Некоторые законы распределений случайных величин

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

В теории вероятностей и математической статистике используется большое количество специальных законов распределений СВ. Мы ограничимся рассмотрением лишь тех, которые наиболее часто применяются в эконометрическом анализе. Эти распределения используются для нахождения интервальных оценок, при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализе. Для удобства практического использования распределений СВ разработаны таблицы α -квантилей (критических точек), которые позволяют быстро и эффективно оценивать соответствующие вероятности (см. Приложение).

Критической точкой уровня α (α -квантилем) называется такое значение х_α СВ Х, при котором выполняется условие:

(правосторонний критерий). (1.11)

С геометрической точки зрения нахождение квантиля х_α заключается в выборе такого значения х, при котором площадь заштрихованной области на рис. 1.4 была бы равна α.

Рис. 1.4.

Для симметричных относительно оси ординат распределений можно ввести понятие двустороннего α -квантиля – Р(|х| > x_α). Нахождение α -квантиля (критической точки) определяется величиной (уровнем значимости) самого α и числом степеней свободы рассматриваемых распределений.

Нормальное распределение

Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Поэтому он используется в очень большом числе практических приложений.

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

. (1.12)

Нормальное распределение (рис. 1.5) полностью определяется двумя параметрами - математическим ожиданием m = M(X) и средним квадратическим отклонением - σ = σ (Х) - и символически обозначается Х ~ N(m, σ ²) или X ~ N(m, σ ). При изменении числовой характеристики m нормальная кривая перемещается вдоль оси Ох, при изменении σ меняется форма кривой. Нормальный закон распределения с числовыми характеристиками (параметрами) m = 0 и σ ² = 1 называется стандартным распределением.

Рис. 1.5.

Для практических расчетов вероятностей СВ, подчиняющихся нормальному распределению, удобно пользоваться таблицами значений функции Лапласа (Приложение 1). Функция (интеграл вероятностей) Лапласа Ф(u) имеет вид:

(1.13)

где F(u) - функция стандартного нормального распределения СВ U, . Тогда вероятность попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [х₁, х₂].

Р(х₁ £ Х £ х₂) = Ф(u₂) – Ф(u₁), (1.14)

где .

Кроме того, справедливы следующие соотношения: Р(|Х - m| < σ ) = 0, 68; P(|Х - m| < 2σ ) = 0, 95; P(|Х - m| < 3σ ) = 0, 9973, где |Х - m| - отклонение СВ Х от математического ожидания. Другими словами, значения нормально распределенной СВ Х на 95 % сосредоточены в области (m - 2σ, m + 2σ ) и на 99, 73 % сосредоточены в области (m - 3σ, m + 3σ ).

Следует также отметить, что линейная комбинация произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распределение.

В том случае, когда логарифм СВ подчинен нормальному закону, говорят, что она имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.

1.3.2. Распределение χ ² (хи-квадрат)

При моделировании экономических процессов достаточно часто приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Возможность прогнозирования поведения таких СВ осуществляется при использовании ряда специально разработанных законов распределений. К ним относятся χ ²-распределение, распределения Стьюдента и Фишера.

Пусть имеется n независимых СВ Х_i, i = 1, 2 … n, распределенных по нормальному закону, с математическими ожиданиями m_i и средними квадратическими отклонениями σ _i, соответственно. Тогда СВ U_i = (X_i - m_i)/σ _i имеют стандартное нормальное распределение, U_i ~ N(0, 1).

Распределением χ ² с ν = n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых СВ U_i

(1.15)

Число степеней свободы ν исследуемой СВ определяется числом СВ ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется как ν = n - m.

Распределение χ ² определяется одним параметром - ν : М(χ ²) = ν = n - m, D(χ ²) = 2ν = 2(n - m). График плотности вероятности СВ, имеющей χ ²-распределение, расположен только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». С увеличением числа степеней свободы распределение χ ² постепенно приближается к нормальному распределению. Таблицы критических точек χ ²-распределения приведены в Приложении 2.

Распределение Стьюдента

Рассмотрим стандартную нормальную СВ U ~ N(0, 1) и независимую от нее СВ V, распределенную по закону χ ² с ν = n степенями свободы (обозначается V ~ ). Тогда распределение случайной величины

(1.16)

называется распределением Стьюдента (псевдоним английского химика и статистика Госсета) или t-распределением с n-степенями свободы (t_n).

При n > 2 M(t) = 0 и D(t) = n/n - 2. График функции плотности вероятности СВ, имеющей распределение Стьюдента, является симметричной кривой относительно оси ординат (рис. 1.6).

Рис. 1.6.

С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному закону и практически при n > 30 можно считать t-распределение приближенно нормальным. Таблица критических точек распределения Стьюдента для различных значений уровня значимости α и числа степеней свободы ν (t_{α , ν}) представлена в Приложении 3.

Распределение Фишера

Пусть V и W - независимые СВ, имеющие χ ²-распределение со степенями свободы ν ₁ = m и ν ₂ = n, соответственно. Тогда составленное с использованием данных СВ отношение

(1.17)

является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения, впервые полученному английским статистиком Р. Фишером в 1924 году. Распределение Фишера (F-распределение) определяется двумя параметрами – числами степеней свободы m и n (F ~ F_{m, n}). Числовые характеристики определяются при n > 4 следующим образом:

, .

При достаточно больших m и n это распределение приближается к нормальному. Нетрудно заметить, что , где t_n - CВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы ν = n, а – СВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы ν ₁ = 1 и ν ₂ = n. Таблицы критических точек F-распределения (F_{a, m, n}) представлены в Приложении 4.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒