Кондуктивный теплообмен в плоской стенке

Тепловые процессы

И аппараты

ТЕПЛООБМЕН

 

Химические технологические процессы протекают в заданном направлении только при определенных температурах, которые создаются путем подвода или отвода тепловой энергии (теплоты). Процессы, скорость протекания которых зависит от скорости подвода или отвода теплоты, называются тепловыми. Движущей силой тепловых процессов является разность температур между фазами. Аппараты, в которых осуществляются тепловые процессы, называются теплообменниками, в них тепло переносится теплоносителями.

Расчет теплообменных процессов и аппаратов сводится обычно к определению межфазной поверхности теплообмена. Эта поверхность находится из уравнения теплопередачи в интегральной форме. Коэффициент теплопередачи, как известно, зависит от коэффициентов теплоотдачи фаз, а также от термического сопротивления стенки. Ниже будут рассмотрены способы их определения, нахождение поля температур и тепловых потоков. Там, где это возможно, искомые величины находятся из решения уравнений законов сохранения, а в остальных случаях используются упрощенные математические модели или метод физического моделирования.

 

Кондуктивный теплообмен в плоской стенке

 

Рассмотрим теплообмен в неподвижной плоской стенке
из однородного материала, теплофизические свойства которого постоянны
(с_p, l, r = const) (рис. 1.1).

y

T1

T2

x

d

λ

Рис. 1.1. Распределение температуры в плоской стенке

 

Общее уравнение нестационарной теплопроводности Фурье имеет вид

 

(1)

 

Процесс теплообмена стационарный, тогда . Считаем,
что высота и длина гораздо больше толщины стенки d, следовательно, теплообмен по этим направлениям отсутствует, тогда температура изменяется лишь вдоль одной координаты х, отсюда имеем

 

 

Поскольку , имеем

 

(2)

 

Очевидным решением этого уравнения является

 

,

 

откуда

 

(3)

 

Граничные условия:

 

при ;

при

 

Находим и , , тогда

 

. (4)

Распределение T по толщине d

 

. (5)

 

Из полученного уравнения (5) видно, что в плоской стенке распределение Т является прямолинейным.

Поток тепла за счет теплопроводности определяется по закону Фурье

 

; (6)

 

. (7)

 

Здесь характеризует тепловую проводимость стенки, а – термическое сопротивление стенки.

Для многослойной стенки термическое сопротивление отдельных стенок необходимо суммировать

 

. (8)

 

Определим количество теплоты, передаваемое за время t через площадь F

 

, (9)

 

тогда расход тепла определяется как

 

. (10)

 

Здесь F – поверхность пластины; t – время.

Однако, приведенные расчетные формулы не всегда достаточны
для практического использования. Как, например, учесть термическое сопротивление стенки при теплопередаче? Большей частью бывает,
что температуры поверхностей Т₁ и Т₂ заранее неизвестны, но зато определены температуры Т_ср1 и Т_ср2 обеих сред, омывающих стенку,
и, кроме того, соответствующие коэффициенты теплоотдачи a₁ и a₂. Тогда для случая теплопередачи расход тепла запишется

 

.

 

Конвективный теплообмен

 

При конвекции перенос теплоты происходит макрообъемными частицами потока теплоносителя. Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью. Как известно, теплопроводность – явление молекулярное, конвекция – явление макроскопическое, при котором
в переносе теплоты участвуют целые слои теплоносителя с разными температурами. Конвекцией теплота переносится намного быстрее, чем теплопроводностью. Конвекция у поверхности стенки аппарата затухает.

1. Конвективный перенос теплоты описывается уравнением Фурье-Кирхгофа.

2. Закономерности течения среды описываются уравнениями Навье-Стокса (ламинарный режим) и Рейнольдса (турбулентный режим),

3. а также уравнением неразрывности.

 

Исследование закономерностей конвективного теплообмена можно провести в изотермической и неизотермической постановке.

 

В изотермической постановке сначала решаются уравнения Навье-Стокса и неразрывности, затем полученные значения скоростей используются для решения уравнения Фурье-Кирхгофа. Полученные таким способом значения коэффициентов теплоотдачи впоследствии уточняются, корректируются.

В неизотермической постановке уравнения Навье-Стокса, неразрывности и Фурье-Кирхгофа решаются совместно, с учетом зависимости теплофизических свойств среды от температуры.

 

Как показывают экспериментальные данные, зависимости с_р (Т), l(Т)
и r(Т) слабые, а m(Т) – очень сильная. Поэтому обычно учитывается только зависимость m(Т). Она, эта зависимость, может быть представлена в виде зависимости Аррениуса или, проще, в виде алгебраического уравнения. Таким образом, возникают так называемые сопряженные задачи.

В последнее время разработаны методы решения многих задач теплоотдачи в ламинарных потоках жидкости с учетом зависимости вязкости жидкости от температуры. Для турбулентных течений все сложнее. Однако можно использовать приближенные численные решения с помощью компьютерных технологий.

На плоской пластине

 

Рассмотрим поток, обладающий неизменными теплофизическими характеристиками (r, m, l, c_p = const), совершающий вынужденное движение вдоль плоской полубесконечной тонкой пластины и обменивающейся с ней теплом. Предположим, что неограниченный поток со скоростью
и температурой Т° набегает на полубесконечную пластину, совпадающую
с плоскостью х – z и имеющую температуру Т_ст = const.

Выделим гидродинамический и тепловой пограничные слои
с толщиной d_г и d_т соответственно (область 99 % изменение скорости w_x и температуры T). В ядре потока и Т° постоянны.

I. Ламинарные пограничные слои (рис. 1.3).

y

wx

Tст

(T–Tст)

dг(x)

dт(x)

x

x

z

 

Рис. 1.3. Гидродинамический и тепловой ламинарные пограничные слои

на плоской пластине

 

Проанализируем уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Задача двумерная, поскольку w_z, . По экспериментальным данным известно, что в гидродинамическом пограничном слое . В ядре потока const, поэтому, согласно уравнению Бернулли , в пограничном слое то же самое .

Как известно x > > d_г, поэтому

 

Следовательно, имеем

 

; (22)

 

. (23)

 

Записывать аналогичные уравнения для оси у не имеет смысла, так как w_y может быть найдена из уравнения неразрывности (22). Используя аналогичные процедуры можно упростить и уравнение Фурье-Кирхгофа

 

. (24)

 

Система дифференциальных уравнений (22)–(24) составляет изотермическую математическую модель плоского стационарного теплового ламинарного пограничного слоя.

 

Сформулируем граничные условия

на границе с пластиной, т.е. при у = 0: при любом х скорость w_x = 0 (условие прилипания). На границе и вне гидродинамического погранслоя,
т.е. при у ≥ d_г(х), а также при х = 0 для любого у: w_x = . Для поля температуры аналогичные рассуждения.

Итак, граничные условия:

 

w_x (x, 0) = 0, x > 0; w_x (x, ∞ ) = ; w_x (0, y) = ; (25)

T (x, 0) = T_ст, x > 0; T (x, ∞ ) = ; T (0, y) = . (26)

 

Точное решение этой задачи в виде бесконечных рядов было получено Блазиусом. Имеются более простые приближенные решения: метод интегральных соотношений (Юдаев) и теорема импульсов (Шлихтинг). А.И. Разиновым задача была решена методом сопряженного физического
и математического моделирования. Были получены профили скоростей
w_x (x, y), w_y (x, y) и температур Т, а также толщины пограничных слоев
d_г(x) и d_т (х)

 

; (27)

 

, Pr ≥ 1; (28)

 

Pr = ν /a.

 

Коэффициент А в формуле (27) у Разинова – 5, 83; Юдаева – 4, 64; Блаузиуса – 4; Шлихтинга – 5, 0. Примерный вид найденных зависимостей приведен на рис. 1.3.

Как известно, для газов Pr ≈ 1, капельных жидкостей Pr > 1.

Полученные результаты позволяют определить коэффициенты импульсо-и теплоотдачи. Локальные значения γ (x) и Nu_{г, x}

 

поэтому

,

где . (29)

 

Усредненные значения и по участку длиной l

 

, , . (30)

 

ИТОГ для теплоотдачи

 

; (31)

 

, . (32)

 

В данном случае аналогия тепло- и импульсоотдачи сохраняется (исходные уравнения одинаковы, граничные условия подобны). Критерий, характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи имеет вид

 

P_{т-г, x} = Nu_{т, x} / Nu_{г, x} = Pr^1/3. (33)

 

Если Pr = 1, то P_{т-г, x} = 1, следовательно полная аналогия процессов импульсо- и теплоотдачи.

Из полученных уравнений следует

 

γ ~ , m; a ~ , l. (34)

 

Как правило, подобная качественная зависимость выполняется
не только для плоского погранслоя, но и для более сложных случаев.

II. Турбулентные пограничные слои (рис. 1.4)

 

у

х

dг dт

dт = dг

турбулентный слой

переходная область

z

внешняя область

d1т

пристенная область

d1г

- Tст

ламинарный слой

Tст

Рис. 1.4. Гидродинамический и тепловой турбулентные пограничные слои

на плоской пластине

 

Задача рассматривается в изотермической постановке, тепловые граничные условия первого рода Т_ст = const.

По мере удаления от кромки пластины (увеличения координаты х) происходит рост d_г(х). При этом неоднородность поля скорости w_x распространяется в области все более удаленные от границы раздела фаз,
что является предпосылкой возникновения турбулентности. Наконец, при Re_{x, кp} начинается переход ламинарного режима в турбулентный. Переходная зона соответствует значениям х, рассчитанным по Re_x от 3, 5 × 10⁵ ÷ 5 × 10⁵.
На расстояниях Re_x > 5 × 10⁵ весь пограничный слой турбулизируется,
за исключением вязкого или ламинарного подслоя толщиной d_1г. В ядре потока скорость не меняется. Если Pr > 1 то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой толщиной d_1т, в котором молекулярный перенос тепла преобладает над турбулентным.

Толщина же всего турбулентного теплового пограничного слоя обычно определяется из условия ν _т = а_т, следовательно d_г = d_т.

Сначала рассмотрим турбулентный гидродинамический пограничный слой (рис. 1.4). Оставим в силе все приближения, сделанные для ламинарного слоя. Единственное отличие – наличие ν _т (у), поэтому

 

. (35)

 

Сохраним и граничные условия. Решением системы уравнений (35)
и (22) с граничными условиями (25), используя полуэмпирическую модель пристенчатой турбулентности Прандтля, можно получить характеристики турбулентного пограничного слоя. В вязком подслое, где реализуется линейный закон распределения скорости, можно пренебречь турбулентным переносом импульса, а вне его молекулярным. В пристенной области (за вычетом вязкого подслоя) обычно принимается логарифмический профиль скорости, а во внешней области – степенной закон с показателем 1/7 (рис. 1.4).

Как и в случае ламинарного пограничного слоя возможно использование осредненных по длине l коэффициентов импульсоотдачи

 

. (36)

 

Рассмотрим тепловой турбулентный пограничный слой. Уравнение энергии имеет вид

 

. (37)

 

Если Pr > 1, то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой, где молекулярный перенос тепла

 

. (38)

 

Для локального коэффициента теплоотдачи решение математической модели имеет вид

 

. (39)

 

Среднее по длине пластины значение определяется так

 

. (40)

 

Ниже представлены образование турбулентного пограничного слоя (а) и распределение локального коэффициента теплоотдачи (б) при продольном обтекании плоской полубесконечной пластины (рис. 1.5).

 

 

y

x

dт

d1, т

d1, г

δ г = dт

lкр

x

ламинарный слой

переходная зона

турбулентный слой

a

dг

 

Рис. 1.5. Пограничные слои d_г и d_т и локальный коэффициент теплоотдачи a

на плоской пластине

В ламинарном слое (х ≤ l_кр) тепловой поток реализуется только за счет теплопроводности, для качественной оценки можно использовать соотношение a ~ .

В переходной зоне общая толщина пограничного слоя увеличивается. Однако значение a при этом увеличивается, потому что толщина ламинарного подслоя уменьшается, а в образующемся турбулентном слое тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией вместе
с перемещающейся массой жидкости, т.е. более интенсивно. В результате суммарное термическое сопротивление теплоотдачи убывает. В зоне развитого турбулентного режима коэффициент теплоотдачи вновь начинает убывать из-за возрастания общей толщины пограничного слоя a ~ .

Итак, рассмотрены гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине. Качественный характер полученных зависимостей справедлив и для пограничных слоев, образующихся при обтекании более сложных поверхностей.

 

 

Теплообмен в круглой трубе

 

Рассмотрим стационарный теплообмен между стенками горизонтальной прямой трубы круглого сечения и потоком, обладающим неизменными теплофизическими характеристиками и движущимся за счет вынужденной конвекции внутри нее. Примем тепловые граничные условия первого рода, т.е. Т_ст = const.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. ТЕПЛООБМЕН......................................
1.1. Кондуктивный теплообмен в плоской стенке................
1.2. Кондуктивный теплообмен в цилиндрической стенке.........
1.3. Конвективный теплообмен................................
1.3.1. Гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине.......................................
1.3.2. Теплообмен в круглой трубе...........................
1.3.3. Теплообмен с телами сложной формы...................
1.4. Теплообмен при изменении теплофизических характеристик теплоносителя и его фазового состояния........................
1.4.1. Теплоотдача при конденсации пара.....................
1.4.2. Теплоотдача при кипении жидкостей...................
1.5. Теплообмен при непосредственном контакте теплоносителей..
1.6. Радиационно-конвективная теплоотдача. Тепловое излучение..
1.7. Оптимизация и интенсификация теплообмена...............
Контрольные вопросы.........................................
2. ПРОМЫШЛЕННЫЕ СПОСОБЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА.....
2.1. Подвод теплоты.........................................
2.1.1. Нагревание водяным паром и парами высокотемпературных теплоносителей...........................................
2.1.2. Нагревание горячими жидкостями......................
2.2. Отвод теплоты..........................................
2.3. Классификация и конструкция теплообменников.............
2.3.1. Рекуперативные теплообменники......................
2.3.2. Регенеративные теплообменники.......................
2.3.3. Смесительные теплообменники........................
2.4. Методика расчета теплообменника.........................
2.4.1. Проектный расчет теплообменника.....................
2.4.2. Поверочный расчет теплообменника....................

 

Тепловые процессы

И аппараты

ТЕПЛООБМЕН

 

Химические технологические процессы протекают в заданном направлении только при определенных температурах, которые создаются путем подвода или отвода тепловой энергии (теплоты). Процессы, скорость протекания которых зависит от скорости подвода или отвода теплоты, называются тепловыми. Движущей силой тепловых процессов является разность температур между фазами. Аппараты, в которых осуществляются тепловые процессы, называются теплообменниками, в них тепло переносится теплоносителями.

Расчет теплообменных процессов и аппаратов сводится обычно к определению межфазной поверхности теплообмена. Эта поверхность находится из уравнения теплопередачи в интегральной форме. Коэффициент теплопередачи, как известно, зависит от коэффициентов теплоотдачи фаз, а также от термического сопротивления стенки. Ниже будут рассмотрены способы их определения, нахождение поля температур и тепловых потоков. Там, где это возможно, искомые величины находятся из решения уравнений законов сохранения, а в остальных случаях используются упрощенные математические модели или метод физического моделирования.

 

Кондуктивный теплообмен в плоской стенке

 

Рассмотрим теплообмен в неподвижной плоской стенке
из однородного материала, теплофизические свойства которого постоянны
(с_p, l, r = const) (рис. 1.1).

y

T1

T2

x

d

λ

Рис. 1.1. Распределение температуры в плоской стенке

 

Общее уравнение нестационарной теплопроводности Фурье имеет вид

 

(1)

 

Процесс теплообмена стационарный, тогда . Считаем,
что высота и длина гораздо больше толщины стенки d, следовательно, теплообмен по этим направлениям отсутствует, тогда температура изменяется лишь вдоль одной координаты х, отсюда имеем

 

 

Поскольку , имеем

 

(2)

 

Очевидным решением этого уравнения является

 

,

 

откуда

 

(3)

 

Граничные условия:

 

при ;

при

 

Находим и , , тогда

 

. (4)

Распределение T по толщине d

 

. (5)

 

Из полученного уравнения (5) видно, что в плоской стенке распределение Т является прямолинейным.

Поток тепла за счет теплопроводности определяется по закону Фурье

 

; (6)

 

. (7)

 

Здесь характеризует тепловую проводимость стенки, а – термическое сопротивление стенки.

Для многослойной стенки термическое сопротивление отдельных стенок необходимо суммировать

 

. (8)

 

Определим количество теплоты, передаваемое за время t через площадь F

 

, (9)

 

тогда расход тепла определяется как

 

. (10)

 

Здесь F – поверхность пластины; t – время.

Однако, приведенные расчетные формулы не всегда достаточны
для практического использования. Как, например, учесть термическое сопротивление стенки при теплопередаче? Большей частью бывает,
что температуры поверхностей Т₁ и Т₂ заранее неизвестны, но зато определены температуры Т_ср1 и Т_ср2 обеих сред, омывающих стенку,
и, кроме того, соответствующие коэффициенты теплоотдачи a₁ и a₂. Тогда для случая теплопередачи расход тепла запишется

 

.

 

1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки
2. Вычисление площади плоской фигуры
3. Г.9 Типовая операционная технологическая карта сборки и сварки соединений при замене патрубков в стенке резервуара в процессе ремонта
4. КОЖУХОТРУБЧАТЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК ОТНОСИТСЯ К
5. Кондуктивный теплообмен в цилиндрической стенке
6. ОБСЛУЖИВАНИЕ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ И ТРУБОПРОВОДОВ
7. Определение поверхности теплообмена
8. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
9. Расчет поверхности теплообмена выпарного аппарата
10. Расчет теплообменных аппаратов.
11. Расчёт теплоотдачи, теплопередачи и определение площади поверхности теплообмена