Множество положительных рациональных чисел как расширение

Множества натуральных чисел

 

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел явля­юсь расширением множества N натуральных чисел, необходимо вы­полнение ряда условий.

Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что

N Ì Q+.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом m. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке Х точно mп раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом m, и положительным рациональным числом . Но это

должно п быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числа m.

Следовательно, N Ì Q+.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: 6/1 12/2, 18/3 24/4, 30/5 и т.д.

 

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 129.

Рисунок 129.

 

Числа, которые дополняют множество на­туральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических дейст­вий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но вы­полненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть а и b - натуральные числа, а + b - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как а = , b = , то + = = а + b Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.

Третье условие, которое должно быть выполнено при расшире­нии множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ опера­ции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ вы­полняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби — можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа m и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

m: n = : = = .

Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как част­ое натуральных чисел m и n:

= = : = m: n.

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде на­турального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть - неправильная дробь. Тогда m > n. Если m кратно n, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число m не кратно n, то разделим m на n с остатком:

m = nq + r, где r < n.

Подставим nq + r вместо m в запись и применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел: = = + = q + .

 

Так как r < n, то дробь - правильная. Следовательно, неправильная дробь — оказалась представленной в виде суммы нату­рального числа q и правильной дроби . Это действие называется

выделением целой части из неправильной дроби. Например, = = + =3+ .

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо

3 + пишут 3 и называют та­кую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:

3 =3+ = + = = .

 

 

Упражнения

1. Какие из данных чисел являются дробными:

а) ; б) ; в) ; г) ?

7 27 1 2

2. Докажите, что вычитание, умножение и деление натуральных
чисел в множестве N и Q+ согласованно.

3.Число 2 умножили на правильную дробь. Какое число получилось - больше или меньше числа 2? А если 2 умножить на неправильную дробь?

4. Может ли при умножении числа 3 на правильную дробь получиться число:

а) меньше 1; б) больше 1?

5. Решите арифметическим методом задачи.

а) В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин в первом гараже составляет числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1 раза больше машин, чем в первом. Сколько ма­шин в каждом гараже?

б) Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли од­новременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них проходил в час на км больше другого. С какой скоростью шел каждый,

если через 2 ч после выхода расстояние между ними стало 7 км?

 

Лекция 50. Десятичные дроби

План:

1. Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.

2. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.

3. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.

4. Преобразование периодических десятичных дробей в обыкновенные.

⇐ Предыдущая33343536373839404142Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Bizz: Белье стирается вперемешку с чужим или как?
2. Bizz: Допустим, клиент не проверил карман, а там что-то лежит, что может повредит аппарат. Как быть в такой ситуации?
3. I AM HAPPY AS A KING (я счастлив как король)
4. I. Какие первичные факторы контролируют нервную активность, то есть количество импульсов, передаваемых эфферентными волокнами?
5. II. ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ПРАВО КАК КОМПЛЕКСНАЯ ОТРАСЛЬ
6. III КАК РАСТУТ НА НОВОЙ ГВИНЕЕ
7. III. Половая связь – лишь как конечное завершение глубокой всесторонней симпатии и привязанности к объекту половой любви.
8. IV. Как узнать волю Господню.
9. IX. Толерантность как нравственная основа социокультурной деятельности библиотекаря
10. SWOT-анализ организации как метод выявления и предупреждения организационно-управленческих конфликтов.
11. А как мы можем узнать, кем человек является на самом деле?
12. А как-же мода середины 80-х годов? Какой она была?