П.1.1.4. Линейные ДУ первого порядка

Опр. Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

Вид: .

Если , то ДУ называется линейным однородным и сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Если , то ДУ называется линейным неоднородным, и решение его может быть найдено методом Бернулли, который заключается в следующем. Делаем подстановку: , тогда , где .

Получаем .

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например, v) может быть выбрана произвольно, за v принимаем любое частное решение уравнения (например, ).

Тогда предыдущее уравнение примет вид .

Т.о. общее решение ДУ находится

Пример:

Найти общее решение ДУ .

Решение:

Вводим замену: , .

Получаем:

Т.о., общее решение ДУ .

Найдем частное решение ДУ при начальном условии .

Получаем: , есть частное решение.

ДУ второго порядка

П.1.2.1. Основные понятия

Опр. Уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y(x), а также её первые две производные , называется ДУ второго порядка.

Вид: или .

Задача Коши в случае ДУ второго порядка выглядит:

, .

Опр. Решением ДУ второго порядка называется всякая функция , которая при подстановке вместо в это уравнение обращает его в тождество.

Опр. Общим решением ДУ второго порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных и такая, что:

1) Она является решением этого уравнения при любых конкретных значениях ;

2) При любых допустимых начальных условиях можно подобрать такие значения постоянных, что функция будет удовлетворять этим начальным условиям.

Опр. Любая функция , получающаяся из общего решения при конкретных значениях , называется частным решением этого уравнения.

Теорема Существования и единственности решения ДУ второго порядка.

Если функция и её частные производные непрерывны в некоторой области D, содержащей точку , то существует и притом единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

П.1.2.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим наиболее типичные случаи.

Уравнения вида

Используется метод двукратного интегрирования.

или

Пример:

Решить задачу Коши , .

, получили общее решение ДУ II.

Подставим начальные условия:

Т.о., есть частное решение ДУ II.

ДУ , явно не содержащие искомой функции y

Используется замена:

Заметим, что .

После замены получим ДУ первого порядка (с разд.переменными, однородное или линейное).

Пример:

Найти общее решение ДУ .

Решение:

есть общее решение ДУ II.

ДУ , явно не содержащие независимой переменной x

Используется замена:

Заметим, что .

После замены получим ДУ первого порядка (с разд.переменными, однородное или линейное).

Пример:

Найти общее решение ДУ .

Решение:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

П.1.3.1. Основные понятия

Опр. Уравнение вида (1), где - независимая переменная, - искомая функция, - заданные функции, причем непрерывна на отрезке , называется линейным ДУ II порядка.

Если , то уравнение (1) называется однородным, если , то уравнение (1) называется неоднородным.

Выразим из уравнения (1):

(2)

(3)

(4)

Задача (2) – (4) есть задача Коши для линейного ДУ второго порядка.

П.1.3.2. Линейные однородные ДУ (ЛОДУ) второго порядка

С постоянными коэффициентами

Опр. ЛОДУ второго порядка называется уравнение вида . (5)

Теорема. 1)Если k вещественный корень уравнения (6), то функция является решением уравнения (5).

2) Если комплексные числа , где , является решениями уравнения (6), то функции и являются решениями уравнения (5).

Опр. Квадратное уравнение (6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ второго порядка (5).

Теорема. 1) Если корни характеристического уравнения действительные и различные числа , то общее решение ДУ (5) имеет вид:

2) Если корни характеристического уравнения действительные и равны , то общее решение ДУ (5) имеет вид:

3) Если корни уравнения (6) комплексно-сопряженные, т.е. , то общее решение ДУ (5) имеет вид: .

Примеры:

⇐ Предыдущая 12