Что такое внешняя и внутренняя области угла?

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Угол своими лучами делит плоскость на две части. Одна находится внутри угла, другая — вне его. Однако, углом можно посчитать границы любой из этих двух плоскостей. Можно сказать по-другому — два луча, исходящие из одной точки образуют два угла: один с одной стороны между двумя лучами, второй — с другой стороны.

В такой неоднозначной ситуации выделяют внутреннюю и внешнюю области угла. Обычно, говоря об угле, имеют в виду угол, образующий его внутреннюю область. Обычно внутренней областью угла считается меньшая из двух, если не оговорено, какая именно область угла рассматривается.

Для развернутого угла понятия внутренней и внешней областей бессмысленны, так как у него эти области равны.

Если продолжить стороны угла за его вершину, то мы получим две пересекающиеся прямые. Каждая из них делит плоскость на две полуплоскости. Область, где эти полуплоскости пересекаются, то есть общая часть двух полуплоскостей, и образует внутреннюю область угла.

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Существование и единственность перпендикуляра к прямой

Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведем через какую-нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую. А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим,

существует другой перпендикуляр АС. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Задача (50). Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.

Решение. Пусть а и b — параллельные прямые и А, А₁ — любые точки на прямой а (рис. 86). Опустим из точки А₁перпендикуляр А₁В₁ на прямую b.

Отложим из точки B₁ на прямой b отрезок В₁В, равный отрезку АА₁, так, чтобы точки A₁ и В были по разные стороны прямой АВ₁.

Тогда треугольники АВ₁А, и B₁AB равны по первому признаку. У них сторона AB₁ общая, А А ₁ =ВВ₁ по построению, а углы В₁АА₁ и АВ₁В равны как внутренние накрест лежащие параллельных а и b с секущей AB₁.

Из равенства треугольников следует, что АВ есть перпендикуляр к прямой b и AB=A₁B₁ что и требовалось доказать.

Как видим, расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны. Поэтому говорят, что параллельные прямые равноотстоящие.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Билет 21

1.Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями.

Аксио́ ма (др.-греч. ἀ ξ ί ω μ α — утверждение, положение), постула́ т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

2..3. Проведение перпендикуляра к данной прямой

Через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.

Решение. Возможны два случая:

1. точка O лежит на прямой a;

2. точка O не лежит на прямой a.

Случай 1.

Анализ. Пусть a – данная прямая, O – данная точка на ней, b – искомая прямая, перпендикулярная прямой a и проведенная через точку O. Из предыдущей задачи нам известен способ построения серединного перпендикуляра к отрезку AB. Тогда, если точка O – середина некоторого отрезка, то b – серединный перпендикуляр к этому отрезку и проходит через точку O.

Рисунок 8.3.1. Проведение прямой, перпендикулярной данной. Случай 1

Рисунок 8.3.2. Проведение прямой, перпендикулярной данной. Случай 1. Построение

Построение. Отложим от точки O по разные стороны от нее на прямой a одинаковые отрезки OA, OB. Проведем две окружности одинакового радиуса AB с центром в точках Aи B соответственно. Они пересекаются в точке C. Проведем прямую (OC). Она перпендикулярна прямой a.

Билет 22

Что изучает геометрия?

Геометрия изучает форму предметов, определяет их размеры и взаимное расположение.

Многие предметы имеют прямоугольную форму, другие круглую, третьи - треугольную. Бывают и более сложные формы.

Если посмотреть более внимательно, то можно заметить, что тот же прямоугольник состоит из четырех отрезков, которые образуют его стороны. Т. е. можно сказать, что большинство фигур состоит из более простых фигур. Все фигуры состоят из точек. Поэтому точку можно считать простейшим элементом.

При описании фигур важно ни только указать геометрические примитивы, из которых она состоит, но и " отношения" между ними. Например, прямоугольник не просто состоит из четырех отрезков, но они должны быть соединены между собой; углы, образуемые соединенными отрезками, должны быть прямыми; кроме того отрезки должны быть попарно равны, и отрезки с одинаковой длинной располагаться на противоположных сторонах.

В то же время прямоугольники бывают разными. Один более вытянутый по одной стороне и больше похожий на брусок, у другого ширина и длина не сильно отличаются, и такой прямоугольник похож на квадрат. Ну и понятно, прямоугольники могут различаться по своим размерам. Все это говорит о том, что под термином " прямоугольник" мы понимаем множество фигур, удовлетворяющих определенным требованиям.

Геометрия - древняя наука. Она возникла около 4-5 тыс. лет назад. Людям с древних времен требовалось измерять земельные участки, расстояния, различные предметы, делать замеры при постройке зданий. Слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие».

Сначала в истории накапливались правила различных геометрических построений. Потом в Древней Греции появились ученые, которые привнесли в геометрию много нового. В частности начали уделять большую роль рассуждениям, на основе которых можно было открыть новые факты и закономерности. Можно сказать, что геометрия как наука сформировалась к началу нашей эры.

Практическое значение геометрии велико. Кроме того, она учит человека рассуждать, видеть мир форм в их взаимосвязи и взаимодействии.

Наука геометрия делится на два больших раздела - планиметрию и стереометрию. Планиметрия изучает фигуры на плоскости. Это прямоугольники, треугольники, окружности, трапеции, иные четырехугольники. Стереометрия изучает фигуры в трехмерном пространстве. Это шар, куб, цилиндр, пирамида и многие другие.

еометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида.Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамкахаксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался отаксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основеинвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56