чисел (соответственно -- действительных или комплексных). Сложение и умножение определяются формулами

С этими пространствами вы достаточно хорошо знакомы по курсам алгебры и анализа.

2). Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке [a, b] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство C[a, b], являющееся одним из важнейших в анализе и уже встречавшееся вам, например, при изучении функциональных рядов.

3). Пространство быстроубывающих функций , с которым вы работали, изучая преобразование Фурье.

4). Пространство l₂, в котором элементами служат последовательности чисел (действительных или комплексных)

удовлетворяющие условию

с операциями

является линейным пространством. Тот факт, что сумма двух последовательностей, удовлетворяющих условию (1), также удовлетворяет этому условию, вытекает из элементарного неравенства

Конечный набор элементов линейного пространства L называется линейно зависимым, а сами элементы -- линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что

В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Иными словами, элементы называются линейно независимыми, если из равенства

вытекает, что .

Бесконечная система элементов пространства L называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Если в пространстве L можно найти n линейно независимых элементов, а любые n+1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что L имеет размерность n. Если же в L можно указать систему из произвольного конечного числи линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно.

Легко понять, что в приведенных выше примерах 2)-4) пространства бесконечномерны, а в примере 1) -- имеют размерность n.

Непустое подмножество L' линейного пространства L называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к опрелеленным в L операциям сложения и умножения на число.

Иначе говоря, есть подпространство, если из , следует, что при любых числах .

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и z из L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α ·x, y) = α ·(x, y),

(x + y, z) = (x, z) + (y, z),

(x, x) > 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Евклидовы пространства E и E' называются евклидово изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и если

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒