Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть " старый" и другой базис , который мы будем называть " новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно " связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть -- -мерное линейное пространство, и -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем " старым", а второй -- " новым". Пусть -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

Предложение 19.1 Пусть -- линейное преобразование пространства , и -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

Доказательство. Пусть -- произвольный вектор пространства , -- его образ, то есть . Пусть и -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а , -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .

Определение 19.2 Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .

Следствие 19.1 Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

Напомним, что в евклидовом пространстве определено скалярное произведение векторов

Определение. Если существует такой оператор B, что для любых и из евклидова пространства E справедливо , то оператор B называется сопряженным оператором к оператору A и обозначается A*:

Теорема. ЕслиA — линейный оператор в евклидовом пространстве E и A—его матрица в некотором ортонормированном базисе в E, то у оператора есть единственный сопряженный оператор, причем матрица сопряженного оператора в том же базисе — это матрица A^T.

Теорема доказана на лекции.

Пример.Рассмотрим оператор Uj поворота пространства R² на угол j относительно начала координат против часовой стрелки:

Т.е. оператор, сопряженный оператору поворотапространства R² на угол j относительно начала координат против часовой стрелки — оператор поворота пространства R² на угол - j относительно начала координат против часовой стрелки.

Матрицы операторов поворота на угол j и угол - j имеют, соответственно, вид:

Видно, что

Нетрудно доказать (на лекции доказано) следующие свойства сопряженного оператора:

· что сопряженный к линейному оператру — линейный оператор;

·

·

·

· характеристические многочлены операторов и

совпадают.

5.3.2.Самосопряженный оператор

Определение. Если линейный операторA, действующий в евклидовом пространсте E, таков, что для любых и из E справедливо , то оператор A называется самосопряженным оператором.

Пример.Оператор P₂ — оператор проектирования пространства R³ на подпространство R² параллельно вектору : .

Как показано выше, матрица оператора P₂ в естественном ортонормированном базисе

Имеет вид

Тогда

т.е. — оператор P₂ — самосопряженный оператор.

Видно, что матрица P₂ оператора P₂ — симметричная матрица.

Нетрудно доказать следующие свойства самосопряженного оператора:

· сумма самосопряженных операторов — самосопряженный оператор;

· если оператор A самосопряженный оператор, то оператор — тоже самосопряженный оператор ( — действительное число).

5.3.3.Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора

Можно показать (на лекции не доказывается), что у самосопряженного оператора существует собственный ортонормированный базис.

Поскольку A=A*, то матрица самосопряженного оператора — симметричная матрица. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму.

Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы.

Если нужно записать выражение для приведения матрицы к этой диагональной форме, то нужно еще найти собственные векторы матрицы, записать матрицу C перехода к собственному базису (матрицу, столбцами которой являются координаты собственных векторов оператора), найти обратную к ней матрицу С^-1 и тогда — равенство, связывающее диагональну форму матрицы оператора в собственном базисе с матрицей A оператора в заданном базисе.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться:

Популярное:

1. A. обеспечение выполнения расписания движения, корректировка движения в случае необходимости, оказание техпомощи ПС на линии, принятие мер в случае ДТП и др.
2. A. эксплуатируемые вручную или с применением ручного труда; без применения ручного труда (механические, автоматические и др.).
3. B. Специфика восприятия выразительных средств театра
4. Extended Primitives-расширенные примитивы
5. I ) При нейтральной оси в полке.
6. I. Заполнение фрагмента «Талон приема»
7. I. Общие сведения о воспитательном мероприятии
8. I. Прием и отправление поездов
9. I. Принятие нормативных актов органами государства.
10. I. ЭКГ при нарушениях ритма сердца (аритмиях)
11. I. Этические принципы психолога
12. II. Выберите, при каком условии верно данное утверждение.