Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.

Определение. Множества X и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества X и Y равномощны, то пишут X ~ Y.

Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены в примерах 1 и 2, равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов (рис. 76).

Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на...» и «меньше на...». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством X, в котором 4 элемента, и подмножеством Y, другого множества Y, в котором 6 элементов (рис. 77), и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Рис. 77

 

Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств.

Пример 3. Пусть X - множество точек отрезка АВ, Y - множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (рис. 78), то множества точек отрезка АВ и СD равномощны.

 

 

Пример 4. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество Y - четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие:

N: 1 2 3 … n …

 

Y: 2 4 6 … 2n …

На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество B, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.

Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.

Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.

 

Упражнения

1. Задайте при помощи графа три соответствия между множествами X = {а, b, с} и Y = {2, 4, 6} так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.

Рис.79

2. X - множество прямоугольников (рис. 79), Y = N. Между элементами этих множеств установлено соответствие Р: «прямоугольник х имеет площадь, равную у». Постройте граф соответствия Р. Является ли оно взаимно однозначным?

3. Как можно изменить множества X и Y, данные в упражнении 2, чтобы соответствие Р: «прямоугольник х имеет площадь, равную у», было взаимно однозначным?

4. Даны множества: А = {1, 2, 5}, В = {3, 7}. Найдите А х В и В х А. Верно ли, что найденные множества равномощны?

5. Докажите, что множество А счетно, если:

а) А = {9, 10, 11, 12,...};

б) А = (а│ а = 3n, n? N };

в) А = {а│ а = n², n? N }.

6. Покажите, что, выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств:

а) Нарисуй на другой фигуре (рис. 80) столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).

б) Нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько на рисунке 81 треугольников.

в) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок было у Коли?

г) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты?

д) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям?

е) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям?

43. Основные выводы § 8

Изучая материал этого параграфа, мы установили, что любое соответствие S между двумя множествами X и Y есть подмножество декартова произведения этих множеств, т.е. S с X х Y. Выяснили, что соответствия задают также, как и множества вообще. Познакомились с новыми понятиями:

- соответствие, обратное данному;

- взаимно однозначное соответствие;

- равномощные множества;

- счетное множество.

Установили, что графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

 

Лекция 18. Числовые функции

План:

1. Определение числовой функции как частного случая соответствия.. Способы задания функции. Область определения и область значения функции.

2. График функции. Свойство монотонности функции

§ 9. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Функция - одно из важнейших понятий математики, исходное по­нятие ведущей ее области - математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции слу­жат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависи­мости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требу­ет от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.

44. Понятие функции. Способы задания функций

Выполним два задания для младших школьников.

1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

2) Заполни таблицу.

Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?

Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, меж­ду которыми устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором - это множество значений вычи­таемого {0, 1, 2, 3, 4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1, 0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответ­ствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В матема­тике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:

Определение. Числовой функцией называется такое соответст­вие между числовым множеством X и множеством R действи­тельных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f- функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу x из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у = f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества X называют областью значений функции f.

В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X = {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2, 6, 10, 14}.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, формулы у = 2х - 3, у = х², у = 3х, где х - действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение.у.

Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения. Например, функция у = 2х - 3, где x? R, отлична от функции у = 2х - 3, где х? N. Действительно, при х = -5 значение первой функции равно -13, а значение второй при х = -5 не определено.

Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения f(х). Например, если функция задана формулой у = 2х - 3, то ее областью определения считают множество R действительных чисел. Если функция задана формулой у = 6/(x-2), то ее область определения - есть множество R действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Д-т сч. 51 «Расчетные счета» К-т
2. Нагрузки на валы, расчетные схемы
3. Общие условия установления налогов и сборов
4. Основное правило установления раппорта
5. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
6. Правовые последствия установления группы лиц
7. Причины установления режима протектората.
8. Протекторат. Причины установления и особенности внутренней политики. Внешняя политика Англии.
9. Расчет объема демпингового импорта в целях установления ущерба в соответствии со статьями 3.1 и 3.2 Антидемпингового соглашения.
10. Расчетные динамические схемы грузоподъемных машин.
11. РАСЧЕТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МИКРОКЛИМАТА В ПОМЕЩЕНИЯХ ЖИЛЫХ ДОМОВ (ПО СНИП 2.08.01–89)