Составители: Н.И. Житникова, Г.И. Федорова, А.К. Галимов

Стр 1 из 5Следующая ⇒

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Теория графов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по подготовке к контрольным работам по дисциплине

«Дискретная математика»

Уфа 2005

Министерство образования Российской Федерации

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра проектирования средств информатики

ТЕОРИЯ ГРАФОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по подготовке к контрольным работам по дисциплине

«Дискретная математика»

Уфа 2005

Составители: Н.И. Житникова, Г.И. Федорова, А.К. Галимов

УДК 519.6 (07)

ББК 22.193 (я7)

Теория графов. Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика». /Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т.; Сост.: Н.И. Житникова, Г.И. Федорова, А.К. Галимов. - Уфа, 2005 -37 с.

Предназначены для студентов 1 курса направления 654600: Информатика и вычислительная техника, : Защита информации для подготовки к контрольным работам по курсу «Дискретная математика».

Табл. 2. Ил. 14. Библиогр.: 9 назв.

Рецензенты: Газизов Р.К.

Васильев В.И.

авиационный технический университет, 2005

Содержание

Краткий перечень основных понятий теории графов ……………….. 4

Понятия смежности, инцидентности, степени ……………………….. 7

Маршруты и пути ………………………………………………………. 7

Матрицы смежности и инцидентности…..……………………………. 7

Связность. Компоненты связности …………………………………….. 8

Матрицы достижимости и связности ………….………………………. 9

Расстояния в графе …………………………..…………….……………. 9

Образ и прообраз вершины и множества вершин …………..……….. 10

Нагруженные графы ………………..………………………………….. 11

Деревья и циклы …………………………………….………….……… 12

Решение контрольных задач по теме «Теория графов»……………………………………………...…………………... 13

Задание 1. Компоненты сильной связности ориентированного графа. ……………………………………………………………………. 13

Задание 2. Расстояния в ориентированном графе..………………...... 16

Задание 3. Минимальный путь в нагруженном ориентированном графе...……...…………………………………………………………... 20

Задание 4. Эйлеровы циклы и цепи ……..………………………….… 23

Задание 5. Минимальное остовное дерево...………...…………...…… 25

Задание 6. Задача о коммивояжёре...………...…………...…………… 27

Задания для самостоятельного решения ………….………......……… 34

Список литературы…………………………………………………..…. 37

Краткий перечень основных понятий теории графов.

Теория графов как теоретическая дисциплина может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств (бесконечные графы не будут вводиться в рассмотрение) с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие физические, технические, экономические, биологические, социальные и другие системы. Например, графом, изображенным на рис. 1, в котором точки − вершины графа − города, линии, соединяющие вершины − ребра − дороги, соединяющие города, описывается так называемая транспортная задача (задача нахождения кратчайшего пути из одного города- пункта в другой).

Рис. 1.

Формальное определение графа таково. Пусть задано конечное множество V, состоящее из n элементов, называемых вершинами графа, и подмножество X декартова произведения V× V, то есть , называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом D называется совокупность (V, X). Неориентированным графом G называется совокупность множества V и множества ребер − неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству V.

Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;

Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.

Рис.2.

Например, кратность ребра {v₁, v₂} в графе, изображенном на рис. 2, равна двум, кратность ребра {v₃, v₄} − трем.

Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.

Мультиграф − псевдограф без петель.

Граф − мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.

Граф называется ориентированным, если пары (v, w) являются упорядоченными.

Ребра ориентированного графа называются дугами.

Итак, используемые далее обозначения:

V – множество вершин;

X – множество ребер или дуг;

v (или v_i)– вершина или номер вершины;

G, G₀ - неориентированный граф;

D, D₀ – ориентированный;

{v, w} − ребра неориентированного графа;

{v, v} – обозначение петли;

(v, w) − дуги в ориентированном графе;

v, w - вершины, x, y, z – дуги и ребра;

n(G), n(D) количество вершин графа;

m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.

Примеры

1) Ориентированный граф D=(V, X), V={v₁, v₂, v₃, v₄},

X={x₁=(v₁, v₂), x₂=(v₁, v₂), x₃=(v₂, v₂), x₄=(v₂, v₃)}.

Рис. 3.

2) Неориентированный граф G=(V, X), V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅},

X={x₁={v₁, v₂}, x₂={v₂, v₃}, x₃={v₂, v₄}, x₄={v₃, v₄}}.

Рис. 4.

Маршруты и пути

Последовательность v₁x₁v₂x₂v₃...x_kv_k₊₁, (где k³ 1, v_iÎ V, i=1,..., k+1, x_iÎ X, j=1,..., k), в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,..., k ребро (дуга) x_j имеет вид {v_j, v_j₊₁} (для ориентированного графа (v_j, v_j₊₁)), называется маршрутом, соединяющим вершины v₁ и v_k₊₁ (путем из v₁ в v_k₊₁).

Пример

В графе, изображенном на рис.4, v₁x₁v₂x₂v₃x₄v₄x₃v₂ - маршрут, v₂x₂v₃x₄v₄ – подмаршрут;

маршрут можно восстановить и по такой записи x₁x₂x₄x₃;

если кратности ребер (дуг) равны 1, можно записать и так v₁v₂v₃v₄v₂.

Цепь − незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны.

Цикл − замкнутая цепь (в неориентированном графе).

Контур − замкнутый путь (в ориентированном графе).

Простой путь (цепь) − путь (цепь, цикл, контур), в котором ни одна дуга/ребро не встречается дважды.

Простой цикл (контур) − цикл (контур), в котором все вершины попарно различны.

Гамильтонова цепь (путь, цикл, контур) − простая цепь (путь, цикл, контур), проходящая через все вершины.

Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) − цепь (путь, цикл, контур), содержащая все ребра (дуги) графа по одному разу.

Длина маршрута (пути) − число ребер в маршруте (дуг в пути).

Утверждение 1. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными.

Утверждение 2. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

Расстояния в графе

Пусть - граф (или псевдограф). Расстоянием между вершинами называется минимальная длина пути между ними, при этом , , если не пути.

Расстояние в графе удовлетворяют аксиомам метрики

1) ,

2) (не в ориентированном графе)

4) в связном графе (не в ориентированном графе).

Пусть связный граф (или псевдограф).

Диаметром графа G называется величина .

Пусть .

Максимальным удалением (эксцентриситетом) в графе G от вершины называется величина .

Радиусом графа G называется величина

Центром графа G называется любая вершина такая, что .

Нагруженные графы

Нагруженный граф − ориентированный граф D=(V, X), на множестве дуг которого определена не которая функция , которую называют весовой функцией.

Цифра над дугой (см. рис. 5)− вес дуги (цена дуги).

Рис. 5.

Обозначения: для любого пути П нагруженного ориентированного графа D через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути.

Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Путь в нагруженном ориентированном графе из вершины v в вершину w, где v¹ w, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагруженном графе.

Введем матрицу длин дуг C(D)=[c_ij] порядка n, причем

Свойства минимальных путей в нагруженном ориентированном графе

1) Если для " дуги , то " минимальный путь (маршрут) является простой цепью;

2) если минимальный путь (маршрут) то для " i, j: путь (маршрут) тоже является минимальным;

3) если − минимальный путь (маршрут) среди путей (маршрутов) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то − минимальный путь (маршрут) из v в u среди путей (маршрутов), содержащих не более k дуг (ребер).

Деревья и циклы

Граф G называется деревом если он является связным и не имеет циклов.

Граф G называется лесом если все его компоненты связности - деревья.

Свойства деревьев:

Следующие утверждения эквивалентны:

1) Граф G есть дерево.

2) Граф G является связным и не имеет простых циклов.

3) Граф G является связным и число его ребер ровно на 1 меньше числа вершин.

4) " две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью.

5) Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один и притом простой цикл

Утверждение 4. Если у дерева G имеется, по крайней мере, 1 ребро, то у него найдется висячая вершина.

Утверждение 5. Пусть G связный граф, а − висячая вершина в G, граф получается из G в результате удаления вершины и инцидентного ей ребра. Тогда тоже является связным.

Утверждение 6. Пусть G - дерево с n(G) вершинами и m(G) ребрами. Тогда m(G)=n(G)-1.

Утверждение 7. Пусть G – дерево. Тогда любая цепь в G будет простой.

Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G должно содержать n(G)-1 ребер. Значит, для получения остовного дерева из графа G нужно удалить ребер.

Число − цикломатическое число графа G.

Задание 1. Компоненты сильной связности ориентированного графа.

С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D.

Cоставляем матрицу смежности A(D) размерности (n− количество вершин) для данного ориентированного графа: она состоит из нулей и единиц, номера строк – индексы вершин, из которых исходят дуги, номера столбцов – индексы вершин, в которые дуги входят (если есть дуга, исходящая из вершины v_i и входящая в v_j, то элемент матрицы смежности, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца равен 1, иначе – 0.).

Для того, чтобы выделить компоненты сильной связности, необходимо сначала найти матрицу достижимости T(D) ориентированного графа по первой формуле утверждения 3, затем находим матрицу сильной связности S(D) ориентированного графа (она должна быть симметрической) по второй формуле из того же утверждения.

Алгоритм выделения компонент сильной связности

1. Присваиваем p=1 (p − количество компонент связности), .

2. Включаем в множество вершин V_p компоненты сильной связности D_p вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы S_p. В качестве матрицы A(D_p) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V_p.

3. Вычеркиваем из S_p строки и столбцы, соответствующие вершинам из V_p. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как S_p₊₁, присваиваем p=p+1 и переходим к п. 2.

Пример

Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 6. В данной задаче количество вершин n=5.

Рис. 6.

Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5× 5 и будет выглядеть следующим образом

Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле 1) из утверждения 3:

, ,

Следовательно,

Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:

Присваиваем p=1 и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности D₁: это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S(D). Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины .

Вычеркиваем из матрицы S₁(D) строку и столбец, соответствующие вершине v₁, чтобы получить матрицу S₂(D):

Присваиваем p=2. Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S₂(D), то есть . Составляем матрицу смежности для компоненты сильной связности исходного графа D − в ее качестве возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V₂:

Вычеркиваем из матрицы S₂(D) строки и столбцы, соответствующие вершинам из V₂, чтобы получить матрицу S₃(D), которая состоит из одного элемента:

и присваиваем p=3. Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины .

Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа D:

D₁:

D₂:

D₃:

Задание 2. Расстояния в ориентированном графе

С помощью алгоритма фронта волны найти расстояния в ориентированном графе D: диаметр, радиус и центры.

Пусть ориентированный граф с n³ 2 вершинами и v, w (v¹ w) – заданные вершины из V.

Алгоритм поиска минимального пути из в в ориентированном графе

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину индексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины индексом 1. Обозначаем их FW₁ (v). Полагаем k=1.

2) Если или k=n-1, и одновременно то вершина не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из в и его длина равна k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем . Присваиваем k: =k+1 и переходим к 2).

Замечания

· Множество называется фронтом волны k^го уровня.

· Вершины могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если несколько минимальных путей из в .

Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу минимальных расстояний R(D)между его вершинами. Это квадратная матрица размерности , элементы главной диагонали которой равны нулю ( , i=1,.., n).

Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний ( , если ). Далее построчно заполняем матрицу следующим образом.

Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i-тая и на пересечении с j-тым столбцом стоит единица (то есть ). Это значит, что из вершины можно попасть в вершину за один шаг. Рассматриваем j-тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент . Тогда из вершины в вершину можно попасть за два шага. Таким образом, можно записать . Следует заметить, что если в рассматриваемых строках две или более единиц, то следует прорабатывать все возможные варианты попадания из одной вершины в другую, записывая в матрицу длину наикратчайшего из них.

Примечание: В контрольной работе самый длинный путь найти при помощи алгоритма фронта волны.

Пример

Найдем расстояния в ориентированном графе D, изображенном на рис. 7. В данной задаче количество вершин n=7, следовательно, матрицы смежности и минимальных расстояний между вершинами ориентированного графа D будут иметь размерность 7× 7.

Рис.7.

Матрица смежности:

Начинаем заполнять матрицу R(D) минимальных расстояний: сначала ставим нули по главной диагоналии r_ij=a_ij, если a_ij=1, (т.е. переносим единицы из матрицы смежности). Рассматриваем первую строку. Здесь есть две единицы, то есть из первой вершины за один шаг можно попасть во вторую и шестую. Из второй вершины можно попасть за один шаг в третью (путь в первую вершину нас не интересует), следовательно, можно записать . Из шестой вершины можем добраться за один шаг в пятую и седьмую, а значит, , . Теперь ищем маршруты, исходящие из первой вершины, состоящие из 3 шагов: за 2 шага идем в третью вершину, оттуда за один шаг попадаем в четвертую, поэтому . В итоге получаем следующую матрицу:

Таким образом, диаметром исследуемого ориентированного графа будет .

Для каждой вершины заданного ориентированного графа найдем максимальное удаление (эксцентриситет) в графе G от вершины нее по формуле, которая была приведена выше : r(v_i) − максимальное из расстояний, стоящих в i-той строке. Таким образом,

r(v₁)=3, r(v₂)=3, r(v₃)=5, r(v₄)=4, r(v₅)=2, r(v₆)=2, r(v₇)=3.

Значит, радиусомграфа G будет

Соответственно, центрами графа G будут вершины v₅ и v₆, так как величины их эксцентриситетов совпадают с величиной радиуса .

Опишем теперь нахождение минимального пути из вершины v₃ в вершину v₆ по алгоритму фронта волны. Обозначим вершину v₃ как V₀, а вершину v₆ - как W (см. рис. 8). Множество вершин, принадлежащих образу V₀, состоит из одного элемента - это вершина v₄, которую, согласно алгоритму, обозначаем как V₁: FW₁(v₃)={v₄}. Поскольку искомая вершина не принадлежит фронту волны первого уровня , продолжаем работу алгоритма. Строим фронт волны второго уровня - это множество вершин, принадлежащих образу вершины V₁: FW₂(v₃)={v₇}, обозначаем v₇≡ V₂. В образ вершины V₂ входят две вершины - v₅ и v₄, но, так как v₄ уже была помечена как V₀, то фронт волны третьего уровня состоит из одного элемента: FW₃(v₃)={v₅}, v₅≡ V₃. Из непомеченных вершин в образ вершины V₃ входят v₁ и v₂, соответственно, FW₄(v₃)={v₁, v₂}, v₁≡ V₄, v₂≡ V₄. Теперь помечены все вершины, кроме v₆, которая входит в образ вершины , то есть FW₅(v₃)={v₆≡ W}, работа алгоритма закончена. Минимальный путь (5 шагов) из вершины v₃ в вершину v₆ выглядит так: v₃ v₄ v₇ v₅ v₁ v₆.

Рис.8.

Задание 3. Минимальный путь в нагруженном ориентированном графе

Найти минимальный путь в нагруженном ориентированном графе из вершины в вершину по методу Форда-Беллмана.

Рассмотрим сначала общую задачу – нахождения минимального пути из вершины v_нач в v_кон.

Пусть D=(V, X) – нагруженный ориентированный граф, V={v₁, …, v_n}, n> 1. Введем величины , где i=1, …, n, k=0, 1, 2, …, n–1.

Для каждого фиксированного i и k величина равна длине минимального пути среди путей из v_нач в v_i содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Составляем матрицу длин дуг C(D)=[c_ij] порядка n:

Утверждение. При i=2, …, n, k³ 0 выполняется равенство

. (3.1)

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения минимального пути в нагруженном ориентированном графе D из v_нач в v_кон.( v_нач ≠ v_кон).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1) Составляем таблицу , i=1, …, n, k=0, …, n-1. Если , то пути из v_нач в v_кон нет. Конец алгоритма.

2) Если то это число выражает длину любого минимального пути из v_нач в v_кон. Найдем минимальное k₁³ 1, при котором . По определению получим, что k₁- минимальное число дуг в пути среди всех минимальных путей из v_нач в v_кон.

3) Затем определяем номера i₂, …, такие, что

то есть восстанавливаем по составленной таблице и матрице стоимости искомый минимальный путь из v_нач в v_кон.

Пример

Найдем минимальный путь из вершины v₂ в v₆ в ориентированном нагруженном графе D, изображенном на рис. 9. В рассматриваемом графе количество вершин n=7, следовательно, матрица длин дуг ориентированного графа D будет иметь размерность 7× 7.

Рис. 9.

Матрица длин дуг для рассматриваемого графа будет выглядеть следующим образом:

Согласно алгоритму, составляем таблицу стоимости минимальных путей из вершины v₂ в вершину v_i не более, чем за k шагов, k=0, …n-1 (n=7, следовательно, k=0, …6). Как было определено выше, , и для всех остальных вершин v_i ≠ v₂, то есть первый столбец таблицы состоит из элементов, равных , кроме элемента . Второй столбец таблицы повторяет вторую строку матрицы стоимости, поскольку представляет собой стоимость возможных путей из вершины v₂ за один шаг. Далее по формуле (3.1) находим по столбцам все оставшиеся элементы таблицы. Например, чтобы найти элемент , складываем элементы столбца и первого столбца матрицы стоимости и выбираем минимальное из получившихся чисел: .

В конечном итоге получаем следующую таблицу:

Теперь необходимо по построенной таблице и по матрице C(D) восстановить минимальный путь из вершины v₂ в v₆, который будет строиться с конца, то есть, начиная с вершины v6. Для этого выбираем минимальное из чисел, стоящих в строке, соответствующей v₆ в таблице. Это число – 21 – длина минимального искомого пути. В первый раз такая длина была получена при количестве шагов, равном 4. В вершину v₆ мы можем попасть за один шаг из вершин v₁ и v₇ (длина соответствующих дуг 8 и 5 соответственно – данные из матрицы C(D)). Выбираем минимальную по длине из этих дуг. Далее, в вершину v₇ можно попасть из v₄ и v₅(длина соответствующих дуг 7 и 3 соответственно). Продолжая аналогичным образом, найдем искомый путь за 4 шага минимальной длины из вершины v₂ в v₆: v₂ v₃ v₅ v₇ v₆.

Задание 4. Эйлеровы циклы и цепи

Найти Эйлерову цепь в неориентированном графе.

Исходя из утверждений 1 и 2, чтобы найти Эйлерову цепь, нужно соединить две вершины с нечетными степенями фиктивным ребром. Тогда задача сводится к нахождению Эйлерова цикла по приведенному ниже алгоритму. Из найденного цикла удаляется фиктивное ребро, тем самым находится искомая Эйлерова цепь.

Задание 5. Минимальное остовное дерево

Найти минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева в неориентированном нагруженном графе G

1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G₂ графа G. Положим i: =2.

2) Если i=n(G), то задача решена и G_i – искомое минимальное остовное дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3) Строим граф G_i₊₁. Для этого добавим к графу G_i новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-либо вершине графа G_i и одновременно вершине, не содержащейся в G_i. Вместе с этим ребром включаем в G_i₊₁ и эту инцидентную ему вершину. Присваиваем i: =i+1 и переходим к шагу 2).

Пример.

Найдем минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе, изображенном на рис.14.

Рис.14.

Обозначим ребро, соединяющее вершины v_i и v_j через x_ij.

Для удобства использования приведенного выше алгоритма решения поставленной задачи, составим матрицу длин ребер. В рассматриваемом графе количество вершин n=8, следовательно, матрица длин ребер графа G будет иметь размерность 8× 8 и выглядеть следующим образом:

Согласно приведенному выше алгоритму, выбираем ребро минимальной длины (выбираем среди элементов матрицы C(G) минимальное − это c₄₇=1) и вместе с инцидентными ему двумя вершинами относим к графу G₂. Таким образом, . Длина дерева G₂ будет равна l(G₂)=c₄₇=1. Поскольку , продолжаем работу алгоритма. По четвертой и седьмой строкам ищем минимальное число (за исключением использованной единицы) − ребро минимальной длины, инцидентное либо вершине v₄, либо v₇. Выбираем ребро x₄₆ с длиной c₄₆=3 и вместе с вершиной v₆ добавляем к графу G₂, обозначая его теперь как G₃: , при этом l(G₃)=c₄₇+c₄₆=1+3=4. Аналогично находим графы:

, ;

;

Поскольку i=8=n(G), работа алгоритма заканчивается.

Таким образом, искомое минимальное остовное дерево графа G − граф G₈, изображенный на рис. 15, длина которого равна 22.

Рис.15.

Задание 6. Задача о коммивояжёре

Постановка задачи.

Коммивояжёр (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2, 3..n и вернуться в первый город. Стоимости проезда между городами известны. В каком порядке следует объезжать города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был наименее затратным?

Сформулируем задачу в терминах теории графов, введя следующие обозначения: пусть D=[V, X] – полный ориентированный граф и f: X® - весовая функция, V={v₁, v₂, …, v_n} – множество вершин, X – множество дуг, C={c_ij}, i, j=1, 2…n – весовая матрица данного ориентированного графа, то есть с_ij=f(v_i, v_j), причем для любого i справедливо c_ii=¥. Требуется найти простой остовной ориентированный цикл (или «цикл коммивояжёра») минимального веса.

12 3 4 5 Следующая ⇒