ПАРАМЕТРЫ И ПРОЦЕССЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ И ИХ СМЕСЕЙ

Расчет калорических параметров

Внутренняя энергия (u), энтальпия (h), энтропия (s) являются калорическими параметрами и рассчитываются по формулам через термические параметры p, v, T. Расчетные формулы могут быть получены на основании дифференциальных связей термодинамики:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

которые, в свою очередь, получены на основании первого и второго законов термодинамики.

Внутренняя энергия, энтальпия

Из выражений (4.1) при v = const и из (4.2) при р = const следует

Для идеального газа внутренняя энергия и энтальпия являются функциями только температуры:

поэтому

(4.5)

(4.6)

где Т₀– температура начала отсчета внутренней энергии и энтальпии.

По формулам (4.5) и (4.6) с учетом зависимости теплоемкости от температуры рассчитаны значения u и h для различных газов и представлены в таблицах термолдинамических свойств газов [7].

Изменение внутренней энергии и энтальпии в

произвольном процессе 1-2 можно рассчитать следующим образом:

- через табличные значения параметров:

, (4.7)

Δ h = h₂-h₁; (4.8)

- через средние теплоемкости в данном интервале температур (t₁-t₂):

(4.9)

(4.10)

- через табличные теплоемкости

(4.11)

(4.12)

- при постоянной теплоемкости, без учета ее зависимости от температуры:

(4.13)

(4.14)

- с использованием формул типа

(4.15)

(4.16)

Энтропия

Совместное решение (4.3) и (4.4) с уравнением состояния идеального газа pv = RT дает

ds = c_vdT/T + Rdv/v, ds = c_pdT/T-Rdp/p.

Интегрируя эти выражения, получаем

(4.17)

(4.18)

где Т_о, p_o, v_o-параметры начала отсчета энтропии.

Интеграл представляет собой часть энтропии, зависящую только от температуры. Значения s° =f(t) для различных газов приведены в таблицах [7]. Тогда энтропию можно рассчитать по формуле

(4.19)

где р_о= 1 бар, p/p_o -относительное давление (безразмерная величина).

Изменение энтропии (Δ s) в произвольном процессе 1-2 можно рассчитать следующим образом:

- через табличные значения s°

(4.20)

- через средние теплоемкости в данном интервале температур (

, (4.21)

(4.22)

- при постоянной теплоемкости формулы аналогичны (4.21) и (4.22);

- при переменной теплоемкости с использованием формул типа

(4.23)

(4.24)

Приведенные расчетные формулы справедливы для любых процессов (изохорных, изобарных и т.д.), т.к. изменение параметров не зависит от характера процесса.

Калорические параметры смесей идеальных газов рассчитываются по формулам вида:

Дж/кг, (4.25)

, Дж/кг, (4.26)

Дж/(кгК). (4.27)

Расчет процессов идеального газа

Все многообразие процессов можно разделить на следующие группы: изохорные, изобарные, изотермические, адиабатные, политропные.

Цель расчета процесса - определение параметров в начальном и конечном состояниях, а также теплоты и работы процесса. Расчет процессов, как правило, сопровождается графическим представлением их в p-v- и T-s- диаграммах (Рис. 4.1, Рис. 4.2).

Изобары в T-s- диаграмме располагаются эквидистантно между собой и с увеличением давления смещаются влево; построены на основании уравнения (4.18).

Изохоры в T-s- диаграмме располагаются также эквидистантно между собой и с увеличением объема смещаются вправо; для построения изохор использовалась формула (4.17).

Изотермы в p-v- диаграмме представляют собой симметричные гиперболы, отражающие связь между р и v в изотермическом процессе

pv = const. (4.28)

Адиабаты (изоэнтропы) в p-v- диаграмме - несимметричные гиперболы, отражающие связь между давлением и объемом в адиабатном обратимом процессе,

pv^k= const (4.29)

располагаются круче изотерм, т.к. показатель адиабаты к > 1.

Изобарный процесс

Дано: параметры начального состояния р₁, v₁, удельный объем конечного cостояния v₂.

Определить: недостающие термические параметры Т₁ и Т₂, работу и теплоту процесса (w, l, q).

Изобарный процесс, построенный на основании исходных данных (р₁, v₁, v₂), в p-v- и T-s- диаграммах представлен на. 4.3 и 4.4.

Из уравнения состояния для точки 1 определяется температура T_i:

p₁v₁=RT₁→ T₁

Сравнение уравнений состояния для точек 1 и 2 при условии

p₁=p₂=p=const

pv₁=RT₁, pv₂=RT₂

дает связь между v и Тв изобарном процессе:

v₂/v₁=T₂/T₁ (4.30)

из которой можно определить искомую температуру Т₂.

Формулы для расчета работы и теплоты изобарного процесса легко получить на основании уравнений

Отсюда при р = const имеем

w=p (v₂-v₁), (4.31)

1 = 0, (4.32)

q = Δ h. (4.33)

Работа и теплота изобарного процесса в диаграммах представлены заштрихованными площадями. Работа положительна (w > 0), т.к. v₂ > v₁ теплота подводится (q> 0), поскольку s₂ > s₁.

Из T-s- диаграммы следует: изменение энтальпии (Δ h) любого процесса, осуществляемого в интервале температур Т/ - Т₂, характеризуется площадью под изобарой в этом интервале температур.

Изохорный процесс

Дано: параметры начального состояния р₁, v₁, давление конечного состояния р₂ (р₂ > p₁).

Определить: недостающие термические параметры T₁ и T₂, работу и теплоту процесса (w, I, q).

Изохорный процесс, построенный на основании исходных данных (p₁, v₁, p₂) в диаграммах p-v и T-s, представлен на рис. 4.5 и 4.6.

Из уравнения состояния для точки 1 определяется температура Т₁ = p₁v₁/R. Сравнение уравнений состояния для точек 1 и 2 при условии v₁ = v₂ = v = const (p₁v = RT₁, p₂v=RT₂) дает связь между давлением и температурой в изохорном процессе:

p₂/p₁=T₂/T₁, (4.34)

из которой можно рассчитать температуру Т₂.

Формулы для расчета работы и теплоты изохорного процесса получены на основании уравнений:

При v = const получаем

w = 0, (4.35)

l=v(p₁-p₂), (4.36)

q = Δ u. (4.37)

Работа и теплота изохорного процесса в p-v- и T-s- диаграммах представлена заштрихованными площадями. Работа затрачивается (l < 0), т.к. р₂ > p₁, теплота подводится (q > 0), поскольку s₂ > s₁.

Из T-s- диаграммы следует: изменение внутренней энергии (Δ и) любого процесса, осуществляемого в интервале температур Т₁-Т₂, характеризуется площадью под изохорой в этом интервале температур.

Изотермический процесс

Дано: параметры начального состояния p₁, v₁, давление конечного состояния р₂(р₂ > p₁).

Определить: недостающие термические параметры Т₁ и v₂, работу и теплоту процесса (w, I, q).

Изотермический процесс, построенный на основании исходных данных (p₁, v₁, p₂) в диаграммах p-v и T-s, представлен на рис. 4.7 и 4.8.

Из уравнения состояния для точки 1 определяется температура Т = p₁· v//R. Сравнение уравнений состояния для точек 1 и 2 при условии Т₁ = Т₂ = Т = const (p₁v₁ = RT, p₂v₂ = RT) дает связь между давлением и объемом в изотермическом процессе:

p₂/p₁=v₁/v₂38)

из которой можно определить удельный объем v₂.

Формулы для расчета работы и теплоты изотермического процесса получены на основании уравнений:

Для идеального газа при T= const имеем

(4.39)

q=w=l, (4.40)

Для расчета теплоты (работы) изотермического процесса можно использовать формулы

(4.41)

(4.42)

Работа и теплота изотермического процесса в p-v- и T-s- диаграммах представлена заштрихованными площадями. Равенство работ w и l подтверждается симметрией изотермы относительно осей координат. Работа процесса w < 0, т.к. v₂ < v₁; работа l < 0, поскольку р₂ > р₁ теплота отводится (q < 0), т.к. s₂< s₁.

Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс, который протекает без теплообмена с
окружающей средой (dq =0).

В обратимых адиабатных процессах энтропия не изменяется (ds = 0, s = const), в необратимых - энтропия увеличивается (ds > 0).

Уравнение обратимого адиабатного процесса имеет вид

pv^k=const, (4.43)

где к- показатель адиабаты.

Для идеального газа

(4.44)

Для одноатомного идеального газа показатель адиабаты не зависит от температуры

k=1+8, 314/12, 48=1, 67=const.

Для двух-, трех- и многоатомных идеальных газов k=f(T), т.к. теплоемкость μ с_v=f(T). С увеличением температуры показатель адиабпты убывает.

Если принять теплоемкость постоянной в соответствии молекулярно-кинетической теорией газов, то для двухатомных газов

k=1+8, 314/20, 8=1, 4,

для трех- и многоатомных газов:

k=1+8, 314/29, 1=1, 29.

Расчет адиабатных процессов двух-, трех- и многоатомных газов при значениях показателя адиабаты 1, 4; 1, 29 является приближенным, т.к. не учитывает зависимость теплоемкости от температуры.

Совместное решение (4.43) с уравнением состояния идеального газа pv = RT дает следующие связи параметров:

(4.45)

(4.46)

Для адиабатного процесса 1-2, в котором параметры изменяются от p₁, v₁, Т₁ до р₂, v₂, T₂, на основании уравнений (4.43), (4.45), (4.46) можно получить следующие соотношения между параметрами:

p₂/p₁=(v₁/v₂)^k, (4.47)

T₂/T₁=(p₂/p₁) (4.48)

T₂/T₁=(v₂/v₁) (4.49)

Совместное решение уравнений

позволяет получить расчетные формулы для работы адиабатного процесса 1-2:

(4.50)

(4.51)

С учетом уравнения состояния pv = RT, а также соотношения (4.48) формулу (4.50) можно представить следующим образом:

(4.52)

(4.53)

По формулам (4.46) - (4.53) производят расчеты адиабатных процессов одноатомного идеального газа и приближенные расчеты двух-, трех- и многоатомных газов при значениях к= 1, 4, к=1, 29.

Расчет адиабатных процессов с учетом зависимости k = f(T) по вышеприведенным формулам прост, если известны температуры T₁ и T₂. В противном случае используется метод последовательных приближений, что значительно усложняет расчет.

Более простым является табличный метод расчета адиабатного процесса идеального газа с учетом зависимости теплоемкости от температуры. В основе расчета лежат следующие уравнения:

(4.54)

(4.55)

w = u₁-u₂, (4.56)

l = h₁-h₂. (4.57)

Здесь - безразмерные величины, приведенные в таблицах термодинамических свойств газов [7], h, и - табличные значения параметров.

Обратимый адиабатный процесс сжатия идеального газа, построенный по исходным параметрам p₁, T₁, р₂ в p-v- и T-s- диаграммах, представлен на рис. 4.9 и 4.10.

В p-v- диаграмме адиабата - несимметричная гипербола располагается круче изотермы, в T-s- диаграмме - изоэнтропа (s = const, q = 0).

Необратимые адиабатные процессы (1-2 ), протекающие с увеличением энтропии, показаны на рис. 4.11, 4.12.

Работа необратимого адиабатного расширения (.4.11) равна

и она меньше работы обратимого процесса, вычисляемого по формуле

Напротив, работа необратимого адиабатного сжатия (.4.12), равная

больше работы обратимого процесса

Политропные процессы

Политропные процессы описываются уравнением

(4.58)

где n – показатель политропы, который не зависит от температуры (n=const) и изменяется в пределах от -∞ до ∞.

Внешняя схожесть уравнений (4.43) и (4.58) позволяет записать расчетные формулы политропного процесса, аналогичные адиабатному:

(4.59)

(4.60)

(4.61)

(4.62)

(4.63)

(4.64)

l=nw. (4.65)

Теплота политропного процесса'рассчитывается по уравнению

(4.66)

где с_n- теплоемкость политропного процесса.

Все многообразие процессов можно описать политропой с показателем -∞ < n < ∞. Изохорный, изобарный, изотермический, адиабатный процессы являются частным случаем политропных процессов с определенным показателем п. Подставляя конкретные его значения в формулы (4.58) и (4.66), можно доказать, что при:

п = 0: с_n = с_р, р=const - процесс изобарный;

п = 1: с_n = ∞, pv = const - процесс изотермический;

п=к: с_n = 0, pv^k = const - процесс адиабатный;

n = ±∞: с_n = c_v, v = const - процесс изохорный.

На рис. 4.13 и 4.14 в р-v- и T-s- диаграммах представлено все множество политропных процессов с показателем п, изменяющихся от -∞ до ∞.

Можно выделить следующие группы процессов:

1. Процессы расширения (dv > 0, dw> 0)- области 1, 2, 3, 4.

2. Процессы сжатия (dv < 0, dw < 0) - области 5, 6, 7, 8.

3. Процессы подвода теплоты (ds > 0, dq> 0)- области 8, 1, 2, 3.

4. Процессы отвода теплоты (ds < 0, dq< 0)- области 4, 5, 6, 7.

5. Процессы, протекающие с увеличением температуры (dT > 0, du > 0,
dh > 0) - области 7, 8, 1, 2.

6. Процессы, протекающие с уменьшением температуры (dT < 0, du < 0,

dh < 0) - области 3, 4, 5, 6.

7. Процессы с отрицательной теплоемкостью (с_n < 0, 1 < п < к) - области 3, 7.

В области 3 при подводе теплоты (dq > 0) температура, внутренняя энергия, энтальпия уменьшаются (dT < 0, du < O, dh< 0). В области 7 при отводе теплоты (dq < 0) температура, внутренняя энергия, энтальпия увеличиваются (dT > 0, du > 0, dh > 0). Это может быть только при отрицательной теплоемкости. В процессах с отрицательной теплоемкостью |w| > |q|, поэтому на производство работы при расширении тратится не только подводимая теплота, но и часть внутренней энергии рабочего тела, а затрачиваемая работа на сжатие компенсирует не только отводимую теплоту, но и повышает внутреннюю энергию рабочего тела.

При изображении политропных процессов в диаграммах p-v и T-s необходимо определить область, к которой они принадлежат, путем сравнения показателя политропы с_n = k, п =1 и т.д.

Политропньй процесс газа с показателем 1< п< k, построенный по исходным параметрам р₁, t₁, p₂ (p₂ > p1) в p-v- и T-s- диаграммах представлен на рис. 4.15 и 4.16.

В p-v- диаграмме политропа - несимметричная гипербола, которая располагается круче изотермы, т.к. п> 1.

В T-s- диаграмме политропа - логарифмическая кривая, которая располагается между изотермой и изоэнтропой, т.к. 1< п < k.

Методические указания

При расчетах изменения калорических параметров (Δ и, Δ h, Δ s), теплоты и работы в процессах идеального газа в одних случаях допускается подставлять температуру как в градусах Цельсия, так и в градусах Кельвина, например Δ и =c_v(t₂-t₁), Δ u = с_v(Т₂-Т₁), в других - только в градусах Кельвина, например

Δ s = с_vln(T₂ /T₁)+ R ln(v₂ / v₁).

В одних величинах допускается при записи размерности использовать как градусы Цельсия (°С), так и градусы Кельвина (К), например, удельной теплоемкости,

с, Дж/(кг °С), или с, Дж/(кг К),

в других - только градусы Кельвина, например, удельной газовой постоянной и энтропии,

R, Дж/(кг К), s, Дж/(кг К).

Почему это так?

Дифференцирование связи температур

Т= t + 273, 15

дает dT=dt, т.е. разность температур в абсолютной шкале и в стоградусной шкале одна и та же. Это значит, что цена одного градуса в обеих шкалах одинакова. Следовательно, когда речь идет о разности температур, правомерно использовать любые градусы:

c = dq/dT, с=dq/dt, Δ и = c_vΔ T, Δ и = c_vΔ t.

В тех случаях, когда речь идет о температуре или об отношении температур,

pv = RT→ R, Дж/(кг К), ds=dq/T,

Δ s = c_p ln (T₂ /T₁)-Rln(р₂/ р₁), Дж /(кг К)

температура подставляется только в градусах Кельвина.

Задачи

1. При сжатии в компрессоре параметры воздуха изменились от р₁ =1 бар, t₁ = 20 °С, до р₂ = 6 бар, t₂ = 440 °С. Рассчитайте изменение энтальпии (Δ h), внутренней энергии (Δ и), энтропии (Δ s):

а) используя таблицы термодинамических свойств газов [7]; таблица для воздуха дана в Приложении.

б), при постоянной теплоемкости, принятой соглаено молекулярно-кинетической теории газов.

2. Рассчитайте изменение энтальпии воздуха при нагреве его от 0 до

300 °С:

а) используя формулу зависимости теплоемкости от температуры для
воздуха

μ с_р = 28, 7558 + 0, 005721 · t, кДж/(кмоль °С);

б) используя табличные значения средних теплоемкостей с_рт(см. При
ложение).

3. Рассчитайте эксергию потока гелия с параметрами р = 6 бар, t = 400
°С. Параметры окружающей среды: t_ос = 20⁰С, р_ос = 1 бар. Мольная масса гелия μ = 4 кг/кмоль.

Решение

Эксергия потока гелия

Поскольку гелий - одноатомный газ, его теплоемкость постоянна и рав-

на:

Тогда

Ответ: ex= 1800, 2 кДж/кг.

4. Параметры воздуха изменились от p₁ = 1 бар, t₁ =0 °С до t₂= 200 °С:

а) в изобарном процессе;

б) в изохорном;

в) в адиабатном;

г) в политропном с показателем n = 1, 2.

Определите для каждого из процессов показатель политропы (n), тепло
емкость (с), изменение энтропии (Δ s), теплоту (q). Представьте процессы в Т-
s- диаграмме.

Теплоемкость принять постоянной согласно молекулярно-кинетической
теории газов.

5. При адиабатном сжатии параметры воздуха изменились от р₁ = 1 бар, t₁=10°C до p₂=30 бар.

Определите конечную температуру воздуха для случаев:

а) с учетом зависимости теплоемкости от температуры, используя табличные значения π ₀;

б) без учета зависимости теплоемкости от температуры, приняв ее постоянной, согласно молекулярно-кинетической теории газов.

Решение

1. Из табл. 2 Приложения для воздуха при t₁ = 10 °С берется значение
π ₀₁ =1, 1323.

С помощью соотношения (4.55) рассчитывается

По значению π ₀₂ из таблицы находится t₂= 458, 5 °С.

2. Температура воздуха рассчитывается по соотношению (4.48) при
k= 1, 4:

Ответ: a) t₂ = 458, 5 °С; б) t₂ = 474, 9 °С.

Ответы

1. a) Δ h= 434 кДж/кг, Δ и= 313, 6 кДж/кг, Δ s = 0, 4 кДж/(кг-К);
б) Δ h= 420 кДж/кг, Δ u= 301, 1 кДж/кг, Δ s= 0, 376 кДж/(кг· К).

2. а) Δ h= 306, 4 кДж/кг, б) Δ h= 305, 7 кДж/кг.
4.

Процессы	n	с, кДж/(кг· К)	Δ s, кДж/(кг· К)	q, кДж/кг
Изобарный			0, 55
Изохорный	∞	0, 72	0, 396	79, 2
Адиабавтный	1, 4
Политропный	1, 2	-0, 72	-0, 396	-79, 2

T-s- диаграмма

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПАРЫ

Об особенностях реальных газов по сравнению с идеальными, об уравнении состояния и сложности его использования для инженерных расчётов упоминалось в гл. 1.

Настоящая глава посвящена водяному пару, который широко применяется во многих технологических процессах и, прежде всего, в теплоэнергетике, где он является основным рабочим телом.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒