Периметр треугольника, формула.

2. Сме́ жные углы́ — это пара углов с общей вершиной и одной общей стороной. Две другие стороны составляют продолжение одна другой и образуют прямую линию. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. То есть, величина угла, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180 - α ) градусов. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Рис.1

Теорема 1.Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180°.

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Рис.2

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2.Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1.Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рис.3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рис.4

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Рис.5

Справедлива следующая теорема.

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник

Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник

Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную
геометрическую фигуру:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.12 окт. 2013 г.

Катет, лежащий против угла 30 градусов

Утверждение

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Опубликовано: 21 июня 2009.

Рубрика: Взаимное расположение плоскостей и прямых..

Cледствия из аксиомы

След­ствие1:

Если пря­мая пе­ре­се­ка­ет одну из па­рал­лель­ных пря­мых, то она пе­ре­се­ка­ет и дру­гую.

Рис. 3

Дано: .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство:

Будем до­ка­зы­вать от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что с не пе­ре­се­ка­ет пря­мую b (Рис. 4).

Рис. 4

Тогда: (по усло­вию), (по пред­по­ло­же­нию). То есть через точку М про­хо­дят две пря­мые ( а и c ), па­рал­лель­ные пря­мой b. А это про­ти­во­ре­чит ак­сио­ме. Зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние невер­ное. Тогда пря­мая c пе­ре­се­чет пря­мую b.

След­ствие 2:

Если две пря­мые па­рал­лель­ны тре­тьей пря­мой, то они па­рал­лель­ны (Рис. 5).

Рис. 5

Дано: .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство:

Будем до­ка­зы­вать от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что пря­мые a и b пе­ре­се­ка­ют­ся в неко­то­рой точке М (Рис. 6).

Рис. 6

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие с ак­си­о­мой: через точку М про­хо­дят две пря­мые, од­но­вре­мен­но па­рал­лель­ные тре­тьей пря­мой.

Сле­до­ва­тель­но, наше пред­по­ло­же­ние невер­но. Тогда .

Билет№7

1. У́ гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называетсявершиной угла)^[1].

Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла.

Транспортир

Рис.1

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используется транспортир (рис.1).

∠ AOB = 150°

Рис.2

На рисунке 2 изображен угол АОВ, градусная мера которого равна 150°. Обычно говорят кратко: «Угол АОВ равен 150°» — и пишут: Z АОВ = 150°.

1/60 часть градуса называется минутой, а 1/60 часть минуты — секундой. Минуты обозначают знаком «′ », а секунды — знаком «″ ». Например, угол в 68 градусов, 32 минуты и 27 секунд обозначается так: 68°32′ 27″.

Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры. Если же один угол меньше другого, то в нем градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Так как градус составляет 1/180: часть развернутого угла, то развернутый угол равен 180°. Неразвернутый угол меньше 180°, так как он меньше развернутого.

∠ AOC = 40°, ∠ COB= 120°, ∠ AOB = 160°

Рис.3

На рисунке 3 изображены лучи с началом в точке О. Луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Мы видим, что ∠ АОС = 40°, ∠ СОВ = 120°, ∠ АОВ = 160°.

Таким образом, ∠ АОС + ∠ COB = ∠ АОВ.

Ясно, что и во всех других случаях, когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Каждый угол имеет определенную градусную меру, больше нуля. Развернутый угол равен 180 градусов.Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами

2 Вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Если сто­ро­на и два при­ле­жа­щих к ней угла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­роне и двум при­ле­жа­щим к ней углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, такие тре­уголь­ни­ки равны.

Тео­ре­ма: Дано . До­ка­зать: АВС и .

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним на­ло­же­ние дан­ных в усло­вии фигур. В ре­зуль­та­те дан­но­го дей­ствия вер­ши­ны А и А₁, , от­рез­ки АС и А₁С₁ сов­па­да­ют. Если рас­смат­ри­вать тре­уголь­ни­ки в целом, то сов­па­дет с .

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Билет№8

Билет№9

Билет№10

1. Прямоуго́ льный треуго́ льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Признаки равенства прямоугольных треугольников». В ходе урока вы сможете продолжить разговор о свойствах прямоугольного треугольника. Учитель напомнит признаки равенства обычных треугольников, а затем перейдет к признакам равенства прямоугольных треугольников, которые тесно связаны между собой.

Билет 11.

Билет 12

2 8.4. Построение треугольника по трем сторонам

Построить треугольник с данными сторонами a, b, c.

Построение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и отметим на ней произвольную точку B. Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром в точке B и радиусом a. Пусть C – точка ее пересечения с прямой. Далее описываем окружность с центром в точке B радиуса c и с центром в точке C радиуса b. Пусть A – точка пересечения построенных окружностей. Треугольник ABC – искомый.

Нужно построить треугольник по трем его сторонам при условии, что отрезок a должен принадлежать данному лучу, а один из концов отрезка c должен совпадать с точкой B. Треугольник должен быть отложен от луча в верхнюю полуплоскость.

Билет 13

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости. Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Перпендикуляр к прямой

Что такое перпендикуляр к прямой? Как построить перпендикуляр к прямой? Сколько перпендикуляров можно провести из точки к прямой? Что такое наклонная? Что называется проекцией наклонной? Об этом — ниже.

Определение.

Перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a — это отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной прямой a, один конец которого — точка A, второй — точка пересечения этих двух прямых.

2. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке А. Получим точку В и точку С.

2 С центром в точке В проведем окружность произвольным радиусом. 3 Этим же раствором циркуля проведём окружность с центром в точке С. Получим точку К. 4 Из точки А, через точку К проведём луч. Он будет являться биссектрисой угла А.

Билет 14

1. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.
Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Билет 15.

Билет 16.

2. Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).

Рис.1

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Билет 17

1. Правильный (или равносторонний)треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильноготреугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. Вравностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Билет 18

1. Прямоуго́ льный треуго́ льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

1. Катет- одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике.

Гипотенуза (греч. ὑ π ο τ ε ί ν ο υ σ α, натянутая) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длиныгипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Далее предполагаем, что и длины катетов, а длина гипотенузы

· (Теорема Пифагора)

· Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,

· Для медиан , и выполняется следующее соотношение:

· В частности, медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме: ^[1]

· Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть

(иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника )

· Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть

· В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть

Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением: ^[2][3]

и

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

2. Построение угла, равного данному

Билет 19

1. Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называютсяконцами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки и , обозначается символом . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают .

Свойства измерения отрезка:
1.Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
2.Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой.
3.Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB.
4.При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю.
5.Два отрезка называются равными, если равны их длины.

Билет 20

1. Угол-часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки.

Развернутый угол - это угол, стороны которого составляют прямую (рис. 1).

Градусная мера развернутого угла равна .

Что изучает геометрия?

Геометрия изучает форму предметов, определяет их размеры и взаимное расположение.

Многие предметы имеют прямоугольную форму, другие круглую, третьи - треугольную. Бывают и более сложные формы.

Если посмотреть более внимательно, то можно заметить, что тот же прямоугольник состоит из четырех отрезков, которые образуют его стороны. Т. е. можно сказать, что большинство фигур состоит из более простых фигур. Все фигуры состоят из точек. Поэтому точку можно считать простейшим элементом.

При описании фигур важно ни только указать геометрические примитивы, из которых она состоит, но и " отношения" между ними. Например, прямоугольник не просто состоит из четырех отрезков, но они должны быть соединены между собой; углы, образуемые соединенными отрезками, должны быть прямыми; кроме того отрезки должны быть попарно равны, и отрезки с одинаковой длинной располагаться на противоположных сторонах.

В то же время прямоугольники бывают разными. Один более вытянутый по одной стороне и больше похожий на брусок, у другого ширина и длина не сильно отличаются, и такой прямоугольник похож на квадрат. Ну и понятно, прямоугольники могут различаться по своим размерам. Все это говорит о том, что под термином " прямоугольник" мы понимаем множество фигур, удовлетворяющих определенным требованиям.

Геометрия - древняя наука. Она возникла около 4-5 тыс. лет назад. Людям с древних времен требовалось измерять земельные участки, расстояния, различные предметы, делать замеры при постройке зданий. Слово «геомет­рия» в переводе с греческого означает «землемерие».

Сначала в истории накапливались правила различных геометрических построений. Потом в Древней Греции появились ученые, которые привнесли в геометрию много нового. В частности начали уделять большую роль рассуждениям, на основе которых можно было открыть новые факты и закономерности. Можно сказать, что геометрия как наука сформировалась к началу нашей эры.

Практическое значение геометрии велико. Кроме того, она учит человека рассуждать, видеть мир форм в их взаимосвязи и взаимодействии.

Наука геометрия делится на два больших раздела - планиметрию и стереометрию. Планиметрия изучает фигуры на плоскости. Это прямоугольники, треугольники, окружности, трапеции, иные четырехугольники. Стереометрия изучает фигуры в трехмерном пространстве. Это шар, куб, цилиндр, пирамида и многие другие.

еометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида.Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамкахаксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался отаксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основеинвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.

Периметр треугольника, формула.

Треугольник это многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

(a, b, c - длины сторон треугольника)

Вычислить, найти периметр треугольника по формуле (1).