Взаимно-однозначные соответствия

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному.

Определение. Пусть S - соответствие между множествами Х и У. Соответствие S^-1; между множествами Y и X называется обратным данному, если уS^-1 тогда и только тогда, когда хSу.

Соответствия S и S^-1 называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков.

Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (рис. 71, а). При построении графика соответствия S^-1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = {2, 3, 6}, а вторую - из множества Х= {4, 5, 8, 10}. В результате график соответствия S^-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S^-1, условились первую компоненту пары соответствия S^-1 считать абсциссой, а вторую - ординатой. Например, если (5, 3)? S, то (3, 5)? S^-1. Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S^-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Рис.71

Чтобы построить график соответствия S^-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Упражнения

1. Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ = 7 см, СD = 12 см, КL = 15 см, XY = 12 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.

2. Даны множества: X = {2, 5}, Y = {3, 6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?

3. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если:

а) X = {2, 4, 6, 8}, Y = N; б) X =[2, 8], Y= R;

в) Х = Y = R.

4. Между множествами X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} и Y= Z задано соответствие «х - у = 3», причем х? X, у? Y. Какая фигура на рисунке 72 является графиком этого соответствия?

5. Графиком соответствия Р, заданного между множествами X и Y, являются все точки прямоугольника АВСD (рис. 73). Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику и задайте множества X и Y.

6. Множества X = {1, 3, 4, 6} и Y = (0, 1} находятся в соответствии S = {(1, 1), (3, 0), (3, 1), (4 0), (4, 1) (6, 1)}. Задайте соответствие S^-1, обратное соответствию S, и постройте на одном чертеже их графики.

7. Между множеством X - углов треугольника AВС и множеством Y- его сторон задано соответствие Т - «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т^-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.

8. Даны графики соответствий P и Q (рис. 74). Можно ли утверждать, что соответствия P и Q

взаимно обратные?

9. Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 75).

Лекция17. Взаимно-однозначные соответствия

План:

1. Взаимно-однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества Х на множество Y.

2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.

3. Основные выводы

Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества Х на множество Y

В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире, многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.

Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества X.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.

Пример 1. Пусть Х - множество кружков, Y - множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок (рис. 76).

Рис. 76

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества X сопоставляется единственный квадрат из множества Y и каждый квадрат из Y соответствует только одному кружку из множества X.

Пример 2. Пусть X - множество действительных чисел, Y - множество точек координатной прямой.Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.

В математике взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y часто называют взаимно однозначным отображение множества X на множество Y.

Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определитьотношение равномощности множеств.

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒