Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

П.1.1.1. Основные понятия

Опр. Диф.уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или более, то уравнение называется диф.уравнением в частных производных.

Обозначение: , (разрешенное относительно старшей производной), .

Опр. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ.

Рассмотрим примеры ДУ:

1. ; ОДУ первого порядка

2. ; ОДУ второго порядка

3. ; ОДУ второго порядка

4. ; Уравнение в частных производных первого порядка

Данная глава посвящена только ОДУ, т.е. уравнение в частных производных рассматриваться здесь не будут, поэтому говоря ДУ, мы всюду далее будем понимать ОДУ.

В данном параграфе рассматриваются ДУ первого порядка.

Общий вид ДУ первого порядка: или в разрешенном виде относительно производной .

Опр. Решением ДУ называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.

Опр. Общим решением ДУ первого порядка в области D называется функция , обладающая свойствами:

1) Она является решением данного уравнения при любых значениях постоянной ;

2) Для любого начального условия такого, что , существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Опр. Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.

Опр. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши.

С геометрической точки зрения общее решение ДУ представляет собой семейство так называемых интегральных кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С, а график частного решения, удовлетворяющего начальному условию , - есть кривая этого семейства, проходящая через точку .

Теорема о существовании и единственности решения ДУ (теорема Коши).

Если в уравнении функция и её частная производная по y непрерывны в некоторой области D на плоскости Оxy, то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

С геометрической точки зрения: существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .

П.1.1.2. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными

Рассмотрим ДУ следующих видов:

1. ;

2. ;

3. .

В первом случае, полагая, что и :

Мы получили соотношение, связывающее функцию y, независимую переменную x и произвольную постоянную С, т.е. мы получили общее решение ДУ.

Второй случай:

Третий случай:

Рассмотрим примеры:

1. Найти общее решение ДУ .

Решение: Преобразуем к виду .

есть общее решение ДУ.

2. Найти общее и частное решение ДУ , при

Решение:

есть общее решение ДУ. Найдем частное: С = 1, есть частное решение.

П.1.1.3. Однородные ДУ первого порядка

Опр. Функция называется однородной функцией n-ого измерения относительно переменных x, y, если при любом справедливо тождество:

Пример:

есть однородная функция второго измерения, т.к.

Опр. ДУ первого порядка называется однородным относительно x и y, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y.

Опр. Уравнение вида называется однородным, если функции и - однородные функции одного измерения.

Однородное ДУ может быть приведено к виду .

Решение однородного ДУ первого порядка:

сделаем подстановку , где , при этом , тогда данное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными (с новой переменной t).

Пример:

Найти общее решение ДУ .

Решение:

есть общее решение ДУ.

Д.з.1. Разобрать самостоятельно тему: ДУ первого порядка, приводящиеся к однородным.

ДУ второго порядка

П.1.2.1. Основные понятия

Опр. Уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y(x), а также её первые две производные , называется ДУ второго порядка.

Вид: или .

Задача Коши в случае ДУ второго порядка выглядит:

, .

Опр. Решением ДУ второго порядка называется всякая функция , которая при подстановке вместо в это уравнение обращает его в тождество.

Опр. Общим решением ДУ второго порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных и такая, что:

1) Она является решением этого уравнения при любых конкретных значениях ;

2) При любых допустимых начальных условиях можно подобрать такие значения постоянных, что функция будет удовлетворять этим начальным условиям.

Опр. Любая функция , получающаяся из общего решения при конкретных значениях , называется частным решением этого уравнения.

П.1.3.1. Основные понятия

Опр. Уравнение вида (1), где - независимая переменная, - искомая функция, - заданные функции, причем непрерывна на отрезке , называется линейным ДУ II порядка.