Вероятность, случайное событие, случайная величина

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий. Вероятностным экспериментом (испытанием, наблюдением) называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. В данном эксперименте любой его результат (исход) является событием.

Событие может быть достоверным (всегда происходит в результате испытания); невозможным (заведомо не происходит при испытании); случайным (может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента).

Событие, которое нельзя разбить на более простые события, называется элементарным. Событие, представленное в виде совокупности нескольких элементарных событий, называется сложным (фирма не понесла убытки – прибыль может быть положительной либо равной нулю).

Два события, которые не могут происходить одновременно (увеличение налогов – рост располагаемого дохода), называются несовместными.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они являются совместными (увеличение объема продаж – увеличение прибыли). События называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).

Вероятность события – это численная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к общему числу n всех возможных элементарных исходов данного эксперимента:

. (1.1)

Из вышеизложенного вытекают следующие основные свойства вероятности:

1. 0 £ Р(А) £ 1.

2. Вероятность достоверного события А равна 1: Р(А) = 1.

3. Вероятность невозможного события А равна 0: Р(А) = 0.

4. Если события А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

5. Если А и противоположные события, то Р( ) = 1 - Р(А).

Если вероятность осуществления одного события не изменяет вероятности появления другого, то такие события называются независимыми.

При статистическом определении вероятности события А под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение m/n называется относительной частотой (частостью) W_n(A) появления события А в n произведенных испытаниях.

При определении вероятности по методу экспертных оценок под n понимается количество экспертов (специалистов в данной области), опрашиваемых на предмет возможности осуществления события А. При этом m из них утверждают, что событие А произойдет.

Понятия случайного события недостаточно для описания результатов наблюдений величин, имеющих числовое выражение. Например, при анализе прибыли предприятия в первую очередь интересуются ее размерами. Поэтому понятие случайного события дополняется понятием случайной величины.

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает одно из возможного множества своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Для каждого элементарного события СВ имеет единственное значение.

Различают дискретные и непрерывные СВ. Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно, т. е. СВ принимает отдельные изолированные значения с определенными вероятностями. Для непрерывной СВ множество ее возможных значений бесконечно и несчетно, например, все числа данного интервала.

Примеры случайных величин: Х - ежедневное число покупателей в супермаркете (дискретная СВ); Y - число детей, родившихся в течение суток в определенном административном центре (дискретная СВ); Z - дальность полета артиллерийского снаряда (непрерывная СВ).

Многие СВ, рассматриваемые в экономике, имеют настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ. Например, курсы валют, доход населения и т. п.

Для описания СВ необходимо установить соотношение между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соотношение будет называться законом распределения СВ. Для дискретной СВ его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо графически. Например, таблично для СВ Х

Х	х₁	х₂	…	х_n
p_i	p₁	p₂	…	p_n

Обычно x₁ < x₂ < … < x_n. Обязательно (полная система событий).

Пример 1.1. На станции технического обслуживания анализируются затраты времени на ремонт автомобилей. На основании данных, полученных по 100 автомобилям, выяснилось, что для 25 из них требуется 1 ч для проведения профилактических работ. Мелкий ремонт требуется для 40 автомобилей, что занимает 2 ч. Для 20 автомобилей требуется ремонт с заменой отдельных узлов, что занимает в среднем 5 ч. 10 автомобилей могут быть отремонтированы за 10 ч. Для 5 автомобилей необходимое время ремонта составляет 20 ч. Построить закон распределения СВ Х-времени обслуживания случайно выбранного автомобиля.

Решение данной задачи можно представить в виде таблицы:

X
p_i	0, 25	0, 40	0, 20	0, 10	0, 05

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности, то получаемая соединением точек ломанная линия называется полигоном распределения вероятностей. Аналитически СВ задается либо функцией распределения, либо плотностью вероятностей.

Функцией распределения СВ Х называют функцию F(x), определяющую для каждого х вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X < x). (1.2)

Из определения вытекают следующие свойства функции распределения:

1. 0 £ F(х) £ 1 – неотрицательная функция.

2. F(x) – неубывающая функция, т. е. при х₂ > x₁ Þ F(x₂) ³ F(x₁).

3. , .

4. Вероятность попадания СВ Х в интервал [а, b) (включая а) равна приращению F(x) на этом интервале, т. е. Р(а £ х £ b) = F(b) - F(a).

5. P(X ³ x) = 1 – F(x).

График функции распределения дает наглядное представление о вероятности изменения значений СВ.

Для примера 1.1 функция распределения F(x) и ее график имеют вид:

Рис. 1.1.

Для непрерывной СВ нельзя определить вероятность того, что она примет некоторое конкретное значение (точечную вероятность). Так как в любом интервале содержится бесконечное число значений, то вероятность выпадения одного из них асимптотически равна нулю. В результате непрерывную СВ нельзя задать таблично. Однако для описания непрерывной СВ может быть использована функция распределения и плотность вероятности (плотность распределения вероятностей).

Плотностью вероятности непрерывной СВ Х называют функцию f(x), являющуюся производной ее функции распределения

f(x) = F^’(x) = dF(x)/dx (1.3).

Плотность вероятности f(x) определяет закон распределения для непрерывной СВ.

Свойства плотности вероятности:

1. f(x) ³ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной СВ в интервал [a, b] равна определенному интегралу – т. е. площади заштрихованной фигуры (см. рис. 1.2). Вероятность попадания значений СВ в «хвосты» распределения, т. е. в интервалы (-¥, а) и (b; +¥ ), равна 1 – Р(а £ х £ b).

3. Функция распределения (рис. 1.2) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

4. – условие нормировки. Площадь под графиком кривой плотности вероятности f(x) равна единице (рис. 1.3).

Рис. 1.2. Рис. 1.3.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒