Вычисление определенных интегралов.

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Теорема 6. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство

= . (13)

Формула (11) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования и по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений и . Часто вместо подстановки применяют подстановку t= (x). В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: .

Теорема 7. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке[a, b]. Тогда

, (14)

где .

Формула (14) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

у = х + 1.

Решение.

Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(x), снизу – непрерывной кривой у = φ (х), слева – прямой х = а, справа – прямой х = в, вычисляется по формуле

(15)

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

, (16)

для которого необходимо найти первообразную функцию F(x) и вместо переменной х подставить сначала верхний предел в, затем нижний предел а и из 1-го результата вычесть второй.

Определим точки пересечения данных линий, решив совместно систему уравнений

Подставив в 1-ое уравнение системы суммы (х + 1), вместо у, получим:

откуда х₁= 2, х₂= 11 и, следовательно, у₁=3, у₂=12.Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 3) и В(11; 12) (рис. 1).

Рисунок 1. Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

у = х + 1.

Так как сверху фигура ограниченна прямой, а снизу – параболой, то применяя формулу (7), имеем:

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [ a, t], т.е. функция определена для произвольного

Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к , т.е.

(17)

Если предел, стоящий в правой части равенства (17), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале . Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что

= + , (18)

при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть равенства (18), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что = .

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция y=f(x) непрерывна, но не ограниченна на полуинтервале .

Несобственным интегралом от функции y=f(x) на полуинтервале называется предел , где , т.е.

. (19)

Если предел, стоящий в правой части равенства (19), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y=f(x) непрерывной, но неограниченной на .

Если функция y=f(x) не ограничена при х=с, где , то интеграл также называется несобственным. В этом случае интеграл

= +

считается сходящимся, если сходятся два несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае называется расходящимся. Например, + является расходящимся, так как расходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства.

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

F = ( x, y, y^/) (20)

или (если его можно разрешить относительно у^/):

у^/ = f (x, y) (21)

Решение уравнения (1) или (2), содержащее произвольную постоянную С, то есть имеющее вид у = φ (х, С), называется общим решением этого уравнения. Если это решение получается в неявной форме Ф (х, у, С) = 0, то его называют общим интегралом уравнения (20) или (21).

Если придать произвольной постоянной С некоторое фиксированное значение, то из общего решения (общего интеграла) получим частное решение (частный интеграл) этого уравнения.

Уравнение І порядка Р (х, у) dx + Q (x, y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция Р (х, у) и Q (х, у) разлагаются на множители, зависящие каждый только от данной переменной:

f₁(x) f₂(y) dx + φ ₁ (x) φ ₂ (y) dy = 0 (22)

В этом уравнении путем деления его членов на f₂ (y)φ ₁ (x) переменные разделяются и общий интеграл находится почленным интегрированием:

Функция f(x, y) называется однородной измерения m, если f (λ x, λ y) = λ ^m f(x, y).

Однородное ДУ первого порядка называется уравнение у^/ = f (х, у), если f(х, у) – однородная функция нулевого измерения.

Замечаение. Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 будет однородным, если P(x, y) и Q(x, y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

Однородное уравнение может быть приведено к виду у^/= f(y/x). С помощью подстановки у/х = t однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t = t(x).

Уравнение вида:

(23)

где Р (х) и Q (x) – заданные непрерывные функции, называются линейным. ДУ І порядка (у и у^/ входят в первых степенях, не перемножаясь между собой). Если Q (x) ≠ 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q = 0 – линейным однородным в смысле правой части.

Неоднородное линейное ДУ І порядка посредством замены искомой функции у = иσ сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Пример 6. Найти общее решение ДУ.

а)

б)

Решение.

а) Данное уравнение является однородным, так как функции Р(х, у)=2ху и Q(х, у)=(у²-х²) – однородные второго измерения относительно х, у:

Применяем подстановку у = хt, где t – некратная функция аргумента х.

Если у = хt, то дифференциал dy = tdx + xdt, и данное уравнение примет вид:

2х ^.xtdx + (x²t² – x²) (tdx + xdt) = 0

Сократив на х², будем иметь:

Получилось уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, найдем общее решение этого уравнения:

Потенцируя, находим или х (1 + t²) = Сt. Из введенной подстановки следует, что Следовательно, или х²+ у²= Су – общее решение данного уравнения.

б) Поделим обе части уравнения на произведение функции ху, получим:

Введем подстановку , откуда где Тогда последнее уравнение примет вид: или

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

или

Возвращаясь к переменным х и у, получаем или - искомое общее решение ДУ.

Пример 7. Решить уравнение.

а)

б)

Решение.

а) Поделим обе части уравнения на соs х:

(24)

Это линейное неоднородное уравнение. Введем подстановку у = иσ , тогда у΄ = и΄ σ + иσ ΄ и данное уравнение (24) преобразуется к виду

или

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух вспомогательных функций и и σ, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем в качестве σ какой-либо частный интеграл уравнения:

(25)

Тогда для отыскивания функции и получим уравнение:

(26)

Уравнение (25), есть уравнение с разделяющимися переменными относительно σ и х. Решим его:

Чтобы равенство имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрирования находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0.

Подставив найденное выражение для σ, получим:

Интегрируя, получаем:

Тогда

или

- общее решение уравнения (24).

б) Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию у и ее производную у^/ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , тогда и уравнение примет вид:

или

(25)

Полагаем

u΄ -utg x = 0 (26)

Тогда уравнение примет вид:

Уравнение (26) – уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

(значение произвольной постоянной принимаем С=0)

Подставив найденное выражение для и, получим:

Тогда - общее решение данного уравнения.

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

F(x, y΄ y΄ ΄, …y⁽ⁿ⁾) = 0

Решением такого уравнения служит всякая n раз дифференцированная функция у = φ (х), которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.:

F (x, φ (x), φ ΄ (x), φ ⁽ⁿ⁾(x)) = 0.

Для дифференцированного уравнения вида

F (x, y⁽^k⁾, y⁽^k⁺¹⁾, …, y⁽ⁿ⁾)= 0,

Не содержащего искомой функции у, порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. пологая y⁽^k⁾=z.

Тогда получим уравнение

F (x, z, z΄, …, z⁽ⁿ^-^k⁾) = 0

Таким образом, порядок уравнения понижается на k единиц.

Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение.

Данное уравнение II порядка не содержит явно функцию у. Положим у΄ =z, где z – некоторая функция аргумента х. Если у΄ =z, то у΄ ΄ =z΄ и данное уравнение примет вид: или

Это однородное уравнение I порядка.

Введем подстановку откуда z = xt, z΄ =t΄ x + t и уравнение примет вид:

или

Интегрируя, находим:

, или

Потенцируя, получаем:

или откуда

Возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению

Это уравнение вида у⁽ⁿ⁾=f(x), решение которого находится n – кратным интегрированием.

Следовательно, Для нахождения данного интеграла применяем формулу интегрирования по частям:

Положим u = x, dσ = dx, тогда du = dx,

Получаем общее решение уравнения:

Для ДУ вида

F (y, y΄, y΄ ΄, …, y⁽ⁿ⁾) = 0,

не содержащего независимой переменной х, допускается понижение порядка на единицу, если положить у^/= z, а за новый аргумент принять сам у. В этом случае у΄ ΄, у΄ ΄ ΄, … выразятся по формулам (они выводятся по правилу дифференцирования сложной функции:

… через z и производные от z по y, причем порядок уравнения понизится на единицу.

Пример 9. Решить уравнение у΄ ΄ (1 + у) = у΄ ²+ у΄.

Решение.

Уравнение не содержит независимой переменной х. Положим у΄ = z, y΄ ΄ = и данное уравнение примет вид: или ; это уравнение первого порядка относительно z c разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Возвращаясь к переменной у, получаем уравнение у΄ =С₁(у + 1) – 1; это уравнение I порядка с разделяющимися переменными.

– общий интеграл данного уравнения.

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒