Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Дано:

∆ ABC,

∠ C=90º,

∠ A=30º.

Доказать:

Доказательство:

I способ

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠ B=90º -∠ A=90º -30º =60º.

Проведем из вершины прямого угла медиану CF.

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то

то есть, CF=AF=BF.

Так как BF=CF, то треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.

Следовательно, у него углы при основании равны:

∠ B=∠ BCF=60º.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC

∠ BFC =180º -(∠ B+∠ BCF)=60º.

Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.

Значит, все его стороны равны и

Что и требовалось доказать.

II способ

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠ B=90º -∠ A=90º -30º =60º.

Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.

В нем ∠ D=∠ B=60º и ∠ CAD=∠ CAB=30º ( по построению).

Отсюда, ∠ BAD=∠ CAD+∠ CAB=60º.

Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:

∠ BAD=∠ D=∠ B=60º.

Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.

BC=DC (по построению), поэтому

Что и требовалось доказать.

Билет№5

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Опубликовано: 21 июня 2009.

Рубрика: Взаимное расположение плоскостей и прямых..

П.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Этот вопрос уже обсуждался в предыдущей лекции, когда обауравнения данных прямых записывались в каноническом или параметрическом виде. Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если , то прямые и совпадают;

2) если , то прямые и

параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если , то и прямыепересекаются.

Если же , то , , иуравнение прямой принимает вид:

или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождениякоординат их точки пересечения достаточно решить систему двухуравнений с двумя неизвестными:

. (4)

Следствие. Пусть – определитель системы (4). Если , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

, (5)

где , .

Если , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений.

Доказательство. По определению определителя второго порядка

Если , то и , т.е. прямые пересекаются икоординаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).

Если же , то и , т.е. либо прямыепараллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либопрямые совпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

следствие доказано.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых

и если они пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Решим систему

Определитель системы

следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:

, ,

, .

Ответ. Прямые пересекаются в точке .

Определение:

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 1). Обозначается это так: .

Рис. 1

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной(Рис. 2).

Рис. 2

Cледствия из аксиомы

Следствие1:

Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Рис. 3

Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Предположим, что с не пересекает прямую b (Рис. 4).

Рис. 4

Тогда: (по условию), (по предположению). То есть через точку М проходят две прямые ( а и c ), параллельные прямой b. А это противоречит аксиоме. Значит, наше предположение неверное. Тогда прямая c пересечет прямую b.

Следствие 2:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (Рис. 5).

Рис. 5

Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Предположим, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке М (Рис. 6).

Рис. 6

Таким образом, получаем противоречие с аксиомой: через точку М проходят две прямые, одновременно параллельные третьей прямой.

Следовательно, наше предположение неверно. Тогда .

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒