|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ
Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна. Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце XIX - начале XX века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств. В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей. 41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
Рис.66 | y1) 2 + x = 6; y2) x – 7 = 4; y3) 2x = 8 |
В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.
Что общее имеют эти соответствия?
Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом -это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором -это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем - это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.
Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).
Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, плодящихся в заданном соответствии:
I. {(в1, 4), (в3, 20)};
II. {(F1, 4), ( F2, 10), (F3, 10)};
III. {(y1, 4), (у2, 11), (y3, 4)}.
Рис. 67
Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.
Определение. Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, К и др. Если S -соответствие между элементами множеств X и Y то, согласно определению, S с Х х У.
Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие - это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X - {1, 2, 4, 6} и У = {3, 5} можно задать:
1) при помощи предложения с двумя переменными: а < Ь при условии, что а ? X, b ? Y;
2) 
перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х х У: {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 68) и графика (рис. 69).
Нередко, изучая соответствие между множествами X и Y, приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Пусть, например, S -соответствие «больше на 2» между множествами X = {4, 5, 8, 10} и Y = {2, 3, 6}. Тогда S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} и его граф будет таким, как на рисунке 70, а.
Соответствие, обратное данному, - это соответствие «меньше на 2», Оно рассматривается между множествами R и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (рис. 70, 6). Если соответствие меньше на 2» обозначить S-1, то S-1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)}.
|
Рис.70 
Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: x= 2у; х > 3у+1 и др.
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-04; Просмотров: 1526; Нарушение авторского права страницы