Вычисление и запись приближенных чисел

1.5.1. Запись приближенных чисел

Приближенные числа принято записывать в стандартной форме:

b·10ⁿ,

где – десятичное число с плавающей запятой, содержащее столько же разрядов, сколько значащих цифр у приближенного числа, – положительное или отрицательное целое число, называемое порядком числа.

Пример.

1) Плотность кислорода 0, 00143 г/см³ = 1, 43 кг/м³ (1 кг/м³ = 10^-3 г/см³).

2) Скорость света в вакууме 300000 км/с = 3·10⁸ м/с.

Значащие цифры приближенного числа могут быть верными или неопределенными (сомнительными).

Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего разряда, то все значащие цифры приближенного числа называются верными.

Пример.

Плотность ртути равна 13, 5955 г/см³.

Округлим это значение до сотых: 13, 60 г/см³ = 13, 60·10³ кг/м³. Все цифры числа 13, 60 верные, так как абсолютная погрешность округления равна 13, 60 - 13, 5955 = 0, 0045, что меньше 0, 01.

Верными будут все значащие цифры приближенного числа, полученные в результате округления.

Если абсолютная погрешность приближенного числа превышает единицу последнего разряда, то последняя цифра приближенного числа является неопределенной.

Пример.

При измерении объема жидкости мензуркой получен результат: (140 ± 5) мл. Цифра 0 в числе 140 не является значимой, так как абсолютная погрешность больше единицы последнего разряда.

При возведении в степень приближенного числа или извлечении из него корней следует сохранить в результате столько значащих цифр, сколько имеет верных значащих цифр исходное число.

Пример.

(3, 4·10²)³ = 39304000 » 3, 9× 10⁷ (в исходном числе две значащие цифры).

1.5.2. Сложение и вычитание приближенных чисел

При сложении и вычитании приближенных чисел, в записи которых все цифры верные, оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет число с наименьшим количеством десятичных знаков.

Пример.

1) 5, 14 + 12, 1 + 6, 353 = 23, 593 » 23, 6.

2) 405 + 0, 43 = 405, 43 » 405.

1.5.3. Умножение и деление приближенных чисел

При умножении и делении приближенных чисел следует сохранить в результате столько значащих цифр, сколько имеет приближенное число, данное с наименьшим числом верных значащих цифр.

Пример.

1) 1, 5·220 = 1, 5·2, 2·10² » 3, 3·10².

2) 1, 5·35 = 52, 5 » 52.

1.5.4. Использование табличных значений

При использовании таблиц следует иметь в виду, что погрешности приведенных значений равны половине следующего разряда за последней значащей цифрой. Например, если в таблице указано: r = 2, 7·10³ кг/м³, то на самом деле r = (2, 70 ± 0, 05)·10³ кг/м³.

Точность записи (число значащих цифр) отдельных измерений и последующих вычислений при их обработке должна быть согласована с необходимой точностью результата измерения. Здесь рекомендуется придерживаться следующих правил.

1. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше или равна 5, но за ней следует отличная от нуля цифра, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.

Пример.

1) 8, 3351 (округлить до сотых) ≈ 8, 34;

2) 0, 2510 (округлить до десятых) ≈ 0, 3;

3) 271, 515 (округлить до целых) ≈ 272.

2. Если первая (слева направо) из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяют. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.

Пример.

При сохранении четырех значащих цифр

1) число 283435 должно быть округлено до 283400;

2) число 384, 435 – до 384, 4.

3. Число цифр в результатах промежуточных расчетов обычно должно быть на одну больше, чем в окончательном результате. Погрешности при промежуточных вычислениях должны быть выражены не более чем тремя значащими цифрами.

4. Округлять результат измерения следует так, чтобы он оканчивался цифрой того же разряда, что и значение погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то нули отбрасывают только для того разряда, который соответствует разряду погрешности.

Пример.

Число 0, 67731 при погрешности ± 0, 005 следует округлять в третьей значащей цифре до значения 0, 677.

5. Вычисление погрешности измерений также не следует производить с большей точностью, чем вычисление значения самой измеряемой величины.

1.6. Построение графиков

В экспериментальной физике результаты измерений важно представить в наглядной форме, удобной для использования и обработки. Обычно для этого составляют таблицы, графики и уравнения. Представление данных в виде таблиц облегчает сравнение различных значений, поэтому данные опыта, как правило, записывают в таблицу, которая позволяет также вести и обработку результатов измерений. При построении графика функциональная зависимость становится явной, а результаты опыта наглядными. Посмотрев на график, можно сразу оценить вид полученной зависимости, получить о ней качественное представление и отметить наличие максимумов, минимумов, точек перегиба, областей наибольшей и наименьшей скоростей изменения, периодичности и т.п. График позволяет также судить о соответствии экспериментальных данных рассматриваемой теоретической зависимости и облегчает обработку измерений. Чаще всего график представляет зависимость между двумя переменными. При его построении необходимо пользоваться определенными правилами:

1) Графики выполняются преимущественно на миллиметровой бумаге или бумаге со специальными координатными сетками.

2) В качестве осей координат следует применять прямоугольную систему координат (это облегчает использование построенного графика). Общепринято по оси абсцисс откладывать ту величину, изменения которой являются причиной изменения другой (т.е. по оси абсцисс – аргумент, по оси ординат – функцию). Оси координат следует заканчивать стрелками. На оси наносится масштаб, неудачный выбор которого – одна из наиболее распространенных ошибок, зачастую обесценивающая график.

3) Масштаб наносится так, чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 5 единиц (допустимо 2, 5 и 4). Число делений с цифрами на каждой оси составляет обычно от 4 до 10. В конце оси указывается откладываемая величина и единицы ее измерения. Обычно туда же выносится и порядок масштаба ( , где – целое число). При этом множитель, определяющий порядок величины, может включаться в единицы измерения, например: , мА или , 10 А. Если началом отсчёта является нуль, его следует указывать у точки пересечения осей. Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист, а погрешность измерения соответствовала одному-двум мелким делениям графика. При этом начало отсчета не обязательно начинать с нуля, иногда удобнее выбирать округленное число, отличное от нуля, и таким образом увеличить масштаб, но погрешность при этом по-прежнему должна составлять одно-два мелких деления. Не следует расставлять эти числа слишком густо. Образец оформления графической зависимости сопротивления терморезистора от температуры представлен на рис. 1.2.

4) Масштабы по обеим осям выбираются независимо друг от друга.

5) При исследовании физических явлений следует иметь в виду, что в тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений (несколькими точками кривой на графике). В областях максимумов, минимумов и точек перегибов следует производить измерения значительно чаще, что увеличит точность построения графика.

6) Точки должны наноситься на график тщательно и аккуратно, чтобы график получился более точным. На график наносят все полученные в измерениях значения. Если одна точка измерялась несколько раз, то нужно нанести среднее арифметическое значение и указать разброс. Если на один и тот же график наносятся различные группы данных (результаты измерения разных величин или одной величины, но полученные в разных условиях и т. п.), то точки, относящиеся к разным группам, должны быть помечены различными символами (кружочки ·, треугольники ^▼, ромбики ♦ и т. п.).

Рис. 1.2. Зависимость сопротивления терморезистора от температуры

7) Погрешность измерения изображают на графике с помощью “крестиков” соответствующих размеров, нанесённых поверх точек (см. рис. 1.2).

8) Прямую зависимость на графике проводят карандашом с помощью линейки. Кривую проводят плавно от руки по экспериментальным точкам. Для последующей обводки кривой можно использовать лекало.

9) Если функция изменяется на несколько порядков при малых изменениях аргумента, то удобно применять системы координат с полулогарифмическим или логарифмическим масштабом. Полулогарифмическая система координат – это прямоугольная система координат, по одной оси которой отложен равномерный масштаб, а по второй – логарифмический (пропорциональный логарифму натуральных чисел). Полулогарифмический масштаб удобен для изображения зависимости типа . Логарифмируя зависимость, получим , где . Если наносить величину х по оси равномерной шкалы, а величину у – по оси логарифмической шкалы, то получится прямая линия.

10) Логарифмическая система координат – это прямоугольная система координат, на обеих осях которой отложены логарифмические масштабы. Логарифмические координаты очень удобны для изображения зависимости вида:

Логарифмируя приводимую зависимость, получим:

В логарифмической системе координат такая зависимость будет иметь вид прямой линии.

График должен быть наглядным и приемлемым с эстетической точки зрения (разные цвета для экспериментальных точек и кривых). Построенный график снабжается подписью, в которой даётся точное описание того, что показывает график. Различные группы точек или различные кривые на графике также должны быть обозначены и объяснены в подписи к графику.

Обработка результатов сводится к выяснению аналитической зависимости между величинами. Если эта зависимость нелинейная, то обработка будет сложной. Однако, современные компьютерные программы (MS Excel, Origin и др.) позволяют строить различные виды кривых по экспериментальным точкам. Построение аналитической зависимости по экспериментальным данным чаще всего проводят по методунаименьших квадратов.

Остановимся на случае, когда уравнение имеет вид прямой линии: . Суть метода сводится к следующему: необходимо найти такие значения и , при которых сумма квадратов расстояний от прямой до экспериментальных точек с координатами , ( = 1, 2, 3, …, ) была наименьшей. Это эквивалентно минимуму суммы:

Условия минимальности суммы:

(1.7)

дают два уравнения для определения и :

(1.8)

Для решения этой задачи стоят таблицу:

Номер измерения




…

Подставляя полученные значения в систему уравнений (1.8), находят коэффициенты и .

Приведем пример построения графика в полулогарифмических координатах.

Изучая амплитуду затуханий пружинного маятника, была получена следующая таблица экспериментальных результатов:

Время, с
Амплитуда колебаний, см	4, 5	4, 1	3, 7	3, 3	3, 0	2, 7	2, 5	2, 2	2, 0
Время, с
Амплитуда колебаний, см	1, 8	1, 7	1, 5	1, 4	1, 2	1, 1	1, 0	0, 9	0, 8

Ошибка прибора по измерению амплитуды составляла 0, 1 см.

Необходимо построить график полученной зависимости. Воспользуемся для этого программой Origin.

а) б)

Рис. 1.3. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени:
а) линейные координаты, б) полулогарифмические координаты

Зависимость рис. 1.3а похожа на экспоненциальную, проверить свое предположение можно, перестроив график в полулогарифмических координатах. Если зависимость действительно экспоненциальная, то в полулогарифмических координатах получится прямая линия с хорошим коэффициентом корреляции (рис. 1.3б).

Пример.

Изучить зависимость электропроводности r от % содержания q добавок Mg к сплаву Al-Si.

В результате экспериментов получена следующая расчетная таблица:

q, %	r, мкОм× см
0, 00	5, 03
0, 20	5, 87
0, 25	5, 99
0, 30	6, 20
0, 35	6, 39
0, 40	6, 59
0, 45	6, 69
0, 55	6, 90
0, 70	7, 05
0, 80	7, 21

Необходимо оценить параметры линейной и квадратичной модели и отклонения от нее.

Рис. 1.4. Экспериментальные точки

Воспользуемся программой Origin. Заполнив таблицу данных и выбрав пункт меню Plot ® Scatter, получим нанесенные экспериментальные точки, показанные на рис. 1.4.

Рис. 1.5. Построение линейной зависимости. Коэффициент корреляции равен 0, 964

По экспериментальным точкам видно, что зависимость может быть построена по методу наименьших квадратов как линейная, так и квадратичная. Построим обе зависимости и оценим коэффициент корреляции для них.

Выберем пункт меню Analysis ® Fit Linear. Результат расчета линейной функции по методу наименьших квадратов вы видите на рис. 1.5. Коэффициент корреляции равен 0, 964.

Построим по этим же экспериментальным точкам квадратичную зависимость. Выберем пункт меню Analysis ® Fit Polynomial. Построим полином второго порядка. Результат расчета квадратичной функции по методу наименьших квадратов вы видите на рис. 1.6. Коэффициент корреляции равен 0, 9961.

Рис. 1.6. Построение квадратичной функции. Коэффициент корреляции равен 0, 9961

Таким образом, данную экспериментальную зависимость лучше описывает квадратичная функция.

Аналогичные построения можно выполнить в приложении MS Excel.

МЕХАНИКА

Измерительный инструмент применяется для точного определения геометрических размеров предметов. Измерительный инструмент – это штангенинструмент, индикаторы часового типа, уровни, микрометры, линейки, угольники и др. Измерительный инструмент широко применяется в промышленности, в технике и также для любых точных измерений. В физической лаборатории требуемая точность измерений колеблется от 1 до 0, 01 мм. В соответствии с этим в данном параграфе подробно описываются наиболее часто используемые в лаборатории измерительные инструменты.

Штангенциркуль

Штангенинструменты применяют для измерения наружных и внутренних диаметров, длин, толщин, глубин и т. д. Штангенинструменты основаны на применении нониусов, по которым отсчитывают дробные доли делений основных шкал.

Штангенциркули изготавливаются с пределами измерений 0-125 мм (ШЦ-I); 0-200 и 0-320 мм (ШЦ-II); 0-500; 250-710; 320-1000; 500-1400; 800-2000 (ШЦ-III) и с величиной отсчета 0, 1 мм (ШЦ-I и ШЦ-II), 0, 05-0, 1 мм (ШЦ-II).

Штангенциркуль ЩЦ-I, который используется в лабораторном практикуме, применяется для измерения наружных и внутренних размеров глубин с величиной отсчета по нониусу 0, 1 мм. Штангенциркуль (рис. 2.1) имеет штангу 1, на которой нанесена шкала с миллиметровыми делениями.

На одном конце этой штанги имеются неподвижные измерительные губки 2 и 7, а на другом конце линейка 6 для измерения глубин. По штанге перемещается подвижная рамка 3 с губками 2 и 7.

Рамка в процессе измерения закрепляется на штанге зажимом 4. Нижние губки 7 служат для измерения наружных размеров, а верхние 2 – для внутренних размеров. На скошенной грани рамки 3 нанесена шкала 5, называемая нониусом. Нониус предназначен для определения дробной величины цены деления штанги, т. е. для определения доли миллиметра. Шкала нониуса длиной 19 мм разделена на 10 равных частей; следовательно, каждое деление нониуса равно 19: 10 = 1, 9 мм, т. е. оно короче расстояния между каждыми двумя делениями, нанесенными на шкалу штанги, на 0, 1 мм (2, 0-1, 9 = 0, 1). При сомкнутых губках начальное деление нониуса совпадает с нулевым штрихом шкалы штангенциркуля, а последний – 10-й штрих нониуса – с 19-м штрихом шкалы.

Рис. 2.1. Штангенциркуль: 1 – штанга, 2, 7 – губки, 3 – подвижная рамка, 4 – зажим, 5 – шкала нониуса, 6 – линейка глубиномера

Перед измерением при сомкнутых губках нулевые штрихи нониуса и штанги должны совпадать.

При измерении деталь берут в левую руку, которая должна находиться за губками и захватывать деталь недалеко от губок. Правая рука должна поддерживать штангу, при этом большим пальцем этой руки перемещают рамку до соприкосновения с проверяемой поверхностью, не допуская перекоса губок и добиваясь нормального измерительного усилия.

Рамку закрепляют большим и указательным пальцами правой руки, поддерживая штангу остальными пальцами этой руки; левая рука при этом должна поддерживать губку штанги. При чтении показаний штангенциркуль держат прямо перед глазами. Целое число миллиметров отсчитывается по шкале штанги слева направо нулевым штрихом нониуса. Дробная величина (количество десятых долей миллиметра) определяется умножением величины отсчета (0, 1 мм) на порядковый номер штриха нониуса, не считая нулевого, совпадающего со штрихом штанги.

Из рисунка видно, что нулевой штрих нониуса прошел 20-е деление основной шкалы, т. е. мы можем записать 20 целых миллиметров. По остальным штрихам нониуса (с 1-го по 10-й) можно определить дробные доли миллиметра. На вставке (рис. 2.1) пятый штрих нониуса лучше всего совпадает с одним (неважно, каким) из штрихов основной шкалы, а нулевой штрих нониуса прошел через двадцатое деление основной шкалы. Это означает, что прибор показывает 20, 5 мм. Обычно показания записывают следующим образом 20, 50 ± 0, 05 мм, т.к. 0, 05 – класс точности прибора – величина, точнее которой измерить данным прибором нельзя.

Микрометр

Микрометр с ценой деления 0, 01 мм служит для измерения наружных размеров. Изготавливают следующие типы микрометров:

МК – микрометры гладкие для измерения наружных размеров изделий;

МЛ – микрометры листовые с циферблатом для измерения толщины листов и лент;

МТ – микрометры трубные для измерения толщины стенок труб;

МЗ – микрометры зубомерные для измерения зубчатых колес.

Микрометры типа МК выпускаются с пределами измерений: 0–25; 25–50; 50–75; 75–100; 100–125; 125–150; 150–175; 175–200; 200–225; 225–250; 250–275; 275–300; 300–400; 400–500; 500–600 мм.

Микрометр (рис. 2.2) имеет скобу 1 с пяткой (неподвижным упором) 2 на одном конце, и стеблем 5 на другом, внутрь которого ввернут микрометрический винт 3. Торцы пятки и микрометрического винта являются измерительными поверхностями. На наружной поверхности стебля проведена продольная линия, ниже которой нанесены миллиметровые деления, а выше ее – полумиллиметровые деления. Винт 3 жестко связан с барабаном 6, на конической части барабана нанесена шкала (нониус) с 50-ю делениями.

Рис. 2.2. Микрометр: 1 – скоба, 2 – пятка, 3 – винт, 4 – стопор, 5 – стебель, 6 – барабан, 7 – трещотка, 8 – установочные меры

На головке микрометрического винта имеется устройство (трещотка) 7, обеспечивающее постоянное измерительное усилие. Трещотка соединена с винтом так, что при увеличении измерительного усилия свыше некоторой величины (~ 90 г) она не вращает винт, а проворачивается. Микрометр с трещоткой дает более точный результат, так как посредством трещотки регулируется нажим на измеряемое тело и устраняется его деформация. Шаг микрометрического винта 3 равен 0, 5 мм. Так как барабан 6 по окружности разделен на 50 равных частей, то при повороте на одно деление микрометрический винт 3, соединенный с барабаном 6, перемещается вдоль оси на 1/50 шага, т.е. , что и составляет цену деления микрометра.

Перед измерением проверяют нулевое положение микрометра. При соприкосновении измерительных поверхностей микрометра с измерительными поверхностями установочной меры 8 или непосредственно между собой (при пределах измерения микрометра 0-25 мм) нулевой штрих барабана должен совпадать с продольным штрихом стебля, а скос барабана должен открывать нулевой штрих стебля. Перед измерением протирают измерительные поверхности и устанавливают микрометр на размер несколько больше проверяемого, затем микрометр берут левой рукой за скобу 1, а измеряемую деталь 8 помещают между пяткой 2 и торцом микрометрического винта 3. Плавно вращая трещотку, прижимают торцом микрометрического винта 3 деталь 8 к пятке 2 до тех пор, пока трещотка 7 не начнет провертываться и пощелкивать.

При чтении показаний микрометра целые миллиметры отсчитывают по краю скоса барабана по нижней шкале, полумиллиметры – по числу делений верхней шкалы стебля. Сотые доли миллиметра определяют по конической части барабана по порядковому номеру (не считая нулевого) штриха барабана, совпадающего с продольным штрихом стебля. Показания микрометра определяются как сумма показаний основной шкалы и показаний барабана. Примеры отсчета показаны на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Чтение показаний микрометра

Весы

Весы широко применяют во всех отраслях народного хозяйства, в научных исследованиях и лабораториях как основное средство взвешивания при определении расхода или количества сырья, топлива, готовой продукции и т. п., в целях их учета, проведения химических, технических и других анализов, контроля технологических процессов и автоматизации управления ими и т. д.

Для удобства классификации традиционно различают весы: аналитической группы, общелабораторные, или технические, – для технических анализов, взвешивания химических реактивов и другие, специальные – для исследований при пониженных давлениях (вакуумные весы), изменения массы тел при высоких и низких температурах (термогравиметрические весы), гранулометрии, состава материалов с регистрацией изменения массы осадков во времени (седиментационные весы), для работы в агрессивных средах, в атмосфере благородных газов, в присутствии взрывоопасных веществ и т. п., а также для взвешивания драгоценных металлов и камней (пробирные весы).

Массу тела находят преимущественно уравновешиванием его силы тяжести , либо момента этой силы, действующих на измерительную часть весов известной противодействующей, или уравновешивающей силой. При прямом методе измерений противодействующая сила возникает в результате отклонения подвижной части от положения равновесия под действием силы тяжести взвешиваемого тела.

Важные характеристики весов: наибольший предел взвешивания – наибольшая масса тела, которая может быть взвешена на данных весах с установленной для них точностью; цена деления – значение одного деления шкалы или единицы младшего разряда отсчетного устройства, выраженное в единицах массы; разрешающая способность – характеризует точность отсчета показаний весов.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 Следующая ⇒